35. 抛物线的切线-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

35.抛物线的切线及应用一．基本原理1．单切线如图，点为抛物线的准线与轴交点，为抛物线上任意一点，则最小当且仅当为抛物线的切线.2.双切线如图，过点向抛物线引两条切线，切点分别为，则有：结论1.直线的方程为.结论2.若为准线上任一一点，则直线过抛物线的焦点.反之，过的直线与抛物线交于两点，以分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点的轨迹即为抛物线的准线.此时有.结论3.直线的中点为，则平行于抛物线的对称轴.3.三切线如图，过点做抛物线的切线，切点为，过点做抛物线切线与分别交于，即可得到抛物线的三切线模型.二．典例分析例1．已知点为抛物线的焦点，，点为抛物线上一动点，当最小时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的实轴长为（

）A． B．C． D．解析：由题意是抛物线的准线与轴的交点，过作，垂足为，则，，由题意最小，是锐角，因此最小时，是抛物线的切线，设直线方程为，由，得（*），，，由对称性，不妨取，方程（*）为，，，所以，故双曲线的实轴长为，故选：D．例2．已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，点在第一象限且在抛物线上，则当取最大值时，直线方程为（

）A． B． C． D．解析：过点作与准线垂直，垂足为，，如图：当最大时，取最大值，此时与抛物线相切.∵抛物线的焦点，∴，设切线方程为，则，∴，由解得，，∵点M在第一象限内，∴，直线方程为：.故选：C.例3．已知抛物线：，过点作抛物线的两条切线，，，为切点，若直线经过抛物线的焦点，则抛物线的方程为（）A． B． C． D．例4.已知经过点的椭圆的上焦点与抛物线焦点重合,过椭圆上一动点作抛物线的两条切线,切点分别为、.（1）求和的方程;（2）当在椭圆位于轴下方的曲线上运动时,试求面积的最大值.解析：（2）抛物线的方程为,即,对该函数求导得设点、、，直线的方程为，即同理可知,直线的方程为由于点为这两条直线的公共点,则，所以,点、的坐标满足方程，所以,直线的方程为联立,可得:由韦达定理可得:所以点到直线的距离为，所以 ，由题可得:，所以当时,的面积取最大值例5．已知抛物线（p为常数，）．（1）若直线与H只有一个公共点，求k；（2）贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了DeCasteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：．解析：（1）将代入，化简得（*），方程（*）的判别式，化简得，即．（2）设，设抛物线在点处的切线方程为，由消去并化简得，，，，解得，故切线方程为，，，即，同理可求得抛物线上过点B，C的切线方程分别为：，，由过的切线方程两两联立，可以求得交点D，E，F的横坐标分别为：，，，注意到结论中线段长度的比例可以转化为点的横坐标的比例，得，命题得证．三．习题演练1．已知P为直线上一动点，过点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，则原点到直线距离的最大值为（

）A．1 B． C． D．2解析：设，切点为，由，得，则，所以在点处的切线方程为，即，因为，所以在点处的切线方程为，即，因为，所以因为两切线都过点，所以，，所以直线的方程为，即，所以原点到直线距离为，当且仅当时取等号，所以原点到直线距离的最大值为，故选：B2.过点的两条直线与抛物线分别相切于两点,则三角形的面积为()A． B．3 C．27 D．解析：抛物线，即，故，设两点的坐标为，则有，整理得，同理故直线的方程为，由得，故，因为点到直线的距离为，故三角形的面积为故选：.3．已知抛物线，点P为的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB的距离的最大值为___________.解析：解：设，易知点A处的斜率不为0，设斜率为k，所以点A处的切线方程为，由，消去x得，由得，所以A处的切线方程为，因为切线过点，所以，同理可得点B处的切线方程为，所以直线AB的方程为，则直线AB过定点，所以点到直线AB的距离的最大值为：点到定点的距离.故答案为：4．已知为抛物线：的焦点，过直线上任一点向抛物线引切线，切点分别为A，，若点在直线上的射影为，则的取值范围为______．解析：设，，，不妨设在轴上方，时，，，所以切线的方程为，代入得，又，∴，得，同理可得．因此直线的方程为，直线过定点，，∴在以为直径的圆上，该圆圆心，半径为1，由已知，，∴的最大值为，最小值为，时，直线方程为，此时，与轴垂直，点与点重合，即，点不可能与点重合，最大值取不到．所以的范围是．故答案为：．5．已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．（1）求；（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．解析：（1）．（2）（方法1）抛物线的方程为,即,对该函数求导得,设点、、,直线的方程为,即,即,同理可知，直线的方程为，由于点为这两条直线的公共点，则，所以，点A、的坐标满足方程，所以，直