24.空间平行的八种常见解法-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

24.空间平行的八种常见解法一．基本原理1．直线、平面平行的判定及其性质在空间平行的证明中，线面平行的证明是最常见的，而线面平行的证明主要是证明空间线线平行，其主要的手法有：（1）.构造中位线证明平行（2）.利用相似比证明平行（3）.构造平行四边形证平行（4）.利用线面平行性质证平行2．直线、平面垂直的判定及其性质二．典例分析题型1.构造中位线证明平行题型2.利用相似比证明平行题型3.构造平行四边形证平行题型4.利用线面垂直证线线平行（垂直于同一个平面的两直线平行）题型5.利用线面平行性质证（找）平行题型6.利用面面平行证线面平行题型7.面面平行的证明题型8.空间向量证明平行例1．如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．证明：平面.解析:证明：连接并延长交于点，连接、，因为是三棱锥的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以,所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，又平面，平面，所以平面题型2.利用相似比证明平行例2．如图，圆台上底面半径为1，下底面半径为，为圆台下底面的一条直径，圆上点满足，是圆台上底面的一条半径，点在平面的同侧，且.证明：平面.解析：取中点，连接，如图，由题意，，又.又，故，所以四边形为平行四边形，则，又面平面，故平面.题型3.构造平行四边形证平行例3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，AD⊥CD，CD=2AB=4，△PAD是正三角形，E是棱PC的中点．证明：BE平面PAD解析：（1）取中点，连接．，四边形为平行四边形，，又不在平面平面，平面．题型4.利用线面垂直证线线平行（垂直于同一个平面的两直线平行）例4．如图，和都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面．证明：平面.解析：如图，取的中点，连接，则，又因为平面平面，且平面平面，平面，则平面，又平面，所以，又平面，平面，所以平面．题型5.利用线面平行性质证（找）平行线面平行的性质除了可以找到线线平行之外，还给出了一个找面与面交线的方法，这在很多面面相交，但交线未知的问题中会用到该结论.例5．如图，正四棱锥和正三棱锥顶点均为.设平面与平面的交线为，求证：.解析：取的中点，连接，因为，所以，又平面，所以平面，又因平面，所以，因为平面，平面，所以平面，又因平面与平面的交线为，平面，所以，因为，所以.例6．如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，，，分别为的中点，平面与底面的交线为.证明：平面.解析：因为分别为的中点，所以，.又平面，平面，所以，平面.又平面，平面与底面的交线为，所以，.从而，.而平面，平面，所以，平面.题型6.利用面面平行证线面平行例7.如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的内接正三角形，，劣弧上是否存在点D，使得平面？解析：如图过点作的平行线交劣弧于点D，连接，，因为∥，平面，平面，则∥平面，同理可证∥平面，，且平面，平面，所以平面∥平面，又因为平面，所以∥平面，故存在点满足题意.题型7.面面平行的证明例8．如图所示的在多面体中，，平面平面，平面平面，点分别是中点.证明：平面平面.解析：如图，取中点，连接，因为，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，所以，又因为平面平面，所以平面，因为点分别是中点，所以，又因为平面平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.题型8.空间向量证明平行例9.（2022乙卷）在正方体中，分别为的中点，则A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面解析：在正方体中，且平面，又平面，所以，因为分别为的中点，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；接下来的选项通过向量法来分析.如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则，，则，，设平面的法向量为，则有，可取，同理可得平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，则，所以平面与平面不垂直，故B错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故C错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故D错误，故选：A.三．习题演练一、单选题1．已知，是两条直线，，是两个平面，有以下三个命题：①，相交且都在平面，外，，，，，则；②若，，则；③若，，，则．其中正确命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（

）

A． B． C． D．3．在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（

）A． B．C． D．4．在空间四边形中，分别为边上的点，且，又分别为的中点，则（）A．平面，且四边形EFGH是矩形B．平面，且四边形EFGH是梯形C．平面，且四边形EFGH是菱形D．平面，且四边形EFGH是平行四边形二、多选题5．设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，则下列四个命题正确的为（）A．若，，则B．若，则C．若，，则D．若，则6．设a，b是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则7．如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为与的交点，下列说法正确的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面8．如图所示，在三棱柱中，若、D分别为、BC的中点，求证：平面平面．9．如图，在正方体中，为的中点.(1)求证：平面；(2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由.10．如图，四棱锥的底面为平行四边形．设平面与平面的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．

(1)求证：平面平面；(2)求证：．11．如图，长方体中，，点P为的中点.(1)求证:直线平面;(2)求异面直线、所成角的大小.参考答案1．B【详解】①因为相交，所以共面，设这个平面为，因为，，，，相交，所以，同理可得，所以，故①正确；②，有可能相交，若平行，的交线，此时也满足，，故②错；③，有可能相交，若，平行，的交线，此时也满足，，，故③错.故选：B.2．B【详解】解析如图所示，延长交于，连接，则，所以.因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，又四边形是平行四边形，所以，所以.因为，所以.因为，所以，所以，故选：B.

3．A【详解】A选项：如图所示，由中位线性质可知，且平面，则与平面不平行，A选项满足题意；B选项：由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知B不满足题意；C选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知C不满足题意；D选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知D不满足题意，故选：A．4．B【详解】如图所示，在平面内，​，又平面，平面平面．分别是的中点，．又​，．在四边形EFGH中，且​四边形EFGH为梯形．故选：B．5．ACD【详解】对于A，由面面平行的传递性可知A正确；对于B，若，则或与相交，所以B错误；对于C，若两个平面平行，其中一个平面内的任一直线都与另一个平面平行，所以C正确；对于D，因为，所以，同理，由平行线的传递性可得，所以D正确．故选：ACD.6．AD【详解】对于A，因为，由线面平行的判定定理知A正确；对于B，若，则可能异面，故B错误；对于C，若，则可能相交，故C错误；对于D，若，则，由面面平行的性质定理知D正确.故选：AD.7．ABD【详解】因为为平行四边形对角线的交点，所以为的中点，又为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，A选项正确；同理平面，平面，所以，B选项正确；由四边形为平行四边形，所以，平面，平面，故平面，故D正确；又与平面相交于点，故C错误；故选：ABD.8．【详解】证明：如图所示，连接交于点M，∵四边形是平行四边形，∴M是的中点．连接MD．∵D为BC的中点，∴．∵平面，平面，∴平面．又由三棱柱的性质知，，∴四边形为平行四边形，∴．又平面，平面，∴平面．又∵，平面，平面，∴平面平面．9．【详解】（1）证明：连接交于，连接．因为为正方体，底面为正方形，对角线、交于点，所以为的中点，又因为为的中点，在中，是的中位线，则，又平面，平面，所以平面；（2）上的中点即满足平面平面．因为为的中点，为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；由（1）知平面，又因为，平面，所以平面平面．10．【详解】（1）因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形，所以，，又平面，平面，则平面，同理平面，平面，可