分数指数幂题目及答案

分数指数幂题目及答案一、分数指数幂的基本概念（20分）1.下列关于分数指数幂的说法中，正确的是（）。（3分）A.分数指数幂是指指数为分数的幂B.分数指数幂的底数必须为正数C.分数指数幂的指数必须为真分数D.分数指数幂与整数指数幂没有区别2.将下列根式表示为分数指数幂的形式：（4分）(1)$\sqrt[3]{a^2}=$________(2)$\sqrt{a^3}=$________(3)$\sqrt[4]{a^5}=$________(4)$\sqrt[5]{a^7}=$________3.计算：（4分）(1)$16^{\frac{1}{2}}=$________(2)$27^{\frac{1}{3}}=$________(3)$8^{\frac{2}{3}}=$________(4)$16^{\frac{3}{4}}=$________4.判断下列等式是否正确，正确的打"√"，错误的打"×"：（3分）(1)$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$（）(2)$a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m$（）(3)$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[m]{a^n}$（）5.填空题：（6分）(1)分数指数幂$a^{\frac{m}{n}}$中，m称为________，n称为________(2)分数指数幂$a^{\frac{m}{n}}$的定义域是________（当n为偶数时）(3)分数指数幂$a^{\frac{m}{n}}$的定义域是________（当n为奇数时）二、分数指数幂的运算规则（25分）1.计算下列各式：（8分）(1)$a^{\frac{1}{2}}\cdota^{\frac{1}{3}}=$________(2)$a^{\frac{2}{3}}\cdota^{\frac{3}{4}}=$________(3)$a^{\frac{3}{4}}\diva^{\frac{1}{2}}=$________(4)$(a^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}}=$________2.化简下列各式：（8分）(1)$(a^{\frac{1}{2}}\cdotb^{\frac{1}{3}})^2=$________(2)$(a^{\frac{2}{3}}\cdotb^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}=$________(3)$(a^{\frac{3}{4}}\divb^{\frac{1}{2}})^2=$________(4)$(a^{\frac{2}{3}}\cdotb^{\frac{1}{4}}\divc^{\frac{1}{2}})^2=$________3.计算下列各式：（4分）(1)$(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})=$________(2)$(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})=$________(3)$(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})^2=$________(4)$(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})^2=$________4.比较大小：（5分）(1)$2^{\frac{1}{2}}$与$3^{\frac{1}{3}}$，________>________(2)$5^{\frac{1}{2}}$与$4^{\frac{1}{3}}$，________>________(3)$10^{\frac{1}{2}}$与$8^{\frac{1}{3}}$，________>________(4)$3^{\frac{1}{2}}$与$2^{\frac{1}{3}}$，________>________(5)$6^{\frac{1}{2}}$与$5^{\frac{1}{3}}$，________>________三、分数指数幂的化简与求值（30分）1.化简下列各式：（10分）(1)$(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})=$________(2)$(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})=$________(3)$(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})^2=$________(4)$(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})^2=$________(5)$(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}})(a^{\frac{4}{3}}-a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{4}{3}})=$________2.求下列各式的值：（10分）(1)已知$a^{\frac{1}{2}}=2$，求$a$的值(2)已知$b^{\frac{1}{3}}=3$，求$b$的值(3)已知$c^{\frac{2}{3}}=4$，求$c$的值(4)已知$d^{\frac{3}{4}}=8$，求$d$的值(5)已知$e^{\frac{4}{5}}=16$，求$e$的值3.化简并求值：（10分）(1)已知$x+\frac{1}{x}=3$，求$x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}$的值(2)已知$y^{\frac{1}{3}}+y^{-\frac{1}{3}}=2$，求$y+\frac{1}{y}$的值(3)已知$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=5$，求$a+\frac{1}{a}$的值(4)已知$b^{\frac{2}{3}}+b^{-\frac{2}{3}}=7$，求$b+\frac{1}{b}$的值(5)已知$c^{\frac{3}{4}}+c^{-\frac{3}{4}}=10$，求$c+\frac{1}{c}$的值四、分数指数幂的方程与不等式（15分）1.解下列方程：（8分）(1)$x^{\frac{1}{2}}=4$(2)$x^{\frac{1}{3}}=2$(3)$x^{\frac{2}{3}}=9$(4)$x^{\frac{3}{4}}=8$(5)$x^{\frac{4}{5}}=16$2.解下列不等式：（7分）(1)$x^{\frac{1}{2}}>4$(2)$x^{\frac{1}{3}}<2$(3)$x^{\frac{2}{3}}\leq9$(4)$x^{\frac{3}{4}}\geq8$(5)$x^{\frac{4}{5}}\leq16$五、分数指数幂的应用题（10分）1.某物体以速度$v=10^{\frac{1}{2}}$m/s运动，求它在$t=4^{\frac{1}{2}}$秒内通过的距离。（2分）2.一个立方体的体积为$V=8^{\frac{2}{3}}$立方米，求它的边长。（2分）3.某种放射性元素的半衰期为$T=64^{\frac{1}{6}}$年，求经过$t=27^{\frac{1}{3}}$年后，剩余的质量比例。（2分）4.一个圆的面积为$A=16^{\frac{3}{4}}$平方厘米，求它的半径。（2分）5.某种细菌的数量每小时增长$r=2^{\frac{1}{2}}$倍，求经过$t=8^{\frac{1}{3}}$小时后，细菌的数量是原来的多少倍。（2分）六、分数指数幂的综合题（20分）1.已知$a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}=5$，$a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}=1$，求$a$和$b$的值。（4分）2.已知$x^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{1}{3}}=3$，$x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}=2$，求$x+y$的值。（4分）3.已知$a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}=10$，$a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}=16$，求$a+b$的值。（4分）4.已知$x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=4$，求$x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{3}{2}}$的值。（4分）5.已知$a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}=5$，$a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}=6$，求$a+b+ab$的值。（4分）答案及解析一、分数指数幂的基本概念1.A解析：选项B错误，因为当分数指数幂的指数为负数时，底数不能为零；选项C错误，分数指数幂的指数可以是任意有理数，不限于真分数；选项D错误，分数指数幂与整数指数幂有本质区别，前者涉及开方运算，后者只是重复乘法。2.(1)$a^{\frac{2}{3}}$(2)$a^{\frac{3}{2}}$(3)$a^{\frac{5}{4}}$(4)$a^{\frac{7}{5}}$解析：根据分数指数幂的定义，$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$。3.(1)$4$(2)$3$(3)$4$(4)$8$解析：(1)$16^{\frac{1}{2}}=\sqrt{16}=4$(2)$27^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3$(3)$8^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{8})^2=2^2=4$(4)$16^{\frac{3}{4}}=(\sqrt[4]{16})^3=2^3=8$4.(1)√(2)√(3)×解析：根据分数指数幂的定义，$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m$，但不等于$\sqrt[m]{a^n}$。5.(1)分子，分母(2)$a>0$(3)$a\in\mathbb{R}$解析：分数指数幂$a^{\frac{m}{n}}$的定义取决于n的奇偶性。当n为偶数时，a必须为正数，因为负数的偶次方根在实数范围内无定义；当n为奇数时，a可以是任意实数，因为负数的奇次方根在实数范围内有定义。二、分数指数幂的运算规则1.(1)$a^{\frac{5}{6}}$(2)$a^{\frac{17}{12}}$(3)$a^{\frac{1}{12}}$(4)$a^{\frac{1}{2}}$解析：(1)$a^{\frac{1}{2}}\cdota^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=a^{\frac{5}{6}}$(2)$a^{\frac{2}{3}}\cdota^{\frac{3}{4}}=a^{\frac{2}{3}+\frac{3}{4}}=a^{\frac{17}{12}}$(3)$a^{\frac{3}{4}}\diva^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{3}{4}-\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{4}}$(4)$(a^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}}=a^{\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}}=a^{\frac{1}{2}}$2.(1)$a\cdotb^{\frac{2}{3}}$(2)$a^{\frac{1}{3}}\cdotb^{\frac{1}{4}}$(3)$a^{\frac{3}{2}}\divb$(4)$a^{\frac{4}{3}}\cdotb^{\frac{1}{2}}\divc$解析：(1)$(a^{\frac{1}{2}}\cdotb^{\frac{1}{3}})^2=a^{\frac{1}{2}\times2}\cdotb^{\frac{1}{3}\times2}=a\cdotb^{\frac{2}{3}}$(2)$(a^{\frac{2}{3}}\cdotb^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}}\cdotb^{\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{3}}\cdotb^{\frac{1}{4}}$(3)$(a^{\frac{3}{4}}\divb^{\frac{1}{2}})^2=a^{\frac{3}{4}\times2}\divb^{\frac{1}{2}\times2}=a^{\frac{3}{2}}\divb$(4)$(a^{\frac{2}{3}}\cdotb^{\frac{1}{4}}\divc^{\frac{1}{2}})^2=a^{\frac{2}{3}\times2}\cdotb^{\frac{1}{4}\times2}\divc^{\frac{1}{2}\times2}=a^{\frac{4}{3}}\cdotb^{\frac{1}{2}}\divc$3.(1)$a-b$(2)$a+b$(3)$a+2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}+b$(4)$a^{\frac{2}{3}}-2a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{6}}+b^{\frac{2}{3}}$解析：(1)$(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})=(a^{\frac{1}{2}})^2-(b^{\frac{1}{2}})^2=a-b$(2)$(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})=a^{\frac{1}{3}}\cdota^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}\cdota^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{1}{3}}\cdotb^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\cdota^{\frac{2}{3}}-b^{\frac{1}{3}}\cdota^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\cdotb^{\frac{2}{3}}=a-ab^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}-a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}}+b=a+b$(3)$(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})^2=(a^{\frac{1}{2}})^2+2\cdota^{\frac{1}{2}}\cdotb^{\frac{1}{2}}+(b^{\frac{1}{2}})^2=a+2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}+b$(4)$(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})^2=(a^{\frac{1}{3}})^2-2\cdota^{\frac{1}{3}}\cdotb^{\frac{1}{3}}+(b^{\frac{1}{3}})^2=a^{\frac{2}{3}}-2a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{6}}+b^{\frac{2}{3}}$4.(1)$3^{\frac{1}{3}}>2^{\frac{1}{2}}$(2)$5^{\frac{1}{2}}>4^{\frac{1}{3}}$(3)$10^{\frac{1}{2}}>8^{\frac{1}{3}}$(4)$3^{\frac{1}{2}}>2^{\frac{1}{3}}$(5)$6^{\frac{1}{2}}>5^{\frac{1}{3}}$解析：比较分数指数幂的大小，可以通过将指数相同或将底数相同来实现。例如，比较$2^{\frac{1}{2}}$和$3^{\frac{1}{3}}$，可以将指数都化为6：$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{6}}=(2^3)^{\frac{1}{6}}=8^{\frac{1}{6}}$$3^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{2}{6}}=(3^2)^{\frac{1}{6}}=9^{\frac{1}{6}}$因为$9^{\frac{1}{6}}>8^{\frac{1}{6}}$，所以$3^{\frac{1}{3}}>2^{\frac{1}{2}}$。三、分数指数幂的化简与求值1.(1)$a-b$(2)$a+b$(3)$a+2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}+b$(4)$a^{\frac{2}{3}}-2a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{6}}+b^{\frac{2}{3}}$(5)$a^2+b^2$解析：(1)$(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})=(a^{\frac{1}{2}})^2-(b^{\frac{1}{2}})^2=a-b$(2)$(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})=a^{\frac{1}{3}}\cdota^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}\cdota^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{1}{3}}\cdotb^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\cdota^{\frac{2}{3}}-b^{\frac{1}{3}}\cdota^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\cdotb^{\frac{2}{3}}=a-ab^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}-a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}}+b=a+b$(3)$(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})^2=(a^{\frac{1}{2}})^2+2\cdota^{\frac{1}{2}}\cdotb^{\frac{1}{2}}+(b^{\frac{1}{2}})^2=a+2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}+b$(4)$(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})^2=(a^{\frac{1}{3}})^2-2\cdota^{\frac{1}{3}}\cdotb^{\frac{1}{3}}+(b^{\frac{1}{3}})^2=a^{\frac{2}{3}}-2a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{6}}+b^{\frac{2}{3}}$(5)$(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}})(a^{\frac{4}{3}}-a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{4}{3}})=a^{\frac{2}{3}}\cdota^{\frac{4}{3}}-a^{\frac{2}{3}}\cdota^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{2}{3}}\cdotb^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\cdota^{\frac{4}{3}}-b^{\frac{2}{3}}\cdota^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\cdotb^{\frac{4}{3}}=a^2-a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{4}{3}}+a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{4}{3}}+b^2=a^2+b^2$2.(1)$a=4$(2)$b=27$(3)$c=8$(4)$d=16$(5)$e=32$解析：(1)已知$a^{\frac{1}{2}}=2$，两边平方得$a=2^2=4$(2)已知$b^{\frac{1}{3}}=3$，两边立方得$b=3^3=27$(3)已知$c^{\frac{2}{3}}=4$，两边取$\frac{3}{2}$次方得$c=4^{\frac{3}{2}}=(4^{\frac{1}{2}})^3=2^3=8$(4)已知$d^{\frac{3}{4}}=8$，两边取$\frac{4}{3}$次方得$d=8^{\frac{4}{3}}=(8^{\frac{1}{3}})^4=2^4=16$(5)已知$e^{\frac{4}{5}}=16$，两边取$\frac{5}{4}$次方得$e=16^{\frac{5}{4}}=(16^{\frac{1}{4}})^5=2^5=32$3.(1)$\sqrt{5}$(2)$7$(3)$23$(4)$47$(5)$97$解析：(1)已知$x+\frac{1}{x}=3$，求$x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}$的值设$y=x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}$，则$y^2=(x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}})^2=x+2+\frac{1}{x}=(x+\frac{1}{x})+2=3+2=5$所以$y=\sqrt{5}$（取正值，因为$x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}>0$）(2)已知$y^{\frac{1}{3}}+y^{-\frac{1}{3}}=2$，求$y+\frac{1}{y}$的值设$z=y^{\frac{1}{3}}+y^{-\frac{1}{3}}=2$，则$z^3=(y^{\frac{1}{3}}+y^{-\frac{1}{3}})^3=y+3y^{\frac{1}{3}}+3y^{-\frac{1}{3}}+y^{-1}=(y+\frac{1}{y})+3(y^{\frac{1}{3}}+y^{-\frac{1}{3}})=(y+\frac{1}{y})+3\times2=(y+\frac{1}{y})+6$所以$2^3=(y+\frac{1}{y})+6$，即$8=(y+\frac{1}{y})+6$，因此$y+\frac{1}{y}=2$(3)已知$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=5$，求$a+\frac{1}{a}$的值设$b=a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=5$，则$b^2=(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}})^2=a+2+\frac{1}{a}=(a+\frac{1}{a})+2$所以$5^2=(a+\frac{1}{a})+2$，即$25=(a+\frac{1}{a})+2$，因此$a+\frac{1}{a}=23$(4)已知$b^{\frac{2}{3}}+b^{-\frac{2}{3}}=7$，求$b+\frac{1}{b}$的值设$c=b^{\frac{1}{3}}+b^{-\frac{1}{3}}$，则$c^2=(b^{\frac{1}{3}}+b^{-\frac{1}{3}})^2=b^{\frac{2}{3}}+2+b^{-\frac{2}{3}}=(b^{\frac{2}{3}}+b^{-\frac{2}{3}})+2=7+2=9$所以$c=3$（取正值，因为$b^{\frac{1}{3}}+b^{-\frac{1}{3}}>0$）又$c^3=(b^{\frac{1}{3}}+b^{-\frac{1}{3}})^3=b+3b^{\frac{1}{3}}+3b^{-\frac{1}{3}}+b^{-1}=(b+\frac{1}{b})+3(b^{\frac{1}{3}}+b^{-\frac{1}{3}})=(b+\frac{1}{b})+3c$所以$3^3=(b+\frac{1}{b})+3\times3$，即$27=(b+\frac{1}{b})+9$，因此$b+\frac{1}{b}=18$(5)已知$c^{\frac{3}{4}}+c^{-\frac{3}{4}}=10$，求$c+\frac{1}{c}$的值设$d=c^{\frac{1}{4}}+c^{-\frac{1}{4}}$，则$d^2=(c^{\frac{1}{4}}+c^{-\frac{1}{4}})^2=c^{\frac{1}{2}}+2+c^{-\frac{1}{2}}=(c^{\frac{1}{2}}+c^{-\frac{1}{2}})+2$又$d^3=(c^{\frac{1}{4}}+c^{-\frac{1}{4}})^3=c^{\frac{3}{4}}+3c^{\frac{1}{4}}+3c^{-\frac{1}{4}}+c^{-\frac{3}{4}}=(c^{\frac{3}{4}}+c^{-\frac{3}{4}})+3(c^{\frac{1}{4}}+c^{-\frac{1}{4}})=10+3d$设$d^3-3d-10=0$，通过尝试可得$d=2$是方程的解所以$d=2$，代入$d^2=(c^{\frac{1}{2}}+c^{-\frac{1}{2}})+2$得$4=(c^{\frac{1}{2}}+c^{-\frac{1}{2}})+2$，因此$c^{\frac{1}{2}}+c^{-\frac{1}{2}}=2$又设$e=c^{\frac{1}{2}}+c^{-\frac{1}{2}}=2$，则$e^2=(c^{\frac{1}{2}}+c^{-\frac{1}{2}})^2=c+2+\frac{1}{c}=(c+\frac{1}{c})+2$所以$2^2=(c+\frac{1}{c})+2$，即$4=(c+\frac{1}{c})+2$，因此$c+\frac{1}{c}=2$四、分数指数幂的方程与不等式1.(1)$x=16$(2)$x=8$(3)$x=27$或$x=-27$(4)$x=16$(5)$x=32$解析：(1)$x^{\frac{1}{2}}=4$，两边平方得$x=4^2=16$(2)$x^{\frac{1}{3}}=2$，两边立方得$x=2^3=8$(3)$x^{\frac{2}{3}}=9$，两边取$\frac{3}{2}$次方得$x=9^{\frac{3}{2}}=(9^{\frac{1}{2}})^3=3^3=27$或$x=-27$（因为$(-27)^{\frac{2}{3}}=((-27)^{\frac{1}{3}})^2=(-3)^2=9$）(4)$x^{\frac{3}{4}}=8$，两边取$\frac{4}{3}$次方得$x=8^{\frac{4}{3}}=(8^{\frac{1}{3}})^4=2^4=16$(5)$x^{\frac{4}{5}}=16$，两边取$\frac{5}{4}$次方得$x=16^{\frac{5}{4}}=(16^{\frac{1}{4}})^5=2^5=32$2.(1)$x>16$(2)$x<8$(3)$-27\leqx\leq27$(4)$x\geq16$(5)$x\leq32$解析：(1)$x^{\frac{1}{2}}>4$，因为$\frac{1}{2}$是偶分母的分数指数，且指数为正数，所以$x>4^2=16$(2)$x^{\frac{1}{3}}<2$，因为$\frac{1}{3}$是奇分母的分数指数，且指数为正数，所以$x<2^3=8$(3)$x^{\frac{2}{3}}\leq9$，因为$\frac{2}{3}$是奇分母的分数指数，且指数为正数，所以$-27\leqx\leq27$(4)$x^{\frac{3}{4}}\geq8$，因为$\frac{3}{4}$是偶分母的分数指数，且指数为正数，所以$x\geq8^{\frac{4}{3}}=16$(5)$x^{\frac{4}{5}}\leq16$，因为$\frac{4}{5}$是奇分母的分数指数，且指数为正数，所以$x\leq16^{\frac{5}{4}}=32$五、分数指数幂的应用题1.解：距离$s=v\cdott=10^{\frac{1}{2}}\cdot4^{\frac{1}{2}}=(10\cdot4)^{\frac{1}{2}}=40^{\frac{1}{2}}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$米2.解：设边长为$a$，则$a^3=V=8^{\frac{2}{3}}=(8^{\frac{1}{3}})^2=2^2=4$，所以$a=4^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{4}$米3.解：剩余质量比例$P=(\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}=(\frac{1}{2})^{\frac{27^{\frac{1}{3}}}{64^{\frac{1}{6}}}}=(\frac{1}{2})^{\frac{3}{2}}=2^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$4.解：设半径为$r$，则$\pir^2=A=16^{\frac{3}{4}}=(16^{\frac{1}{4}})^3=2^3=8$，所以$r^2=\frac{8}{\pi}$，$r=\sqrt{\frac{8}{\pi}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}$厘米5.解：设初始数量为$N_0$，则$t$小时后的数量为$N=N_0\cdotr^t=N_0\cdot(2^{\frac{1}{2}})^{8^{\frac{1}{3}}}=N_0\cdot2^{\frac{1}{2}\cdot2}=N_0\cdot2^1=2N_0$所以经过$8^{\frac{1}{3}}$小时后，细菌的数量是原来的2倍六、分数指数幂的综合题1.解：已知$a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}=5$，$a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}=1$两式相加得$2a^{\frac{1}{2}}=6$，