56.数列应用中几个常见的背景素材-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

数列应用中几个常见的背景素材一．基本原理1.定义：欧拉函数是一个定义在正整数集上的函数,的值等于中与互素的数的个数.2.计算公式：（1）若为素数，则（2）若为素数，且，形成了一个等比数列.证明：即证.由的定义知等于从减去中与不互质的数的个数；亦即等于从减去中与不互质的数的个数.由于是质数，故等于从减去中被整除的数的个数.由于中被整除的数的个数是，故.3.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”.由此可知：斐波那契数列的递推关系为：，那么它的通项公式为.通项公式的求解可直接利用二阶线性递推数列的特征方程来计算，简单计算过程如下：递推关系所对应的特征方程为，方程的根为，故数列的通项公式为，代入可得：.4．无限循环小数转化成数列的基本原理，当.比如.5.数列中的计数问题的基本形式如下：记数列落在区间的个数为，讨论数列的性质.这种问题的关键就是利用数列自变量的计数功能，通过不等式，由于为正整数，从而实现对自变量的计数，当然，这里面需要一丝丝取整背景，需要读者注意.进一步：目前的题目的计算背景主要分布在去解下面三个不等式：①．②．③．6.定义：设整数，则每个正整数可唯一表示为，其中满足，，则称为正整数的进制表示中的数码.特别地，当时就可得到正整数的二进制表示..二进制的运算性质.（1）若，则称为正整数的进制表示中的数码和，显然.证明：由于，则，显然可得.（公众号：凌晨讲数学）二进制的加法运算：“逢二进一”.待会通过例题予以分析.（3），其中正整数的二进制展开式中最高次数小于.证明：由于，则，另一方面，令，则.例如：写出的二进制表示.解析：由于，故.注：可以看到，一个正整数的二进制表示其实就是以为底的幂级数展开的系数.二．典例分析例1．若正整数、只有为公约数，则称、互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则下列说法正确的是（

）A．B．数列是等差数列C．D．数列的前项和为，则解析：对于A选项，在不超过的正整数中，与互质的正整数有：、、、，故，A错；对于B选项，因为，，，显然、、不成等差数列，B错；或者用上面公式：，显然不是等差数列.对于C选项，为质数，在不超过的所有正整数中，能被整除的正整数的个数为，所有与互质的正整数的个数为，所以，，因此，，C错；或者用上面公式：，因此，，C错；对于D选项，因为为质数，在不超过的正整数中，所有偶数的个数为，所以，，所以，，则，所以，，上述两个不等式作差可得，所以，，D对.或者：若，形成了一个等比数列.故选D.例2．在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有1､2）；（与9互素有1､2､4､5､7､8）.记为数列的前n项和，则=（

）A． B． C． D．解析：因为与互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11，，，共有，所以，则，于是①，②，由①-②得，则.于是.故选：A．例3．斐波那契数列因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”.因n趋向于无穷大时，无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列满足，，若从该数列前10项中随机抽取2项，则抽取的2项至少有1项是奇数的概率为（

）A． B． C． D．解析：依题意可知，数列的前10项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，其中偶数有3个，所以从该数列前10项中随机抽取2项，则抽取的2项都是偶数的概率为，所以至少有1项是奇数的概率为.故选：D.例4．斐波那契数列满足，，其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出是斐波那契数列的第（

）项.

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023解析：由得，则，又，∴，，，，，则，故.故选：C.例5．南末数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前项分别为，则该数列的第项（

）A． B． C． D．解析：，设，，设，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，即，所以.故选：D例6．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为（

）（参考公式：）A．1450 B．1490 C．1540 D．1580解析：由于“三角形数”可以写，故第层“三角形数”为，所以层时，三角锥垛垛球的总个数为：，所以若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为，故选：C．例7．若一个等比数列{an}有无穷多项，并且它的公比满足，称{an}为无穷递缩等比数列，规定：无穷递缩等比数列，，，…，，…所有项的和，.《庄子·天下篇》中写道“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其中隐含了关系：________，类似可以将一个无限循环小数表示为分数：________.解析：，.故答案为：1，例8．无限循环小数可以通过等比数列法转化为分数.如；应用上述方法转化（，为互质整数），则_________.解析：根据题意给的转化方法可得，化简计算即可.由题意知，.故答案为：.例9．定义：公比为的无穷等比数列所有项的和为，即当n趋向于无穷大时，趋向于.利用此定义可将无限循环小数化成分数形式（，且，互质），则的分数形式为________解析：由题意可得，令，则，当n趋向于无穷大时，，所以.故答案为：.例10．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数.则_________（写成的形式，与为互质的具体正整数）；若构成了数列，设数列，求数列的前项和_________.解析：令，则，解得，所以易知所以所以所以，所以答案为：；例11.在等差数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.解析：（1）由可得而，则，，于是，即.（2）对任意m∈N﹡，，则，即，而，故，由题意可知，于是，即.例12．（2020新高考1卷）已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．解析：（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，所以，所以数列的通项公式为.（2）由题意，，即，当时，．当时，，则．例13.（2022新高考1卷）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且（1）证明：；（2）求集合中元素的个数．解析：（1）设等差数列公差为，由，知，故，由，知，故；故，整理