18.正弦定理和余弦定理的基本应用-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

18.解三角形中的基本结论与应用一．基本结论1.正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，，则有，(为的外接圆的半径).2.正弦定理的变形公式：=1\*GB3①，，；=2\*GB3②，，；=3\*GB3③；④.3.余弦定理：在中，有，推论：；变形：.4.解三角形中，用正（余）弦定理主要解决以下类型：（1）知道两边及其一边所对角，正弦定理解另一角，再用内角和定理解最后那个角，然后正弦（余弦）解最后那个边，且需注意以下情形的讨论：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数一解两解一解一解无解（2）知道两边及其夹角，余弦定理解第三边后再用正弦定理解角；（3）知道两角一边，先内角和定理解第三个角，再正弦定理逐次解边.5.三角形面积公式：．6.解三角形所涉及的其它知识（1）三角形内角和定理（2）三角形边角不等关系：.6.诱导公式在中的应用（1）；（2）二．典例分析例1．（2024年高考全国甲卷数学（理））在中内角所对边分别为，若，，则（

）A． B． C． D．解析：因为，则由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根据正弦定理得，所以，因为为三角形内角，则，则.故选：C.例2．(2021年高考浙江卷)在中，，M是中点，，则___________，___________．解析:由题意作出图形，如图，在中，由余弦定理得，即，解得(负值舍去)，所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得．故答案为；．例3.（2020年全国3卷）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（）A. B.2 C.4 D.8解析：设，故选：C例4．(2021年高考全国乙卷)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．解析：由题意，，所以，所以，解得(负值舍去)．故答案为：．例5.(2020年全国1卷)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________．解析：，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得．故答案为：．例6．(2018年全国3卷)的内角的对边分别为，若的面积为，则（）A． B． C． D．解析：由余弦定理可得，所以由，所以，而，所以，故选C．例7．(2019年全国2卷)的内角，，的对边分别为，，.若，，，则的面积为．解析：由余弦定理得，所以，即，解得(舍去)，所以，例8.(2022年浙江省卷)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若，求的面积．解析:（1）由于，，则．因为，由正弦定理知，则．（2）因为，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面积．例9．(2022新高考全国2卷)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．（1）求面积；（2）若，求b．解析：（1）由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；（2）由正弦定理得：，则，则，．例10．(2022年高考全国乙卷)记的内角的对边分别为，已知．（1）证明：；（2）若，求的周长．解析：（1）因为，所以，所以，即，所以；（2）因为，由（1）得，由余弦定理可得，则，所以，故，所以，所以的周长为．例11．已知的面积为，若，则（

）A． B．C． D．解析：，由二倍角公式，，整理可得，，A选项正确；由诱导公式，，展开可得，即，下证.方法一：分类讨论若，则可知等式成立；若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理，又，于是，与条件不符，则不成立；若，类似可推导出，则不成立.综上讨论可知，，即.方法二：边角转化时，由，则，于是，由正弦定理，，由余弦定理可知，，则，若，则，注意到，则，于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是，结合，而都是锐角，则，于是，这和相矛盾，故不成立，则方法三：结合射影定理（方法一改进）由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是，则，可同方法一种讨论的角度，推出，方法四：和差化积（方法一改进）续法三：，可知同时为或者异号，即，展开可得，，即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知.由，由，则，即，则，同理，由上述推导，，则，不妨设，则，即，由两角和差的正弦公式可知，C选项正确由两角和的正切公式可得，，设，则，由，则，则，于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误.故选：ABC三．习题演练1．在中，角所对的边长分别为.若，则（

）A． B． C．或 D．或解析：因为，则，所以，由正弦定理得，所以，所以或.故选：D.2．在中，内角的对边分别为，若，且，则（

）A．1 B． C． D．2解析：因为，两边同时乘以得：，由余弦定理可得，则，所以有，又，所以，又因为，所以.故选：A3．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，则等于（

）A． B． C． D．解析：∵，∴，结合即可求得．由余弦定理可得.又∵，∴．故选：D4．在中，，，，则（

）A． B．4 C． D．解析：，，，所以，解得，，因为，所以，.故选：C.5.在中，若，则（）A． B． C． D．解析：根据正弦定理，可知，，，代入原式可得,又，，则，，，得.故选：B6．若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（

）A．角C为钝角 B．C． D．的最小值为解析：对于A，∵，∴，即，∴，又，∴一定为钝角，故选项A正确；对于B，由余弦定理知，，化简得，故选项B正确；对于C，∵，∴，故选项C正确；对于D，∵∴，∵为钝角，则，，∴，当且仅当，即时，等号成立，此时取得最大值，故选项D错误.故选：ABC.7．在中，其内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为________.解析：在中，，，，由余弦定理得：，，解得，所以，故答案为：38．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则_____.解析：由，由余弦定理得，由正弦定理得，因为，即，即，因为，则，因为，故.故答案为：9．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为_________解析：（方法1）边化角因为，由正弦定理得，因为，所以．又因为，由余弦定理，可得，所以，即为锐角，且，从而求得，所以的面积为.故答案为：.（方法2）角化边因为，由正弦定理得，即，又，所以，．又因为，由余弦定理，可得，所以，即为锐角，且，从而求得，所以的面积为.故答案为：.10.如图，在△ABC所在平面内，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCHG．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．已知，且asinA＋csinC＝4asinCsinB，则FH＝．解析：，，由已知有，又，所以，则．11．(2021年新高考全国2卷)在中，角、、所对的边长分别为、、，，．．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解析:（1）因为，则，则，故，，，所以，锐角，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，，故．12.在中，角，，所对的边分别为，，，，.（1）求外接圆的面积；（2）若，，求的周长.解析：（1）∵，∴，由正弦定理得：，因为，所以，得，又，故，∴外接圆的半径，∴外接圆的面积为.（2）由及得：，，∵，则为锐角，∴，故.如图所示，在中，由余弦定理得，，解得，则的周长为.13.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求；（2）已知，求的面积．解析：（1）已知，代入余弦定理，，化简得：，所以．（2）由正弦定理知即，又，故，即，得，故（舍），此时，，，则的面积.14.在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为在方向上的投影向量，且满足.（1）求的值；（2）若，，求的周长.解析：（1）由为在方向上的投影向量，则，即，根据正弦定理，，在锐角中，，则，即，由，则，整理可得，解得.（2）由，根据正弦定理，可得，在中，，则，，，由（1）可知，，则，由，则，解得，，根据正弦定理，可得，则，，故的周长.15.(2020年新高考全国Ⅰ卷)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解析：由可得：，不妨设，则：，即．选择条件①的解析：据此可得：，，此时．选择条件②的解析：据此可得：，则：，此时：，则：．选择条件③的解析：可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．16．(2019年高考江苏卷)在中，角的对边分别为．（1）若，求的值；（2）若，求的值．解析：（1）因为由余弦定理，得，即.所以.（2）因为，由正弦定理，得，所以.从而，即，故.因为，所以，从而.因此.17．(2018年高考数学天津卷)在中，内角所对的边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）设，求和的值．解析：（1）在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又