8.函数图像的切线与应用-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

高三备考下的切线问题研究一．前言1.用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：①求出切点的坐标；②求出函数在点处的导数③得切线方程求过点A处切线方程方法如下：设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，∵过点，∴然后解出的值，有几个值，就有几条切线.3.若函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线相同（公切线），则等价于的图象在点处的切线：与的图象在点处的切线：重合.进一步等价于下列方程组有解：.4.若动点为函数图象上任一点，直线与图象相离，则到距离的最小值为函数图象在点处的切线与平行时产生，故此时最小距离即为切点到直线的距离.二．典例分析例1.（2025年新高考1卷）若直线是曲线的切线，则_________.解析：对于，其导数为，因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2，令，即，解得，将代入切线方程，可得，所以切点坐标为，因为切点在曲线上，所以，即，解得.故答案为：.例2．（2024年高考全国甲卷数学（理））设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．解析：，则，即该切线方程为，即，令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故选：A.例3．（2022年全国新高考2卷）曲线过坐标原点的两条切线的方程为________，________.解析：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；例4.（2022新高考1卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是____________．解析：易得曲线不过原点，设切点为，则切线斜率为：．可得切线方程为，又切线过原点，可得，化简得，又切线有两条，即方程有两不等实根，由判别式，得，或．例5．（2024年新课标全国Ⅰ卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_________..解析：由得，，故曲线在处的切线方程为；由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，切线方程为，根据两切线重合,所以，解得.故答案为：例6．（2021年新高考2卷）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是__________.解析：由题意，，则，所以点和点，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案为：三．习题演练1.若曲线在处的切线与直线垂直，则__________.2.）曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______．3.若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则_________.4.已知函数其中，当两函数图象对应曲线存在2条公切线时则的取值范围是________．5．（2021新高考1卷）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．6.（2015年新课标卷）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_______7．已知函数．（1）判断函数的零点个数，并说明理由；（2）求曲线与的所有公切线方程.参考答案1.解析：由题意得函数的导函数为，故在处切线的斜率为，直线的斜率存在为，根据题意得，，解得.故答案为:.2.解析：曲线在处的切线为，设切点，由，得．3.解析：对于：，可得，当，则，可知曲线在处的切线是；对于：，可得，令得，由切点在曲线上得.故答案为：.4.解析：令则，令，则，由于函数互为反函数，故图象关于对称，因此只需要考虑两曲线相切时的临界情况，设切点横坐标为，由故，即，所以，设，则，，故有，两边取对并移项，记函数，易知在1,+∞上单调递增,因为，所以，此时，所以的取值范围是.5.解析：在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.6.解析：，所以，切线方程为，联立方程，从而由相切可得：7.解析：（1），在单调递增又，存在