专题17 函数中的构造问题（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题17函数中的构造问题

一．选择题（共10小题）1．（2025•鼓楼区模拟）已知函数，若对任意两个不相等的实数，，都有，则的最大值为A． B．1 C．2 D．02．（2025•福州模拟）已知函数是定义在，上的奇函数，其导函数为，当，时，，则不等式的解集为A．， B．， C．， D．，3．（2025春•四川期中）已知是可导的函数，且对于恒成立，则A．（1）， B．（1）， C．（1）， D．（1），4．（2025春•辽宁期中）定义在上的函数满足，且（5），则不等式的解集为A． B． C． D．5．（2025春•郑州月考）已知，，则的最大值为A． B． C． D．6．（2025•枣庄模拟）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是A． B． C． D．7．（2025春•沈阳期中）已知为定义在上的可导函数，且恒成立，则不等式的解集为A． B． C． D．8．（2025春•河南期中）定义在上的函数，是的导函数，且恒成立，则A． B． C． D．9．（2025春•锦江区期中）已知为定义在，，上的奇函数，（1），且当时，有，则使成立的的取值范围为A．，， B．，， C．，， D．，，10．（2025春•重庆期中）已知函数在上可导，且（1），其导函数满足，则不等式的解集为A． B． C． D．二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025春•江北区期中）已知函数的导函数为，若是自然对数的底数），且，则下列结论正确的是A．在区间上单调递增 B．有最小值 C．有3个零点 D．若关于的不等式恰有3个整数解，则，（多选）12．（2025•越城区模拟）已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且，则A．为偶函数 B．在上单调递增 C．， D．，（多选）13．（2025春•哈尔滨期中）已知，函数有两个极值点，，下列说法中正确的是A． B． C． D．若存在，使得，则（多选）14．（2025•荆州模拟）已知函数，是其导函数．若存在，，且，满足，则A． B． C． D．三．填空题（共4小题）15．（2025•甘肃模拟）已知函数，满足（2），且在上的导数满足，则不等式的解集为．16．（2025•汉川市模拟）已知不等式恒成立，则实数的取值范围为．17．（2024秋•保山期末）已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，，则不等式的解集是．18．（2025•山西模拟）已知函数在上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为．四．解答题（共6小题）19．（2025•甘肃模拟）已知函数．（1）时，求在处的切线．（2）求函数的极值；（3）若函数在区间，上恰有两个零点，求的取值范围．20．（2025春•张掖月考）已知，．（1）求曲线在点，（e）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）讨论函数在，上的单调性；（3）对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．21．（2025•河南二模）已知函数f（x）＝2ax+axcosx﹣sinx（a∈R）．（1）当a＝1时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若对任意x≥0，都有f（x）≥0，求实数a的取值范围；（3）证明：．22．（2025•回忆版）已知函数，其中．（1）证明：在存在唯一的极值点和唯一的零点；（2）设，为在的极值点和零点，设，证明：在单调递减；比较与的大小，并证明你的结论．23．（2025春•深圳月考）已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）证明：且；（3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．24．（2025•阆中市模拟）已知函数，，；（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）若正数使得对，恒成立，求的取值范围；（3）设函数，，，讨论其在定义域内的零点个数．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BDABCDACBB二．多选题（共4小题）题号11121314答案BDABDBCABD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】结合单调性定义可得函数单调递增，则恒成立，即恒成立，构造函数，借助导数研究其单调性从而得其最值即可得解．【解答】解：不妨设，因为，所以，令，则，所以在上单调递增，则恒成立，即恒成立，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，所以的最大值为1．故选：．2．【答案】【分析】构造函数，结合题意可得是定义在，上的偶函数，且在，上单调递增；不等式，脱“”可得答案．【解答】解：当，时，，令，则当，时，，在，上单调递增，①又函数是定义在，上的奇函数，是定义在，上的偶函数，②不等式，，即，其中，且，即，③由①②得，解得，④联立③④得，故选：．3．【答案】【分析】设，，利用导数判断出的单调性，再利用单调性比较大小可得答案．【解答】解：设函数，，那么导函数，可得函数在上单调递减，因此，（1），所以，因此（1），．故选：．4．【答案】【分析】令，，对其求导，结合导数与单调性关系进行转化即可求解．【解答】解：令，，因为定义在上的函数满足，则，所以在上单调递增，因为（5），所以（5）（5），不等式可化为，即，所以，即．故选：．5．【答案】【分析】令，求导分析，结合题意可得，再令，利用导数与函数的单调性与极值的关系可求得答案．【解答】解：令，则，当时，，在上单调递增．，（b），又，故，，故，，令，则，当时，，当时，，当时，取得极大值，也是最大值（2）的最大值为．故选：．6．【答案】【分析】构造函数，目标即可转化为解不等式（1），再结合可得在上单调递减的性质即可．【解答】解：令，因为，则，所以在上单调递减，因为，所以（1）（1），所以不等式可变为，即（1），所以，即，所以不等式的解集为．故选：．7．【答案】【分析】令函数，求其导函数，根据导函数的符号与函数单调性的关系判断出的单调性，将已知不等式转化为，利用单调性，可得关于的不等式，求解即可．【解答】解：令，则，恒成立，，为定义域上的减函数，由不等式，得，即，，．故选：．8．【答案】【分析】构造函数，再对其求导，结合条件，判断函数的单调性，比较函数值的大小即可．【解答】解：设，，则，因为恒成立，所以，因为时，，所以，所以函数在上的单调递减，因为，所以，所以，即，对于：因为，选项不一定成立；对于：因为，选项不一定成立；对于成立；对于，选项不成立．故选：．9．【答案】【分析】构造函数，可得当时，进而可得在上为增函数，进而可得当时，，当时，，再由函数为奇函数可得．【解答】解：令函数，当时，导函数，因此在上为增函数，且（1）（1），因此当时，函数，得，当时，函数，得，又因为函数为定义在，，上的奇函数，因此由可解得或．故选：．10．【答案】【分析】根据题意，设，求导分析的单调性，又，可转化为，即（1），结合函数的单调性，可得，求解即可．【解答】解：根据题目：已知函数在上可导，且（1），其导函数满足，设，则，又，所以，所以在上单调递增．不等式等价于，即，所以，解得，即不等式的解集为．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】先由求导的逆运算结合复合函数求导规则得到函数的表达式，再求导分析单调性和极值可得、错误，作出函数图象，数形结合可得错误，正确．【解答】解：由可得，变形得，即，所以，又，代入上式，得，所以，则，对于，令可得或1，当时，，函数在为单调递增函数；当或时，，函数在，上为单调递减函数，故错误；对于，结合可知当时，；当时，；当时，函数取得极小值，也是最小值，时，函数取得极大值（1），故正确；对于，作出函数图象，由图象可得函数有两个零点，故错误；对于，，，故关于的不等式恰有3个整数解，等价于在直线下方的图象有3个横坐标为整数的点，，，由函数图象可得，即，所以，，故正确．故选：．12．【答案】【分析】根据给定条件，结合复合函数求导及奇偶性定义判断；求出及其导数的解析式依次判断．【解答】解：对于选项，由是定义在上的奇函数，得，求导得，即，因此函数为偶函数，故选项正确；由，得，即，解得，，对于选项，，因此在上单调递增，故选项正确；对于选项，，，即，故选项错误；对于选项，当时，，求导得，函数在上单调递增，，因此，故选项正确．故选：．13．【答案】【分析】由题设有两个变号的零点，进而得、，依次判断、、；问题化为能成立，应用分类讨论求参数范围判断．【解答】解：由题意函数有两个极值点，，对函数进行求导，故有两个变号的零点，当时不符，所以，则，，由，故、异号，故，即，故错误、正确；，由，故，故正确；，即存在，使得，即存在，使得且，由，故必存在使能成立，对于，有，解得，即，错误．故选：．14．【答案】【分析】先求导函数，再根据函数图象，结合单调性判断，再根据三角函数化简求解得出进而判断，，结合基本不等式计算求解．【解答】解：对于选项：因为函数，是其导函数，所以，数形结合，得到内的大致图象为如图所示，故，，，故选项正确；对于选项：由得，即，由题意，则，因为，，则，故选项正确；对于选项：又，故选项正确；对于选项：因为，从而错误．故选：．三．填空题（共4小题）15．【分析】根据在上的导数满足即，当时得到函数单调递减，当时，得到（2）即，解得，矛盾；当时得到函数单调递增，当时，得到（2）即，解得，求出解集即可．【解答】解：根据在上的导数满足即，讨论导函数的正负得到函数的单调区间为：①当时得到函数单调递减，即当时，得到（2）即，解得，矛盾；②当时得到函数单调递增，即当时，得到（2）即，解得，所以或综上，不等式的解集为或故答案为或16．【答案】，．【分析】把不等式，转化为，结合，即可得到的取值范围．【解答】解：设，，则，令，解得；所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，即，所以．由不等式，得，所以，所以，因为，当且仅当时等号成立，令，解得，所以的取值范围是，．故答案为：，．17．【答案】，，．【分析】首先根据条件构造函数，再由函数的导数倒推函数的解析式，再求解不等式．【解答】解：令，结合已知得：，设，又，，，所以，解得：或，所以不等式的解集为，，．故答案为：，，．18．【答案】．【分析】构造函数，利用函数的单调性解不等式即可．【解答】解：设函数，那么导函数，因此函数在上单调递减，且，即，所以，因此．因此的解集为．故答案为：四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）；（2）当时，无极值，当时，的极大值为，无极小值；（3）．【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程；（2）应用分类讨论及导数研究函数的极值即可；（3）根据（2）易得，进而有求参数范围．【解答】解：（1），则，所以，，则在处的切线方程为，可得；（2）由题意可得，，当时，恒成立，此时在上单调递增，无极值，当时，，由得：，由得：，此时在单调递增，在单调递减，的极大值为，无极小值，综上，当时，无极值，当时，的极大值为，无极小值；（3）由（2）可知，当时，在单调递增，所以在，单调递增，不可能有两个零点，当时，的极大值为，因为，所以是的一个零点，若函数在区间，上恰有两个零点，则，即，可得：，所以的取值范围为．20．【答案】（1）；（2）当时，在上单调递减；当时，在单调递减，单调递增；（3），．【分析】（1）求出曲线在点，（e）处的切线方程，进而求出切线与两坐标轴的交点，利用直角三角形面积公式即可求解；（2）利用导数的正负研究原函数的单调性，分与两种情况讨论即可；（3）分离参数得到，构造函数，利用导数求最大值即可．【解答】解：（1）由题意，对函数求导可得，所以（e），（e），所以曲线在点，（e）处的切线方程为（e）（e），即，，与两坐标轴的交点分别为，故围成的三角形的面积为；（2）因为，故，令，当，则，故在上单调递减；当，则时，，所以在单调递增；时，，所以在单调递减；综上：当时，在上单调递减；当时，在单调递减，单调递增．（3）即，即对一切实数恒成立，令，当时，，单调减，当时，，单调增；故最大值为（1），则，，故实数的取值范围是，．21．【答案】（1）2x﹣y＝0；（2）；（3）证明见解析．【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程；（2）对函数求导，根据恒成立有，构造，利用导数研究单调性，进而确定函数符号，即可得；（3）应用分析法转化为证明，构造并用导数研究函数值符号，即可证．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝2x+xcosx﹣sinx，则f′（x）＝2﹣xsinx，f′（0）＝2，又f（0）＝0，所以当a＝1时，f（x）在（0，f（0））处的切线方程为2x﹣y＝0；（2）因为f（0）＝0，f′（x）＝2a+acosx﹣axsinx﹣cosx，要使f（x）≥0对任意x≥0恒成立，必有f′（0）≥0，即，令，则，故h（x）在[0，+∞）内单调递减，所以h（x）≤h（0）＝0，即，即，此时，f（x）＝ax（2+cosx）﹣sinx≥，符合题意，当时，f′（0）＜0，必存在x0＞0，使得当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，x0）上单调递减，f（x）＜f（0）＝0，不合题意，所以实数a的取值范围为；（3）证明：由（2）知，当x＞0时，，所以，＝＝，要证ln（n+1），需证，需证，令，＝，所以F（x）在（1，+∞）上单调递增，F（x）＞F（1）＝0，所以，令，代入得成立，所以，证毕．22．【答案】（1）证明见解答．（2）证明见解答．，证明见解答．【分析】（1）对原函数求导，结合导函数取值不同分类讨论判断即可．（2）求导化简函数，结合已知判断单调性即可．结合中在上单调递减，得到，进而结合已知推导出是的零点，所以得出，结合和函数的单调性判断即可．【解答】证明：（1）因为，，所以，当时，令，解得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以是在上唯一的极值点，是极大值点．又因为，，所以，，即是在上唯一的零点；（2）因为，所以（注意到，代入），其中，为正数，为正数，显然成立，因此，所以，即在上单调递减；，证明如下：由得，在上单调递减，所以，即，，因为是的零点，所以，所以，又因为，，且在，上单调递减，所以．23．【答案】（1）当时，在上单调递增，在区间上单调递减；当时，在上单调递增．（2）证明见解析．（3），．【分析】（1）首先求函数的导数，讨论的取值范围，求函数的单调区间；（2）首先时，函数为，根据（1）的结论，得时，，再赋值且，代入不等式，利用累加法，即可证明；（3）由所证明的不等式，构造函数，，再讨论得到取值，通过放缩法得到，构造函数，利用导数，即可证明．【解答】解：（1）函数的定义域为，因此导函数，当时，导函数，函数在区间上单调递增，当时，令