29.圆中十大最值问题-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

29.圆中最值问题的十大应用一．重要结论1.圆中与距离最值有关的常见的结论：结论1.圆外一点到圆上距离最近为，最远为；结论2.过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短的弦为与过该点的直径垂直的弦；结论3.直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离，最近为；2.圆中与面积有关的最值结论：结论4.圆的内接三角形面积最大当且仅当其为等边三角形；结论5.过圆外一点向圆引两条切线，切点记为，则四边形面积的最值等价于圆心到点的距离最值.3.圆中与角度有关的最值问题.结论6.圆上两点与圆外一点的连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这两条直线为切线时最大.结论7.圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大.结论8.圆上一点、圆外两点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大.结论9.圆内两点，圆上一点（圆上点为顶点）的最大夹角问题（米勒圆问题）.4.其他与圆有关的最值问题结论10．两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.二．典例分析例1（湖南省九校联盟2025年九月高三联考）.已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则A.B.C.D.解析：由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离，所以当，分别为圆的切线，且最小时，最大，又，则最大，所以最大，此时最小，此时.显然的最大值为1，故.例2.（2021新高考1卷）．已知点在圆上，点，，则（

）A．点到直线的距离小于B．点到直线的距离大于C．当最小时，D．当最大时，解析：圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.例3.已知点，点在圆上运动，的最大值为，最小值为，则（

）A． B． C． D．解析：如图，过点向圆引两条切线，切点分别为，则与分别为的最大､最小角，设，由，可得，由可知，所以.故选：D.例4.已知向量，且，则与夹角的最大值为（

）A． B． C． D．解析：已知向量，，即,即，建立如图所示平面直角坐标系，设，，，，则，，，又，则，即N的轨迹为以为圆心，为半径的圆，由图可知，当与圆相切时，最大，此时，则的最大值为，即与夹角的最大值为.故选：例5.已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（

）A． B． C． D．解析：圆的圆心的坐标为，半径为，因为，为圆的切线，切点分别为，所以，，，，所以，所以，，设，则，当时，，此时最大，又，函数在上单调递增，所以当时，即时，最大，此时最大，最小，则．故选：D．

例6.（2025年新高考1卷）设椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足．（i）设，求点的坐标（用m，n表示）；（ii）设O为坐标原点，是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值．解析：（1）由题可知，，所以，解得，故椭圆的标准方程为；（2）（i）设，易知，所以，故，且．因为，，所以，即，解得，所以，所以点的坐标为.（ii）因为，，由，可得，化简得，即，所以点在以为圆心，为半径的圆上（除去两个点），为到圆心的距离加上半径，设，则，，当且仅当时取等号，故.三．强化练习1．已知圆的方程为，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（

）A． B．10 C． D．52．在圆中，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．3．已知点是圆上的动点，则的最大值为（

）A． B． C．6 D．54．已知方程表示的圆中，当圆面积最小时，此时（

）A．-1 B．0 C．1 D．25．直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．26．设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．157．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（

）A．6 B．5 C．4 D．38．已知点M，N分别在圆与圆上，则的最大值为（

）A． B．17 C． D．159．已知P是半圆C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．参考答案1．已知圆的方程为，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（

）A． B．10 C． D．5【答案】A2．在圆中，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B3．已知点是圆上的动点，则的最大值为（

）A． B． C．6 D．5【答案】A4．已知方程表示的圆中，当圆面积最小时，此时（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B5．直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．2【答案】D6．设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．15【答案】B7．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和