43.基于距离公式构造六类多元最值-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

43.利用距离公式构造六类多元最值一．基本原理★1.两点间距离间距离：.★2.点到直线距离★3.将军饮马模型直线型将军饮马模型：如图，动点为直线上一点，为直线一侧的两个定点，那么的最小值即为做点关于的对称点，然后连接后其长度.★4.费马点模型费马点：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小.图1图2注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A.（通常只考查三角形的最大顶角小于120°）证明：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．★5.重心模型在中，设点，到的3个顶点距离的平方和最小的点为的重心.证明：设点，其中，则当且时，取得最小值，此时点为重心.★6.正方形模型已知，．（1）求证：，并求使等式成立的条件．（2）说明上述不等式的几何意义．证明：（1）∵0＜x＜1，0＜y＜1，设P（x，y），A（1，0），B（1，1），C（0，1），如图：则|PO|，|PA|，|PB|，|PC|，∵|PO|+|PB|≥|BO|，|PA|+|PC|≥|AC|，∴|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥（当且仅当点P为正方形的对角线AC与OB的交点是取等号），即x＝y时取等号．∴．

（2）对于（1）中不等式，它的几何意义是：边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离的和不小于两条对角线的和.二．典例分析例1．函数的最大值为__________．解析：因为，所以问题可转化为求动点与点，的距离之差的最大值．如图：因为，当且仅当，，三点共线时等号成立，所以，此时．故答案为：例2．已知函数，则的最小值为__________．解析：，转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小，由图可知，距离之和的最小值为5．故答案为：.例3．已知为直线上的一点，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．3解析：如图，为点到原点和到点的距离之和，即．设关于直线对称的点为，则，解得，即，则，当三点共线时，取到最小值，且最小值为．故选：D.例4．在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8解析：如图，过点作点关于直线的对称点，则.设，则有，解得，所以.设第一象限内的点，则，所以，而，，所以点到轴的距离为，所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和.过作轴，显然有，当且仅当三点共线时，和有最小值.过点作轴，则即为的最小值，此时与重合.又，所以的最小值为.故选：B.例5．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为.根据以上性质，的最小值为（

）A． B． C． D．解析：由题的几何意义为点到点的距离之和的最小值.由题可知，此时，且在轴上.故.，.故的最小值为，故选：D例6．已知实数满足，，则的最大值为____________.解析：设圆，直线，，，则，都在圆上，∵，，∴是等边三角形，∴．过和作直线的垂线，垂足分别为则表示和到直线的距离和，由图形得只有当、都在直线的下方时，该距离之和才会取得最大值．取的中点，过作，垂足为，则，∵为等边三角形，为的中点，∴，则在圆上运动，又到直线的距离为，则当时，到直线距离的最大值为，∴的最大值为，即的最大值为.故答案为：.例7．已知，则的最小值是____________.解析：设，因为，则点在矩形内部，如图所示，可得，当且仅当为的交点时，等号成立，故答案为：.例8．已知函数，函数，若，使成立，则实数的取值范围为_________.解析：∵，则，设，，，如图，∴，∴，当且仅当，，三点共线且在，之间时等号成立，又，故的最大值为；∵，令，则，化简可得，∴，当，即时等号成立，∴，又，使成立，∴，∴，故m的取值范围为.

下面的题目将结合导数，适合高三复习备考.例9．若存在实数使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．解析：不等式成立，即，即，其几何意义表示点与的距离的平方不超过，即最大值为．∵为直线：即上一点，∴设与平行，且与相切于点，∴，由导数的几何意义，在点处切线的斜率，∴解得，∴，∴直线：上的点与曲线的距离的最小值即点到直线的距离，∴当且仅当时，，∴解得，综上所述，的取值集合为．故选：A．例10．已知实数x，y满足，且，若实数a，b使得关于x的方程在区间上有解，则的最小值是___________．解析：由题设，则，，由，可得，即，令且，则，故在上单调递减，由上，故，依题意即在区间上有解，所以表示直线（