34.抛物线焦点弦的十大应用-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

34.抛物线焦点弦的十二个热门结论抛物线的焦点弦具有丰富的性质，它是对抛物线定义的进一步考察，也是抛物线这节中最重要的考点之一，下面罗列出常见的抛物线焦点弦性质:假设抛物线方程为.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，其坐标分别为

.性质1.,.证明：性质1的证明很简单，由抛物线的定义即可证得.如上图，过向准线引垂线，垂足分别为.由定义可知：.代入坐标即可证得相关结论.性质2.抛物线的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：.证明：，则的方程为，整理可得：，即可得的方程为：.最后，由于直线过焦点，代入焦点坐标可得.再代入抛物线方程.一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么.于是，若恒过定点.性质3.已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则（1）.（2）.证明：设准线交轴于点，过点作轴于，作于，由抛物线定义可知：．其中，.所以，，故．同理，所以．性质4.抛物线的通径(1).通径长为.(2).焦点弦中，通径最短.(3).通径越长，抛物线开口越大.由性质3易得，略.性质5.已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若弦中点的坐标为，则.证明：设坐标为，由抛物线定义：，故.性质6.（1）以AB为直径的圆与准线相切.（2）以为直径的圆与切于焦点；（3）以焦半径为直径的圆与轴相切；（4）以焦半径为直径的圆与与轴相切；性质7.抛物线的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：.性质8.正交弦性质:已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,直线与交于两点,直线与交于两点,则的调和平均数为定值:．性质9.已知是抛物线中过焦点的两条相互垂直的弦，存在最小值，且最小值为.证明：（当且仅当时等式成立），所以的最小值为.性质10.已知是抛物线中过焦点的两条相互垂直的弦，则四边形的面积的最小值为.性质11.（1）三点共线；（2）三点共线．性质12.过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，自向准线作垂线，垂足分别为.记的面积分别为,,，则.二．典例分析例1．（2023年新高考2卷）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（

）．A． B．C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形解析：A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.

例2．（2022新高考2卷）已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线与交于，两点，点在第一象限，点，若，则直线的斜率为A．直线AB的斜率为2 B．C． D．解析：选项A：设中点为，则所以所以故选项B：所以所以选项C：选项D：由选项A,B知所以所以为钝角；又所以为钝角；所以.故选ACD.例3．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,,直线与交于两点,直线与交于两点,则的是小值为()A． B． C． D．解析：设,,直线方程为取方程,得∴同理直线与抛物线的交点满足由抛物线定义可知当且仅当(或)时,取得等号．上述例2，在知晓背景的情况下解答是很容易的，这再次说明记住一些重要的二级结论可以优化运算，提升解题速度.下例中，我们将看到有关面积的定值问题，从而为前面的重要结论做一个补充.例4.已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为，则_______.解析：如下图所示：不妨设点在第一象限，联立可得，即点易知轴，则轴，则，所以，直线的倾斜角为，易知点，所以，，整理可得，且有，故，等式两边平方可得，即，解得（6舍去），故答案为：.例5．已知拋物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（

）A．若为△的中线，则B．若为的角平分线，则C．存在直线，使得D．对于任意直线，都有解析：由题意，设，不妨令都在第一象限，，联立，则，且，即，所以，则，如上图所示.A：若为△的中线，则，所以，所以，故，所以，则，故A正确；B：若为的角平分线，则，作垂直准线于，则且，所以，即，则，将代入整理，得，则，所以，故B错误；C：若，即，即△为等腰直角三角形，此时，即，所以，所以，所以，所以，则此时为同一点，不合题设，故C错误；D：，而，结合，可得，即恒成立，故D正确.故选：AD.例6．已知，，…，是抛物线上不同的点，且．若，则______．解析：设，､､､…､是抛物线上不同的点，点,准线为，则，所以所以，即，故答案16.例7．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆过椭圆右焦点，且与直线相切．（1）求椭圆的方程及动圆圆心轨迹的方程；（2）过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于，两点，交曲线于，两点，求四边形面积的最小值．解析：（1）由已知可得，则所求椭圆方程．由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程为，则动圆圆心轨迹方程为．（2）当直线的斜率不存在时，，此时的长即为椭圆长轴长，，从而．设直线的斜率为，则，直线的方程为：，直线的方程为，设，，，，，，，，由，消去可得，由抛物线定义可知：，由，消去得，从而，所以，令，因为，则，则.因为.所以.所以四边形面积的最小值为8．三．习题演练1．若抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上且在第一象限，直线的斜率为，在直线上的射影为，则下列选项正确的是（

）A．到直线的距离为 B．的面积为C．的垂直平分线过点 D．以为直径的圆过点解析：对A，易知抛物线的焦点，直线即为，故到直线的距离为，故A错误；对B，设直线方程为，代入，得，解得，则直线方程为，联立抛物线方程，解得或，因为点在第一象限，故取，即，则，故B正确，对C，根据抛物线定义得，则的垂直平分线过点，故C正确，对D，，，故以为直径的方程为，将点代入左边得，故D错误.故选：BC.2．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．以为直径的圆与准线相交C．设，则D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条解析：抛物线焦点，准线，由题意，故A正确；因为，则以为直径的圆的半径，线段的中点坐标为，则线段的中点到准线的距离为，所以以为直径的圆与准线相切，故B错误；抛物线的焦点为，，当且仅当三点共线时，取等号，所以，故C正确；对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个公共点，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，消得，当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点，当时，则，解得，综上所述，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条，故D正确．故选：ACD．3．如图，已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线（直线的倾斜角为锐角）与抛物线相交于两点（在轴的上方，在轴的下方），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则（

）A．若抛物线的焦点的坐标为，则B．若，则直线的斜率为2C．当时，若为等腰三角形，则的面积为D．当时，解析：对于选项，可得，有，故选项正确；对于选项，由，可得，又由，有为的中位线，有，可得点的横坐标为，代入抛物线的方程，求得点的纵坐标为，故直线的斜率为，故B选项错误；对于选项，当为等腰三角形时，，直线的斜率为1，焦点的坐标为，直线的方程为，联立方程，解得点的横坐标为，有，则的面积为，故C选项正确；对于选项D，如图，过点作直线的垂线，垂足为，记，当时，有，由抛物线的性质有，在中，，有，可得，得，有，故选项正确.4．（2025新高考1卷）设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（

）A． B．C． D．解析：法一：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点，则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，由抛物线的定义可知，，故A正确；对于B，过点作准线的垂线，交于点，由题意可知，则，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，显然为的斜边，则，故B错误；对于C，易知直线的斜率不为，设直线的方程为，，联立，得，易知，则，又，，所以，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，在与中，，所以，则，即，同理，又，，所以，则，故D正确.故选：ACD.法二：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点，则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，由抛物线的定义可知，，故A正确；对于B，过点作准线的垂线，交于点，由题意可知，则，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，显然为的斜边，则，故B错误；对于C，当直线的斜率不存在时，；当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，消去，得，易知，则，所以，综上，，故C正确；对于D，在与中，，所以，则，即，同理，当直线的斜率不存在时，，；所以，即；当直线的斜率存在时，，，所以，则；综上，，故D正确.故选：ACD.5.已知为坐标原点,过抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于两点（1）用表示之间的距离;（2）证明:的大小是与无关的定值,并求出这个值.解析：（1）过焦点，且倾斜角为的直线方程是.由，得.设则，，故.（2）由（1）知：，，，，，，所以，在中，由余弦定理可知，.即的大小是与p无关的定值，且.6.（2022年全国甲卷）已知直线与抛物线交于两点，且．（1）求；（2）设F为C的焦点，M，N为C上