36.解析几何中最常见的隐圆问题-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

36.解析几何中最常考的隐圆问题一．基本原理 1.上一节我们讲到：一动两定点，且满足：.由于定值，设中点为，根据平面向量部分极化恒等式可得：，故动点是以中点为圆心，半径为的圆.当时，即，此时动点在以为直径的圆上.即：一动两定点，外加一垂直，必有隐圆现.2.原理的具体应用（1）产生垂直的常见方式：（i）直接告诉垂直关系；（ii）垂直线系.与垂直的直线方程为的形式.（2）产生定点的常见方式：（i）定点线系；（ii）斜率和积产生定点.二．典例分析已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（

）A．3 B．2 C．1 D．0解析：设点，则，且，由，得，即，故点P的轨迹为一个圆心为，半径为的圆，则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为，有，所以两圆相交，满足这样的点P有2个.故选B.例2.已知点在动直线上的投影为点M，若点，则的最大值为（

）A．1 B． C．2 D．解析：由动直线方程得，所以该直线过定点Q（1,3），所以动点M在以PQ为直径的圆上，所以圆的半径为圆心的坐标为，所以点N到圆心的距离为，所以的最大值为.故选：D.★应用3.利用定点线系与垂直线系产生隐圆例3．已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（

）A． B． C． D．解析：依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线，因此，直线与交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，其方程为：，圆心，半径，而圆C的圆心，半径，如图：，两圆外离，由圆的几何性质得：，，所以的取值范围是：.故选：B★应用4.利用斜率和积产生定点加垂直产生隐圆例4.（2020年新高考1卷）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．解析：（1）由题意可得椭圆方程为：.（2）设点.因为AM⊥AN，即,①当直线MN的斜率存在时，设方程为,如图1.代入椭圆方程消去并整理得：②,根据,代入①整理可得：，将②代入可得：，整理化简得,∵不在直线上，∴，∴，于是MN的方程为，所以直线过定点直线过定点.当直线MN的斜率不存在时，可得,如图2.代入得,结合,解得,此时直线MN过点,由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，所以AE中点Q满足为定值（AE长度的一半）.由于，故由中点坐标公式可得.故存在点，使得|DQ|为定值.三．习题演练1．已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（

）A． B． C． D．3．已知直线，直线，与相交于点A，则点A的轨迹方程为_____________.4．已知直线：，点，，点在直线上的射影为，则线段长度的取值范围为__________.5．已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点.（1）求抛物线的方程；（2）若直线斜率为1，且过点，求线段的长度；（3）直线与拋物线交于不同于的、两点，若以为直径的圆经过点，且于，证明：存在定点，使为定值.参考答案1.解析：由可得点的轨迹为以线段为直线的圆，圆心为，半径为，又直线，其过定点，故距离的最大值为.故答案为：C2.解析：说明在以为直径的圆上，而又在圆上，因此两圆有公共点，则圆心距位于半径差的绝对值与半径和的闭区间中，所以，即，又，解得.故选：B3.解析：因为，所以直线过点，直线过点，因为，所以，设，所以，所以，所以，化简可得：.故答案为：.4.解析：由直线方程可知，联立，解得，则该直线过定点，因为点在直线上的射影为，且，所以的轨迹为以为直径的圆，圆的方程为，所以圆心为，，因为，所以，则，因此长度的取值范围为.故答案为：5.解析：（1）抛物线的焦点为，则，即，所以抛物线为；（2）直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：，得，，设，由韦达定理得，故；（3）由题意可知直线斜率不为0，设其方程为