专题11 指数与指数函数（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题11指数与指数函数

一．选择题（共10小题）1．（2024秋•阜阳期末）设，下列计算中正确的是A． B． C． D．2．（2024秋•甘肃期末）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点A． B． C． D．3．（2024秋•辽宁期末）设函数且的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为A． B． C．， D．，，4．（2024秋•湖南期中）计算：A． B． C． D．5．（2025•江苏三模）已知函数，若，，，则实数，，的大小关系为A． B． C． D．6．（2024秋•仁寿县期末）已知，，，则，，的大小顺序为A． B． C． D．7．（2024秋•旌阳区期末）已知国内某人工智能机器人制造厂在2023年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年8．（2024春•东坡区期中）函数的图象大致为A． B． C． D．9．（2024秋•广州期中）设函数在区间单调递增，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，10．（2024秋•绍兴期末）已知函数，则A．在，上单调递增且值域为， B．在，上单调递减且值域为， C．在，上单调递增且值域为， D．在，上单调递减且值域为，二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025春•修文县期中）已知，，则下列代数式中值为的是A． B． C． D．（多选）12．（2024秋•江北区期中）已知，则等于A．2 B． C． D．（多选）13．（2024秋•上城区期末）若，则下列结论正确的是A．在，上单调递增 B．与的图象关于轴对称 C．的图象过点 D．的值域为，（多选）14．（2024秋•湖南期中）已知，，1，2，，则函数的大致图象可能为A． B． C． D．三．填空题（共4小题）15．（2025春•湖北期中）函数且的图象过定点；16．（2025•封丘县开学）17．（2025•杨浦区开学）函数的值域为．18．（2024秋•普陀区期末）函数的严格递减区间为．四．解答题（共6小题）19．（2025•河南模拟）（1）计算：；（2）化简：．20．（2024秋•资中县期末）已知函数．（1）求的最小值；（2）若，求实数的取值范围．21．（2024秋•吐鲁番市期末）已知函数是指数函数．（1）求实数的值；（2）已知函数，，，求的值域．22．（2024秋•天津期中）已知指数函数且的图像经过点．（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数，，的值域．23．（2024秋•仁寿县期末）已知函数的图象经过点．（1）求的值；（2）求函数，当，时的值域．24．（2024秋•调兵山市期末）已知函数是定义在上的奇函数．（1）求的值，并证明：在上单调递增；（2）求不等式的解集；（3）若在区间，上的最小值为，求的值．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BAACDBBCAB二．多选题（共4小题）题号11121314答案BDBCABABC一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】利用指数幂的运算法则，对各个选项逐一计算判断即可得解．【解答】解：对于，，故错误；对于，，故正确；对于，，故错误；对于，，故错误．故选：．2．【答案】【分析】根据题意，利用为幂函数且区间上单调递增解出，再根据值得到解析式，再结合指数型函数的图象性质求解即可．【解答】解：幂函数在区间上单调递增，，解得，当时，，令，则，即函数的图象过定点．故选：．3．【答案】【分析】判断函数是定义域上的单调减函数，不等式可化为，求解即可．【解答】解：函数，函数图象过第二、三、四象限，则，所以；所以是定义域上的单调减函数，所以不等式可化为，即，解得，所以不等式的解集为．故选：．4．【答案】【分析】利用指数幂的运算法则即可得解．【解答】解：，，．故选：．5．【分析】利用函数，为偶函数，在上单调递增，即可得出结论．【解答】解：函数，为偶函数，在上单调递增．，（1），，．则实数，，的大小关系为．故选：．6．【答案】【分析】根据已知条件及指数运算性质，结合指数函数和幂函数的单调性即可求解．【解答】解：由题意可知，，因为在上是单调递增，且，所以，即，由题意可知，，因为在上是单调递增，且，所以，即，所以．故选：．7．【答案】【分析】由题意列式，根据指数式和对数式的互化，以及利用对数的运算，即可求得答案．【解答】解：设该工厂经过年，人工智能机器人的产量才能达到900万台．根据题意得，，整理得，，解得，利用换底公式，计算．所以经过6年，人工智能机器人的产量才能达到900万辆，即到2029年，人工智能机器人的产量才能达到900万辆．故选：．8．【答案】【分析】根据题意，求得为偶函数，再利用导数求得函数的单调区间，结合选项，即可求解．【解答】解：由函数的定义域为，且，所以函数为偶函数，当时，，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．故选：．9．【答案】【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答．【解答】解：函数在上单调递增，而函数在区间上单调递增，则有函数在区间上单调递增，因此，解得，所以的取值范围是，．故选：．10．【答案】【分析】结合二次函数及指数函数的性质，复合函数单调性即可求解．【解答】解：令，根据二次函数性质可知，在，上单调递减，在，上单调递增，因为在上单调递增，根据复合函数的单调性可知，在，上单调递减，，在，上单调递增，．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】根据已知条件，结合指数幂的运算法则，即可求解．【解答】解：对于，，故错误；对于，原式，故正确；对于，原式，故错误；对于，原式，故正确．故选：．12．【答案】【分析】根据指数幂的运算法则计算可得．【解答】解：，，，或．故选：．13．【答案】【分析】利用指数函数的性质进行判断求解即可【解答】解：因为函数在上单调递增，所以选项正确；函数，所以函数与的图象关于轴对称，选项正确；由，得的图象过点，选项错误；由，可得，的值域是，选项错误．故选：．14．【答案】【分析】利用幂函数的单调性，奇偶性逐项判断即可．【解答】解：当时，，在上单调递增，且，所以是奇函数，图象关于原点对称，且在上单调递增，故正确；当时，，在上单调递增，且，所以是偶函数，图象关于轴对称，且在上单调递减，故正确；当时，，在上单调递增，故错误；当时，，在上单调递增，，且，所以图象关于原点对称，与不符合，当时，，在上单调递增，，且，所以是偶函数，图象关于轴对称，故正确．故选：．三．填空题（共4小题）15．【分析】令幂指数等于零，求得，的值，可得函数的图象经过定点的坐标．【解答】解：对于函数且，令，求得，，可得函数且的图象过定点，故答案为：．16．【答案】1．【分析】结合根式与分数指数幂的转化即可求解．【解答】解：．故答案为：1．17．【答案】，．【分析】结合二次函数及指数函数的性质即可求解．【解答】解：因为，所以，．故答案为：，．18．【答案】，．【分析】由题意结合指数函数、二次函数以及复合函数单调性即可得解．【解答】解：由题意指数函数在定义域内严格单调递减，若要函数关于严格单调递减，只需关于严格单调递增即可，而二次函数对称轴为，且开口向上，故它的严格单调递增区间为，，即函数的严格递减区间为，．故答案为：，．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据根式的定义与绝对值的意义，结合负数指数幂的意义，求解即可；（2）根据分式的运算法则，求解即可．【解答】解：（1）；（2）．20．【答案】（1）2；（2）．【分析】（1）利用基本不等式的性质，利用取等条件，得到答案．（2）利用函数单调性，得到不等式进行计算，得到答案．【解答】解：已知函数．（1），当且仅当即时取等号，故的最小值为2；（2）易知在上单调递增，因为，故，整理得，即，解得，故所求为．21．【答案】（1）4；（2），．【分析】（1）根据是指数函数，由求解；（2）由（1）得到，令，由求解．【解答】解：（1）因为函数是指数函数，所以，解得；（2）因为，所以，设，则，时，，，所以，因为在，上单调递减，在，上单调递增，所以当时，取得最小值2，当时，取得最大值51，所以的值域为，．22．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）将点代入指数函数中求出的值，然后根据复合函数单调性同增异减求得答案；（2）换元法令，将函数化为二次函数，利用二次函数性质求出函数的值域．【解答】解：（1）函数且的图像经过点，，得，（舍，，，在上单调递减，在区间，上单调递减，在区间，上单调递增，根据复合函数单调性同增异减可知，函数的单调递减区间是，．（2），令，，，则，则，所以在上单调递减，故当时，，当时，，故当，时，的值域为．23．【分析】（1）由题意：函数的图象经过点．代入计算即可求的值．（2）求函数转化为二次函数的问题求值域即可．【解答】解：（1）由题意：函数的图象经过点．则有：解得：．（2）由（1）可知，那么：函数，则当，即时，．当，即时，所以函数的值域为，．24．【答案】（1），证明见解析；（2）或；（3）或．【分析】（1）由奇函数性质得，解出；由单调性的定义即可求解；（2）由函数单调性、奇偶性可把不等式转化为具体不等式，解出即可；（3），令，可化