10.恒成立问题的八大核心方法-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

处理恒成立问题的八大核心方法方法1：单调性分析最值.方法2：分离参数方法3：端点效应与必要性探路方法4.不等式证明与放缩方法5：同构变换方法6.主元法 方法7.凸凹反转方法8.共零点型恒成立一．基本原理基本原理：恒成立问题的一般形式为：若函数的定义域为，任意的，都有等价于即可，其他情形可类比得到.于是，解决恒成立问题的第一种方法就是值域方法，实质就是找到函数在其定义区间上的最大值或最小值，在这个过程中我们需要借助导数来讨论原函数的单调性进而求得值域.例1.已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．解析：（1）因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）得，，要证，即证，即证恒成立，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.例2.（2020全国1卷）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围.解析：（2）因为等价于，构造函数，则，，且.所以在内单调递减，在内单调递增，此时.（ⅰ）若，即，则在内单调递增，在内单调递增，，不等式恒成立；（ⅱ）若，即，则当，.所以在内单调递减，而，故当时，在内单调递减，不合题意.（ⅲ）若，则由，，可知存在，此时在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，且，若，则恒成立，在内单调递增，，不等式恒成立；若，则存在，此时在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，且，要使恒成立，只需要，此时，，消去，得，解法，由得，故，综上，的取值范围是.视角2：分离参数例3.（2020全国1卷）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围.解析（2）当时，恒成立，当时，恒成立分离参数之后等价于，求导可得：，一方面由于（易证，略），故，代入得：.例4．已知函数，.(1)若是的极值点，求函数的极值；(2)若时，恒有成立，求实数的取值范围.解析：（1）极大值，极小值为（2）若时，恒有恒成立，即，即，因为，所以，令，则，则时，，时，，所以在单调递减，在单调递增，所以的最小值为，所以.

所以的取值范围为视角3：端点效应与必要性探路必要性探路是恒成立问题中一种重要的处理手法，由于恒成立问题的任意性，我们可以通过特数值来缩小参数范围.特别地，如果恒成立问题恰好在端点处取到最值，利用连续函数的保号性，可以进一步得到端点效应，下面详细说明其原理.二．基本原理.端点效应的原理：1.必要条件缩小范围：①若在上恒成立，则在区间端点处也成立，即此法应用于区间端点值包含参数的情况.②若在上恒成立，且则此法应用于区间端点的函数值为零的情况.③若在上恒成立，且，则此法应用于区间端点的函数值为零且导数值也为零的情况.2.充分性求结果：求判断的单调性，然后表示的最小值，使得即可.注意第2步一定要利用第一步中的参数的范围.例5（2023年甲卷T21）已知.（1）当时,讨论的单调性；（2）若,求的取值范围.解析：(1),.令,得。当时,单调递增;当时,单调递减，∴在区间上单调递增,在区间上单调递减.(2) 由于，且注意到当即时，使在成立，故此时单调递减∴，不成立.另一方面：当时,，下证它小于等于0.令综上所述:.注：必要性探路（端点效应）求出的参数范围可能是所求范围，可能比所求范围要大，所以利用上面原理缩小完参数范围后一定要反过来证明充分性是否成立！例6.（2020全国1卷）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围.解析：时，.令，直线与曲线相切于点，又直线过点，所以，这正是取的原因所在当时，．只需证明①式成立．①式，令，，所以当时，单调递减；当单调递增；当单调递减．从而，即，①式成立．所以当时，恒成立．综上．视角4.不等式证明与放缩例7.已知函数.（1）若函数有两个极值点，求的取值范围；（2）证明：当时，.解析：一方面，由于，等号成立当且仅当，另一方面，，等号成立当且仅当.将上述两式相乘可得：因此，只需证明：成立即可.这个不等式易证，此处不再赘述.例8.（2014全国1卷）设函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求（2）证明：.此处仅就第二问给出不等式放缩角度的证明.（2）证明：由，得，即，故（当且仅当时取等号）①，又由，得，故，两边取自然对数得，即（当且仅当时取等号）②由于①、②式等号不能同时成立，两式相加得，两边同乘以，得.在不等式放缩证明恒成立问题中还会经常出现数列不等式，即将看作为新数列的前项和，求出对应的项，则不等式即可看成是的形式，可以通过证明项的大小关系（即）来得到和的大小关系例9．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围；（3）设，证明：．解析：（3）设，设的前项和为，则，当时，，要想证明，即证明，即证明，即证明令，，构造函数，在上恒成立，，在恒成立，恒成立，时，①，时，②，时，③，时，，，把所有不等式都相加，成立.所以原不等式例10．已知函数，.（1）当时，，求实数的取值范围；（2）已知，证明：.解析：（1）.（2）证明：当时，由（1）可得，则，可得，即，即，令，所以，，所以，，即，所以，，，令，则，且不恒为零，所以，函数在上单调递增，故，则，所以，，，所以，视角5：同构变换若能够变形成，然后利用的单调性，如递增，转化为，即为同构变换.例如：....例11.（2022全国甲卷）已知函数.（1）若恒成立，求的取值范围；（2）若有两个零点，证明：.解析：（1），令，则，于是.于是等价于在上恒成立，故.例12.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.解析：（1）当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2），设，其中，则，设，则，当时，，，且等号不同时成立，则恒成立，当时，，，则恒成立，则在上单调递增，又因为，，所以，存在使得，当时，；当时，.所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，作出函数的图象如下图所示：由（1）中函数的单调性可知，①当时，在上单调递增，当时，，当时，，所以，，此时，不合乎题意；②当时，，且当时，，此时函数的值域为，即.（i）当时，即当时，恒成立，合乎题意；（ii）当时，即当时，取，结合图象可知，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.视角6.主元法例13．（2018全国卷1文科）已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．解法1：（1）)的定义域为，．由题设知，，所以．从而，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．（2）当时，．设，则当时，；当时，．所以是的最小值点．故当时，．因此，当时，．解法2.主元法令，则，故在上递增，那么，由于，等号成立当且仅当，另一方面：，等号成立当且仅当.综上，，等号成立当且仅当.证毕.例14.已知函数.当时，讨论的单调性：当时，证明：.解析：（2）当时，欲证，即证，亦即证.设，则.令，解得，且当时，，单调递减：当时，，单调递增，所以，所以，命题得证.视角7.凸凹反转凸凹反转首先是证明不等式的一种技巧，欲证明，若可将不等式左端拆成，且的话，就可证明原不等式成立.通常情况，我们一般选取为上凸型函数，为下凹型函数来完成证明.于是，这就需要我们熟悉高中阶段常见的六个具有这样特点的函数.（公众号：凌晨讲数学）例15.（2013全国卷）设函数，曲线在点处的切线为．（1）求；（2）证明：．解析：（2），从而等价于．设函数，则，所以当时，；如下图所示.当时，．故在上单调递减，在上单调递增，从而在上的最小值为．设函数，则．所以当时，；当时，．故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为（1）；因为（1），所以当时，，即．例16.设函数．（1）当时，求的极值；（2）当时，证明：在上恒成立．解析：（1）当时，，当时，；当时，．在上单调递增，在上单调递减；在处取得极大值（2），无极小值；（2）当时，，下面证，即证，设，则，在上，，是减函数；在上，，是增函数．所以，设，则，在上，，是增函数；在上，，是减函数，所以，所以，即，所以，即，即在上恒成立．视角8.共零点型恒成立这类题目的原理很简单，对于恒成立，根据乘法原理，可将其拆解为：以及与在上每个横坐标处同正同负，即零点相同！这类题目需要分类讨论求解（一般情况下，展开无法完成），求讨论的步骤为：（i）,（ii）,以及易忽视的第三步：（iii）与在上每个横坐标处同正同负，零点相同，即恒同号！例17．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______．解析：设，其中，则，设.①当时，对任意的恒成立，此时，函数在上单调递减，当时，，对于函数，该函数的对称轴为直线，函数在上单调递增，当时，，所以，当时，，不合乎题意；②当时，令，可得，列表如下：极小值所以，.（i）当时，即当时，，则，不合乎题意；（ii）当时，即当时，则，此时，即.对于函数，，所以，当时，，，则对任意的恒成立.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.例18．对任意的，不等式恒成立，则实数的取值集合是（

）A． B．C． D．解析：由题意，知，令，，则，所以在上单调递增，易知，所以当时，；当时，.令，则对任意的，不等式恒成立，等价于当时，，当时，.当时，，则函数在上单调递增，所以是的零点，即，即，即.构造函数，则，函数在上单调递增，由，得，所以，即.令，则，函数在上单调递增，易知，故.故选：A.习题演练1.（23届杭州二诊）已知函数在点处的切线方程为l：，若对任意，都有成立，则______．解析：因为，所以，，所以，令，则，则，，令，则，令，得，所以时，，单调递减，时，，单调递增，当，时，，则，单调递增，，即，所以当，时，成立，当，时，，则，单调递增，，即，所以当，时，成立，综上所述.2．已知函数，.（1）讨论的零点个数；（2）若对，不等式恒成立，求a的取值范围.解析：（1）综上所述，当时，的零点个数为0；当时，有1个零点；当时，的零点个数为2.（2）解:由已知可得，.因为，，所以有令，对于，，则，则对恒成立，即对恒成立.令，则只需即可.，所以在上单调递增.所以，所以，解得.3．（2022新高考2卷）已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求a的取值范围；（3）设，证明：．解析：（2）方法1：单调性讨论：（公众号：凌晨讲数学）设，则，又，设，则，若，则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设矛盾.若，则，下证：对任意，总有成立，证明：设，故，故在上为减函数，故即成立.由上述不等式有，故总成立，即在上为减函数，所以.当时，有.所以在上为减函数，所以.综上，.方法2：不等式放缩（公众号：凌晨讲数学）由当时，，得在区间内恒成立，即在区间内恒成立，在不等式中，令，可得当时，，即，故当时，不等式成立.当时，在区间内恒成立，即在区间内恒成立，满足题意.当，即,方法同上.方法3：必要性探路由题知，因为，所以，解得，下面证明对且恒成立.只需证明对恒成立对恒成立（令，则）①对恒成立，设，则，所以，故①式成立，则的取值范围为4.已知函数（）．（1）讨论的单调性；（2）若，当时，，求k的取值范围．解析：（2）当时，恒成立；当时，原