专题12 对数与对数函数（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题12对数与对数函数

1．对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN.以e为底的对数叫做自然对数，记作lnN.2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)对数换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．3．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0增函数减函数4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．常用结论1．logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，＝eq\f(n,m)logab(a>0，且a≠1，b>0)2．如图，给出4个对数函数的图象．则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．►考点01对数式的运算▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．【例1】（2024秋•滨州期末）计算的值为A．5 B．6 C．7 D．8【答案】【分析】根据对数运算法则、换底公式、对数恒等式运算即可．【解答】解：．故选：．【例2】（2024秋•安徽期末）化简的值为A． B． C． D．【答案】【分析】由已知结合对数的换底公式进行化简即可求解．【解答】解：．故选：．【例3】（2024秋•济宁期末）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】【分析】利用对数的运算性质即可求解．【解答】解：原式．故选：．【例4】（2025春•河东区月考）计算的值为3．【答案】3．【分析】结合对数的运算性质即可求解．【解答】解：．故答案为：3．【例5】（2024秋•沙依巴克区期末）A．10 B．11 C．12 D．3【答案】【分析】利用对数的运算和性质，指数幂的运算化简求值即可．【解答】解：，，，，．故选：．►考点02对数函数的定义域与值域▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼定义域：1.真数，即解不等式（若对数函数为）．2.若存在复合函数（如根号、分式等），需结合其他函数定义域规则综合求解．值域：1.先确定内层函数的取值范围（）．2.根据对数函数的单调性，由t的范围推导的值域．【例6】（2025春•朝阳月考）函数的定义域为A． B．，， C． D．，，【答案】【分析】根据函数解析式列出相应不等式，即可求得答案．【解答】解：由题意得，得且．即函数的定义域为，，．故选：．【例7】（2024秋•仁寿县期末）函数的定义域为A．， B．， C．，， D．，，【答案】【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求解集即可．【解答】解：因为函数，所以，即，解得且，所以的定义域为，，．故选：．【例8】（2023秋•内蒙古期末）已知函数的值域为，，则函数的定义域为A．， B．， C．， D．【答案】【分析】先求出的定义域，再结合抽象函数定义域的求法，即可求解．【解答】解：由值域为，，得，故，即的定义域为，，令得，故的定义域为，．故选：．【例9】（2023秋•镇江期末）函数的定义域为，则值域为A． B． C． D．，【答案】【分析】根据已知条件，结合函数的单调性，即可求解．【解答】解：在上单调递增，，，故所求值域为．故选：．【例10】（2024秋•宝山区月考）函数的值域为，．【答案】，．【分析】求出的范围，得到函数解析式中分母的范围，取倒数得答案．【解答】解：，，则，则函数的值域为，．故答案为：，．►考点03对数函数的单调性应用（解不等式、比较大小）▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼1.若对数底数a确定，直接利用单调性去掉对数符号，注意真数大于0，如：当时，；当时，．2.若底数a不确定，需分和两种情况讨论．3.比较大小时，若底数或真数不同，可引入中间值（如、）辅助判断．【例11】（2025•金华模拟）已知，，，则A． B． C． D．【答案】【分析】根据已知条件，结合换底公式，以及对数函数单调性，即可求解．【解答】解：，，，又，则，又，则．故选：．【例12】（2025•安溪县模拟）已知函数在，上为减函数，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】根据对数复合函数的对称性进行求解即可．【解答】解：令，对称轴为，因为函数是正实数集上的减函数，所以要想函数在，上为减函数，只需函数在，上为增函数，且在，上恒成立，所以，且（2），解得．故选：．【例13】（2025•思明区模拟）若函数是减函数，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】【分析】根据可得，利用求出的取值范围验证取舍可得结果．【解答】解：由题意得，函数定义域为，因为，所以，又因为且，所以，所以，又因为，所以，解得，当时，，，不合题意，所以的取值范围是，．故选：．【例14】（2025•吉林三模）若函数在区间，上单调递减，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】【分析】由已知结合对数函数，一次函数的单调性及复合函数的性质即可求解．【解答】解：若函数在区间，上单调递减，则，解得．故选：．【例15】（2025•南开区一模）已知函数，在，上单调递减，则实数的取值范围为A． B． C． D．【答案】【分析】令，得到为单调递增函数，根据对数函数的性质，以及复合函数的单调性的判定方法，列出不等式，求得的取值范围，即可得到答案．【解答】解：根据知是增函数，又在，上是减函数，，解得，的取值范围为：．故选：．►考点04对数函数的奇偶性与对称性▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼1.奇偶性：判断与的关系，注意定义域需关于原点对称．若，则非奇非偶（定义域不关于原点对称）．复合函数如，需先求定义域，再验证（奇函数）．2.对称性：若，则图象关于直线对称；若，则图象关于点对称．【例16】（2024秋•巫山县期末）在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称，若，则的值是A． B． C． D．【答案】【分析】由函数的图象与的图象关于直线对称，则的图象与互为反函数，易得的解析式，由函数的解析式构造方程，解方程即可求得的值．【解答】解：函数的图象与的图象关于直线对称，函数与互为反函数，则，又，，故选：．【例17】（2024•盐湖区一模）设方程的两根分别为、，则A． B． C． D．【答案】【分析】作出函数对应的图象，判断两个根的取值的大体范围，然后利用对数的运算法则和指数函数的性质进行判断大小即可．【解答】解：作出函数，的图象，由图象可知，两个根一个小于，一个在之间，不妨设，，则，．两式相减得：，即．故选：．【例18】（2024秋•城区月考）已知，则函数与函数的图象可能是②．【分析】由，则得到，即，然后根据指数函数和对数函数的性质即可判断函数的图象．【解答】解：，，即，①的定义域为，①错误．②由图象知指数函数单调递增，，此时单调递增，满足条件．③由图象知指数函数单调递减，，此时单调递减，不满足条件．④由图象知指数函数单调递增，，此时单调递增，不满足条件．故答案为：②．【例19】（2024秋•高要市月考）已知函数，，若（3）（3），则与的图象为A． B． C． D．【答案】【分析】根据指数函数的性质，由（3）（3）得到（3）从而得到的取值范围，然后根据指数函数和对数函数的性质即可得到结论．【解答】解：，，若（3）（3），（3），（3），，即，都为增函数，故选：．【例20】函数，的图象与直线的交点分别为，和，，下列各式成立的是A． B． C． D．【答案】【分析】根据指数函数和对数函数之间的关系，得到函数，为反函数，两个函数的图象关于对称，然后利用数形结合即可得到结论．【解答】解：，函数的反函数为，即函数，的图象关于轴对称．即在直线上，，即，，故选：．►考点05对数函数的图象及应用▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【例21】（2025•长沙一模）已知，，且，，则函数与的图象可能是A． B． C． D．【答案】【分析】分析可知，，再由指数函数及对数函数的性质即可得解．【解答】解：由可知，，故，故函数与函数的单调性相同．故选：．【例22】（2024秋•盐城期末）函数的图象大致为A． B． C． D．【答案】【分析】由解析式判断出函数的奇偶性，再代入特殊点逐一排除即可．【解答】解：由函数，可知定义域为，，，且定义域关于原点对称．因为，所以函数为奇函数，故排除选项；因为，故排除选项；因为，故排除选项．故选：．【例23】（2024秋•蚌埠期末）函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号是A．①④③② B．①④②③ C．④①②③ D．③④②①【答案】【分析】将函数写成分段函数，结合函数定义域，单调性作出判断，得到答案．【解答】解：已知函数：①；②；③；④，由①，对应的图象为从左到右第一个，由②令，得，故定义域为，且，对应的图象为从左到右第三个，由③，对应的图象为从左到右第四个，令，解得或，故的定义域为，，，由④，由复合函数可知，在上单调递减，在上单调递增，对应的图象为从左到右第二个，按照从左到右图象对应的函数序号是①④②③．故选：．【例24】（2024秋•安溪县期末）函数且的图象如图所示，则必有A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】根据对数函