2027届新高考数学一轮热点复习　不等式性质与一元二次不等式

2027届新高考数学一轮热点复习不等式性质与一元二次不等式常用结论必备

核心考点突破√√√

通性通法：比较两个数(或式子)的大小可以利用不等式的性质直接判断，也可以用作差法或作商法．作差法的关键是将差“变形”为完全平方或几个因式的积(商)的形式．作商法的关键变形是分母有理化或变为幂的形式．

√(2)(多选)(2025·西安雁塔区校级月考)已知实数a，b满足－3＜a＋2b＜2，－1＜2a－b＜4，则(

)A．－1＜a＜2 B．－2＜b＜1C．－2＜a＋b＜2 D．－2＜a－b＜4√√√

2．(变结论)本例(2)条件不变，则3a＋2b的取值范围是__________．

(－5，6)

易错提醒：(1)利用不等式的性质判断不等式是否成立时，要特别注意应用性质的条件．(2)多次运用不等式的性质易使变量范围扩大，导致结果错误，一般是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．

√√

√√√(2)(北师大版必修第一册P38例4改编)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．

(2)[解]

第1步看二次项系数：二次项系数含参，则需要分系数为0、正、负三种情况讨论．当a＝0时，原不等式可化为x＋1≤0，解得x≤－1．第2步因式分解：看含参二次不等式能否因式分解．当a≠0时，不等式ax2－2≥2x－ax可化为(ax－2)(x＋1)≥0．

思维建模：含参数的一元二次不等式的解法第1步看二次项系数：二次项系数含参，则需要分系数为0、正、负三种情况讨论．第2步因式分解：看含参二次不等式能否因式分解．第3步能因式分解则比较根的大小，不能则利用Δ：若能通过因式分解求出根，就比较两根大小，若不能使用因式分解求根，就应用判别式判断根的情况，并求根．第4步写解集：在参数的不同取值范围下，分别写出不等式对应的解集．

√√√

2．若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，2] B．(－∞，－2)C．(－2，2) D．(－2，2]√

课时作业(三)不等式性质与一元二次不等式一、单项选择题1．(人教A版必修第一册P43习题2.1T3(2)改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(

)A．M>N B．M≥NC．M<N D．M≤N√题

[因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，所以M>N．故选A．]

√题/p>

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√

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题、填空题8．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x＋3>0的解集为R，则实数a的取值范围是____________．

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题、解答题10．已知函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)只能同时满足下列三个条件中的两个：①y＜0的解集为(－1，3)；②a＝－1；③y的最小值为－4．(1)请写出这两个条件的序号，并求函数y的解析式；(2)求关于x的不等式y≥(m－2)x＋2m2－3(m∈R)的解集．题解]

(1)若选①②，由a＝－1知函数图象开口向下，此时y＜0的解集不可能为(－1，3)，故不符合题意；若选①③，因为y＜0的解集为(－1，3)，所以－1，3是方程ax2＋bx＋c＝0的根，所以函数图象的对称轴为直线x＝1，由y＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，则b＝－2a，c＝－3a，又因为y的最小值为－4，所以当x＝1时，y＝－4a＝－4，解得a＝1，所以b＝－2，c＝－3，则y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3；若选②③，由a＝－1知函数图象开口向下，则y无最小值，不符合题意．综上，应选①③，且y＝x2－2x－3．题2)由y≥(m－2)x＋2m2－3(m∈R)，化简得x2－mx－2m2≥0，即(x＋m)(x－2m)≥0，若m＜0，则不等式的解集为{x|x≤2m，或x≥－m}；若m＝0，则不等式的解集为R；若m＞0，则不等式的解集为{x|x≤－m，