5.函数的零点与应用（小题）-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

函数的零点与应用（小题）一．基本原理1.核心思想：函数的零点、函数的图象与轴的交点、对应方程的根的关系：上述转化关系是处理零点问题的核心，即数形结合思想，我们可将方程问题转化为函数图像，也可将函数图像的交点转化为方程问题进一步通过函数思想解决.2.一元二次方程根的分布对一元二次方程（其中）和二次函数，有：（1）方程的个根都比小的充要条件是（2）方程的个根都比大的充要条件是（3）方程的一根都在内，另一根在内的充要条件是（4）方程的个根都在内的充要条件是（5）方程的一根比大，一根比大，一根比小的充要条件是.（6）方程的个根都在外，且一根比小，另一根比大的充要条件是二．典例分析★1.求解函数的零点或者零点个数例1．已知函数则函数的零点为（

）A． B． C． D．1解析：当时，令，解得；当时，令，解得（舍），所以的零点为．故选：C例2．已知是函数的零点，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3解析：由题意可得，，则，则，所以.故选：D.例3．函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4解析：当时，令，即，解得或，当时，令，即，解得．综上可知，函数有3个零点．故选：C.★2.零点存在性定理与应用例4．函数的零点所在的大致区间是（

）A． B． C． D．解析：的定义域为，又与在上单调递增，所以在上单调递增，又，，所以，所以在上存在唯一的零点.故选：C.例5．已知函数则的零点的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4解析：当时，令，解得（舍去）或；当时，，在上单调递增，又，所以在区间内有一个零点，则函数有2个零点．故选：B.★3.求解（判断）函数的零点个数基本步骤：（1）先思考能否直接求解出函数的零点（2）再思考能否利用零点存在性定理找出变号零点（3）思考直接画出函数图像找出与轴交点个数，或者将函数的解析式转化成两个可以画图的函数图像交点个数.（4）.注意下面两类复合方程的求解技巧★（i）已知函数，且知一元二次型方程根的个数，求参数的取值范围.★（ii）求解复合函数零点问题的技巧:（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像（2）若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点,分配每个函数值被几个所对应,从而确定的取值范围,进而决定参数的范围.例6．设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数是_________．解析：因为函数和在上均为增函数，所以函数在上单调递增，又函数是定义在R上的奇函数，所以即是函数的一个零点，且函数在上单调递增，又，所以，所以由零点存在定理得函数在上只有一个零点，在上也只有一个零点.综上，函数的零点个数为3.故答案为：3.例7．函数的零点的个数为___________解析：令，得，即，作出与的图象，可知它们只有2个交点.故答案为：2.例8．设函数，若关于的方程的解的个数是_______解析：或2，当时，若，则，无解，若，，故或，解得或，当时，若，则，解得，若，，故或，解得或，所以方程的解的个数有5个.故答案为：5例9．已知函数，则方程有__________个不同的实数根．解析：设，若，则；若或.由；由或或；由或.所以方程共有6个不同实根.故答案为：6★4.已知函数零点个数求参数例10．已知函数若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．解析：作出图象，其中当时，，其顶点为．由与直线有3个交点，知m的取值范围是．例11.已知函数，令，则下列说法正确的是（

）A．函数的单调递增区间为B．当时，有3个零点C．当时，的所有零点之和为-1D．当时，有1个零点解析：的图象如下：由图象可知，的增区间为，故A错误，当时，与有3个交点，即有3个零点，故B正确；当时，由可得，由可得，所以的所有零点之和为，故C错误；当时，与有1个交点，即有1个零点，故D正确；故选：BD★5.一元二次方程根的分布例12．方程的两根都大于1的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．解析：令，其图象对称轴为，由方程的两根都大于1，等价于，即，解得即对于A：因是的真子集，故是方程的两根都大于1的充分不必要条件，故A正确；对于B：由上分析知，是方程的两根都大于1的充要条件，故B错误；对于C：因，若取，故不是方程的两根都大于1的充分条件，故C错误；对于D：因，若取，故不是方程的两根都大于1的充分条件，故D错误.故选：A.例13．已知关于的方程，则下列结论中正确的是（

）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0解析：因为，可得或，所以方程有两个根的充要条件是或，则方程有一个正根一个负根的充要条件是，故A正确；方程有两个正根的充要条件是，故B正确；方程无实根的充要条件是，所以必要条件不可能是，故C错误；当时，方程无实数根，故D错误；故选：AB.★6.利用二分法求解方程的近似解例14．用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，则下一步应考察的区间为（

）A． B． C． D．解析：依题意，，所以下一步应考察的区间为.故选：C例15．在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（

）A． B． C． D．解析：根据已知，，，，，根据二分法可知该近似解所在的区间是.故选：C例16．已知函数有零点，但不能用二分法求解，则实数c的值是_________．解析：由题意知函数在零点两侧同号，所以，解得．三．习题演练1．（多选题）函数的一个零点在区间内，则实数的可能取值是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．已知函数．若函数有零点，则实数的取值范围是________．3．若直线与函数的图象恰有四个公共点，则实数的取值范围是______．4.已知函数，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围．5．已知，则函数的零点个数是_________.6．函数的零点个数为__________.7．已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数b的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．9．若函数有两个零点，，且，，则实数的取值范围为________.10．已知函数，若函数恰有5个零点，则m的值可以是（

）A．0 B．1 C． D．211.函数，方程有6个不同的实根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．12.已知函数=则关于x的方程的解的个数的所有可能值为（

）A．3或4或6 B．1或3 C．4或6 D．313．（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数只有两个极值点B．方程有且只有两个实根，则的取值范围为C．方程共有4个根D．若，，则的最大值为2参考答案1.解析：因为函数在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增，由函数的一个零点在区间内，得，解得,故选：BC2.解析：若函数有零点，则方程有解，所以．令，则，且，所以在上单调递增，值域为，所以，即a的取值范围是．3.解析：函数的图象如下图所示，若直线与函数的图象恰有四个公共点，则实数a的取值范围是：.故答案为：4.解析：,令得，作出的函数图像如图所示．

由图像可知当或时，只有一解，此时恰有一个零点．5.解析：由，或，函数的图象如下图所示：由数形结合思想可知：函数的图象与函数、的图象一共有个交点，所以函数的零点个数是，故答案为：6.解析：函数的定义域为，由得，函数的零点即方程的根，作函数和的图象，如图，由图可知在上有个交点，故函数在上有个零点．故答案为：.7.解析：由题意，函数有三个不同的零点，即方程有3个解，即函数与有3个交点，画出函数的大致图象：由图可知，要使函数与有3个交点，则，所以实数b的取值范围为.故选：D.8.解析：由，即，函数存在2个零点等价于函数与的图象有2个交点，作出图象如图1，当直线同时过点和时，，此时直线与的图象有2个交点，结合图象可知，解得．9.解析：因为函数有两个零点，，所以.又因为，，所以或，由；由.综上可知：.10.解析：记，作出函数的图象如图所示，令，则由图可知，当时，方程只有一个根；当时，方程有两个根；当时，方程只有一个根；显然不是方程的根；若是方程的根，则，此时，结合图象可知，此时方程和方程共有4个根，则函数有4个零点，不满足题意；所以恰有5个零点等价于方程恰有5个实根，等价于方程的一个根在，一个根在，令，则，所以，结合选项可知，m的值可以是1和.故选：BC11.解析：由方程得或，则方程有6个不同的实根，等价于的图象与直线有6个不同的交点，当时，，则，令，得：，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故时，取极小值，当时，，当时，单调递增；当时，单调递减，且，根据以上信息，作出的大致图象如图，由图可知，的图象与直线有2个不同的交点，由题意，只需的图象与直线有4个不同的交点，则，综上得：的取值范围是．故选：A．12.解析：当时，，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，且当时，，当时，，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，且当时，，所以的大致图象如图所示，令，则方程必有两个不等根，设两根分别为（不妨设），且，当时，则，此时有1个根，有2个根，当时，则，此时有2个根，有1个根，当时，则，此时有0个根，有3个根，综上，对任意的，方程都有3个根，故选：D13.解析：对于，对求导得：，当或时，，当时，，即函数在，