圆的垂径定理证明题及答案

圆的垂径定理证明题及答案

1.已知圆\(O\)，弦\(AB\)是圆\(O\)内的一条弦，\(OC\)是垂直于弦\(AB\)的半径，垂足为\(C\)。求证：\(AC=BC\)，\(\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}\)。（10分）2.如图，圆\(O\)中，弦\(AB\)，半径\(OD\perpAB\)于点\(C\)，已知\(AB=8\)，\(OC=3\)，求圆\(O\)的半径。（10分）3.圆\(O\)的弦\(AB=10\)，半径\(OE\perpAB\)于点\(F\)，若\(OF=6\)，求\(EF\)的长。（10分）4.已知圆\(O\)中，弦\(AB\)，\(OC\perpAB\)于\(C\)，若\(AC=4\)，\(OC=3\)，求圆\(O\)的直径。（10分）5.圆\(O\)的半径为\(5\)，弦\(AB=8\)，\(OC\perpAB\)于\(C\)，求\(OC\)的长。（10分）6.如图，在圆\(O\)中，弦\(AB\)，\(OD\perpAB\)于\(C\)，\(AC=3\)，\(CD=1\)，求圆\(O\)的半径。（10分）7.已知圆\(O\)的弦\(AB\)，\(OC\perpAB\)于\(C\)，\(AB=12\)，\(OC=4\)，求圆\(O\)的半径。（10分）8.圆\(O\)中，弦\(AB\)，\(OD\perpAB\)于\(C\)，若圆\(O\)的半径为\(r\)，\(AC=a\)，求\(OC\)的长。（10分）9.如图，圆\(O\)的弦\(AB\)，\(OC\perpAB\)于\(C\)，\(OC=5\)，圆\(O\)的半径为\(\sqrt{34}\)，求弦\(AB\)的长。（10分）10.已知圆\(O\)中，弦\(AB\)，\(OC\perpAB\)于\(C\)，若\(AB=2\sqrt{21}\)，\(OC=2\)，求圆\(O\)的半径。（10分）答案：1.证明：连接\(OA\)，\(OB\)。-因为\(OA=OB\)，\(OC\perpAB\)，-在\(Rt\triangleOAC\)和\(Rt\triangleOBC\)中，-\(OA=OB\)，\(OC=OC\)，-所以\(Rt\triangleOAC\congRt\triangleOBC(HL)\)，-所以\(AC=BC\)。-因为\(\triangleOAC\cong\triangleOBC\)，所以\(\angleAOC=\angleBOC\)，-所以\(\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}\)。2.解：因为\(OD\perpAB\)，所以\(AC=\frac{1}{2}AB\)，-已知\(AB=8\)，则\(AC=4\)，-设圆\(O\)半径为\(r\)，在\(Rt\triangleOAC\)中，\(OA=r\)，\(OC=3\)，\(AC=4\)，-由勾股定理\(r^{2}=AC^{2}+OC^{2}\)，-即\(r^{2}=4^{2}+3^{2}=25\)，-所以\(r=5\)。3.解：因为\(OE\perpAB\)，所以\(AF=\frac{1}{2}AB\)，-已知\(AB=10\)，则\(AF=5\)，-在\(Rt\triangleOAF\)中，\(OA\)为半径，\(OF=6\)，\(AF=5\)，-由勾股定理\(OA=\sqrt{AF^{2}+OF^{2}}=\sqrt{5^{2}+6^{2}}=\sqrt{61}\)，-所以\(EF=OE-OF\)，\(OE=OA=\sqrt{61}\)，-则\(EF=\sqrt{61}-6\)。4.解：因为\(OC\perpAB\)，所以\(AC=\frac{1}{2}AB\)，-已知\(AC=4\)，则\(AB=8\)，-在\(Rt\triangleOAC\)中，\(OC=3\)，\(AC=4\)，-由勾股定理\(OA=\sqrt{AC^{2}+OC^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5\)，-所以圆\(O\)的直径为\(10\)。5.解：因为\(OC\perpAB\)，所以\(AC=\frac{1}{2}AB\)，-已知\(AB=8\)，则\(AC=4\)，-圆\(O\)半径为\(5\)，在\(Rt\triangleOAC\)中，-由勾股定理\(OC=\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3\)。6.解：设圆\(O\)半径为\(r\)，则\(OA=r\)，\(OC=r-1\)，-因为\(OD\perpAB\)，所以\(AC=\frac{1}{2}AB\)，已知\(AC=3\)，则\(AB=6\)，-在\(Rt\triangleOAC\)中，由勾股定理\(OA^{2}=AC^{2}+OC^{2}\)，-即\(r^{2}=3^{2}+(r-ɪ)^{2}\)，-\(r^{2}=9+r^{2}-2r+1\)，-\(2r=10\)，解得\(r=5\)。7.解：因为\(OC\perpAB\)，所以\(AC=\frac{1}{2}AB\)，-已知\(AB=12\)，则\(AC=6\)，-在\(Rt\triangleOAC\)中，\(OC=4\)，\(AC=6\)，-由勾股定理\(OA=\sqrt{AC^{2}+OC^{2}}=\sqrt{6^{2}+4^{2}}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\)，-所以圆\(O\)的半径为\(2\sqrt{13}\)。8.解：因为\(OD\perpAB\)，所以\(AC=\frac{1}{2}AB\)，已知\(AC=a\)，则\(AB=2a\)，-圆\(O\)半径为\(r\)，在\(Rt\triangleOAC\)中，-根据勾股定理\(OC=\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}=\sqrt{r^{2}-a^{2}}\)。9.解：圆\(O\)半径为\(\sqrt{34}\)，\(OC=ɪ\)，-因为\(OC\perpAB\)，所以\(AC=\sqrt{OA^{2}-OC^{2}}\)，-\(AC=\sqrt{(\sqrt{34})^{2}-5^{2}}=\sqrt{34-25}=\sqrt{9}=3\)，-所以\(AB=2AC=6\)。10.解：因为\(OC\perpAB\)，所以\(AC=\frac{1}{2}AB\)，-已知\(AB=2\sqrt{21}\)，则\(AC=\sqrt{21}\)，-在\(Rt\triangleOAC\)中，\(OC=2\)，-由勾股定理\(OA=\sqrt{AC^{2}+OC^{2}}=\sqrt{(\sqrt{21})^{2}+2^{2}}=\sqrt{21+4}=\sqrt{25}=5\)，-所以圆\(O\)的半径为\(5\)。解析：1.利用全等三角形证明\(AC=BC\)，再根据圆心角与弧的关系证明\(\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}\)。2.由垂径定理得到\(AC=\frac{1}{2}AB\)，再利用勾股定理求半径。3.先由垂径定理求\(AF\)，再用勾股定理求半径\(OA\)，进而求\(EF\)。4.由垂径定理求弦长\(AB\)，再