专题41 直线与圆、圆与圆的位置关系（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题41直线与圆、圆与圆的位置关系

一．选择题（共10小题）1．（2024秋•山西期末）已知圆与圆的交点为，，则直线的方程为A． B． C． D．2．（2025春•深圳期末）直线和圆的位置关系为A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心3．（2025•长春模拟）圆与圆的公共弦长为A． B． C． D．4．（2025春•深圳期末）圆与圆的公切线条数是A．1 B．2 C．3 D．45．（2025•山东模拟）已知过点可作圆的两条切线，则的取值范围是A． B． C． D．6．（2025春•郑州期末）过点可以作圆的切线的条数为A．0 B．1 C．2 D．无数条7．（2025春•重庆月考）已知直线与圆相交于、两点，则当取最小值时，A． B．1 C． D．28．（2025•五华区模拟）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，过上一点作圆的两条切线，切点分别为、，设线段的中点为，则的最大值为A．2 B． C． D．9．（2024秋•宁波期末）若存在实数，使得直线与圆相切，则实数的取值范围是A．， B．，， C．， D．，，10．（2025•乌兰察布三模）若为圆的弦的中点，则直线的方程是A． B． C． D．二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025•山海关区模拟）点在圆上，点在圆上，则A．圆与圆相交 B．的最大值为10 C．两圆的公共弦长为 D．当直线与圆相切时，的最大值为（多选）12．（2025春•庐江县期末）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是A． B．点在圆的内部 C．圆与圆外切 D．当直线平分圆的周长时，（多选）13．（2025•云南模拟）已知圆，直线．若直线与圆相交于，两点，且，则A．或 B．圆上到直线距离为1的点有3个 C．以为直径的圆的方程为 D．直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为（多选）14．（2025•鼓楼区模拟）已知圆，，，为圆上的动点，则A．圆心关于直线的对称点为 B．动点到直线的距离最大值为 C．以为直径的圆与圆有2条公切线 D．分别过，两点所作的圆的切线长相等三．填空题（共4小题）15．（2025•潮阳区模拟）已知圆与圆相交于两点，，则四边形的面积等于．16．（2025春•南京期末）圆与圆的公切线的条数是条．17．（2025•嘉定区二模）直线与圆相交所得的弦长为．18．（2025•岳阳县模拟）已知圆有一动点，点，若直线与线段中点的轨迹始终有公共点，则实数的取值范围为．四．解答题（共6小题）19．（2025春•红桥区月考）已知圆，直线．（Ⅰ）求圆的圆心及半径；（Ⅱ）求直线被圆截得的弦的长度．20．（2025春•昌江区期中）已知轨迹的方程为．（1）过点作轨迹的切线，求切线的方程；（2）经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于、两点和、两点，求四边形的面积的最大值．21．（2025•南京模拟）已知两圆和，求：（1）当取何值时两圆外切？（2）当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．22．（2025春•陆良县月考）已知直线与圆有且只有一个公共点．（1）求实数的值以及圆的标准方程；（2）已知圆上恰有两个点到直线的距离为1，求的取值范围．23．（2025春•普陀区期末）已知圆及直线．（1）求过点的圆的切线方程；（2）找出不论取什么实数时直线恒经过的点，并证明：直线与圆恒相交；（3）求直线被圆截得的最短弦的长及此时的直线方程．24．（2025春•普陀区月考）已知圆，直线，过的直线与圆相交于，两点，（1）当直线与直线垂直时，求证：直线过圆心．（2）当时，求直线的方程．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BABBDBADDC二．多选题（共4小题）题号11121314答案ACDACDBCAC一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程．【解答】解：，，两圆方程相减得，，化简得，圆与圆的交点为，，则直线的方程为．故选：．2．【答案】【分析】根据圆心到直线的距离与半径比较即可求解．【解答】解：将圆整理可得，可得该圆的圆心和半径分别为，，则圆心到直线的距离为，故直线与圆相交但不经过圆心．故选：．3．【答案】【分析】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，可与任一圆联立方程求出交点坐标，根据两点间距离公式得到公共弦长（法一）；也可求出圆心到公共弦的距离，然后结合弦长公式可求（法二）．【解答】解：联立方程：，两式相减可得公共弦方程，方法一：联立方程：，得，解得，，即公共弦的端点坐标为，，根据点到直线距离公式可得公共弦长为；方法二：圆的圆心坐标为，半径为，圆心到公共弦的距离为，公共弦长为．故选：．4．【答案】【分析】将两圆方程化简为标准方程，算出它们的圆心和半径，然后根据两点间的距离公式求出两圆的圆心距，判断出两圆相交，可知它们有两条公切线．【解答】解：圆化成标准方程，可得，圆心为，半径，圆化成标准方程，可得，圆心为，半径，因为，满足，所以两圆相交，可得它们有2条公切线．故选：．5．【答案】【分析】判断点与圆的位置关系，然后求解的取值范围．【解答】解：过点可作圆的两条切线，可知点在圆的外侧，即，可得．的取值范围．故选：．6．【答案】【分析】判断点与圆的位置关系，即可得出结论．【解答】解：由题意点，圆，可得，故点在圆上，因此过点只能作一条圆的切线．故选：．7．【答案】【分析】化简直线的方程，求出直线所过定点的坐标，分析可知，当时，取最小值，结合斜率关系可求得实数的值．【解答】解：由题意直线与圆相交于、两点，可将直线的方程化为，由，可得，所以，直线过定点，且，故点在圆内，圆心为，当时，圆心到直线的距离取最大值，此时取最小值，，所以．故选：．8．【答案】【分析】设，，求得以为直径的圆方程，与已知圆方程相减，得到直线的方程为，然后根据直线、的方程推导出动点在圆心为，，半径的圆上运动，进而运用点与圆的位置关系求出的最大值．【解答】解：根据直线，设，，则以为直径的圆方程为，化简得，与相减，化简得直线的方程为，由直线与方程消去，可得，即为点的轨迹方程，所以点在圆上运动，圆心，，半径，由题意可知，，所以，即的最大值为．故选：．9．【答案】【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质列式计算得解．【解答】解：由圆的方程可得圆心为，半径为1，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离对于实数有解，由，解得：或，所以实数的取值范围是，，．故选：．10．【答案】【分析】求出直线的斜率，由垂径定理得到，利用两直线垂直斜率关系可以求出直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，最后化为一般式方程．【解答】解：由题意为圆的弦的中点，可知直线的斜率存在，且，，，直线的方程为，即，故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】根据两圆的方程分别求出两圆的圆心和半径，再结合图象分析各个选项的正误．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，圆，则圆心，半径；圆上，即，其圆心，半径．因为两圆圆心距，且，所以圆与圆相交，故正确．对于，如图所示，当线段同时经过两圆圆心且分别在圆心两侧时，取得最大值，且，故错误．对于，如图所示，圆上，，将两圆方程作差，则有，即两圆公共弦所在直线方程为，又圆心到直线的距离，所以两圆的公共弦长为，故正确．对于，如图所示，当直线与圆相切时，点在圆外，因为，所以当取得最大值时，取得最大值．因为，所以点在圆上，所以的最大值为，所以的最大值为，故正确．故选：．12．【答案】【分析】根据圆的半径为2求出值，可判断出项的正误；根据点到圆心的距离大于半径，判断出项的正误；根据两角外切的性质判断出项的正误；根据圆的对称性判断出项的正误，即可得到本题的答案．【解答】解：根据圆的半径，可得，解得，故项正确；所以圆的方程为，由，可得点在圆外，所以项不正确；圆的圆心为，半径，结合，可得，结合，可知两圆的圆心距等于半径之和，两圆相外切，故项正确；当直线平分圆的周长时，圆心在直线上，可得，解得，所以项正确．故选：．13．【答案】【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再由弦长求出弦心距，结合点到直线的距离公式求解值判定与；求出以为直径的圆的方程判断；求出直线被圆截得的弦长最短时的直线的斜率，再由斜截式写出直线方程判定．【解答】解：由圆，即，得圆心，半径，由，得到直线的距离，即，解得，故错误；圆心到直线的距离为1，且圆的半径为2，则圆上到直线距离为1的点有3个，故正确；由直线的方程为，可得的中点坐标为，则以为直径的圆的方程为，故正确；直线过定点，直线被圆截得的弦长最短时，直线的斜率为，直线的方程为，即，故错误．故选：．14．【答案】【分析】求出关于直线的对称点即可判断；求圆心到直线的距离，再由圆的性质可判断；求出以为直径的圆的圆心与半径，利用几何法判断两圆位置关系即可判断；求出两切线长即可判断．【解答】解：对于，直线的斜率为，则直线的方程为，设关于直线的对称点为，则中点在直线上，且连线与垂直，所以，且，联立解得，，所以对称点为，故正确；对于，圆心到直线的距离，圆的半径为，所以到直线的最大距离为，故错误；对于，因为的中点为，所以以为直径的圆的圆心为，半径，两圆圆心距为，小于半径和，所以两圆相交，所以两圆有2条公切线，故正确；对于，点到圆的切线长为，点到圆的切线长为，所以切线长不相等，故错误．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】9．【分析】将两圆方程作差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系即可求得，利用两点间距离公式求得，进而求得四边形的面积．【解答】解：由已知，圆，圆，圆心，半径，圆心，半径，将两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程为：，到距离为，所以，即，又，所以，四边形的面积．故答案为：9．16．【答案】3．【分析】分别计算圆心和半径，求出圆心距，判断出两圆的位置关系，进而求出公切线的条数．【解答】解：因为的圆心，半径为1，可化为，圆的圆心为，半径为4，所以两圆圆心距为，因为，所以两圆外切，有3条公切线．故答案为：3．17．【答案】．【分析】求出圆心的直线的距离，根据弦长公式即可求出．【解答】解：圆化为标准方程为，则圆心为，半径为，则圆心到直线的距离，可得相交所得的弦长为．故答案为：．18．【答案】．【分析】求解线段中点的轨迹方程，然后求解直线与轨迹方程的位置关系，推出结果即可．【解答】解：直线恒过点，设，的中点为，可得，，动点在圆上，可得，即就是中点的轨迹方程，是以为圆心1为半径的圆，由题意可得，解得．故答案为：．四．解答题（共6小题）19．【答案】（Ⅰ）圆心，半径；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）将圆的方程化为圆的标准方程，即可求解；（Ⅱ）首先求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理计算即可求解．【解答】解：（Ⅰ）圆的标准方程为：，圆的圆心为，半径为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：圆的圆心为，半径为，弦中点，连接，，如图所示，由圆的性质可知，，圆心到直线的距离，在△中，，，即直线被圆截得的弦的长度为．20．【答案】（1）和；（2）7．【分析】（1）需要分类讨论：切线的斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离等于半径求解即可；（2）根据直线是否存在斜率进行分类讨论，当直线存在斜率时，利用点斜式写出两直线的方程，分别求出弦长，将四边形的面积用弦长表示，即可求出最大值．【解答】解：（1）根据题意，轨迹的方程为．则的轨迹为圆，其圆心，半径，过点作轨迹的切线，当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为2，等于半径，直线与圆相切．当切线斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为，即，则有，解得，切线方程为．综合可得：所求的切线方程为和．（2）根据题意，若两直线都有斜率，可设直线的方程为，则直线的方程为，圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，所以，同理，，所以四边形的面积，当且仅当，即时，等号成立．若、两直线中有一条斜率不存在，则另一条的斜率为0，此时线段、的长分别为、4（或4、，所以．综上所述，四边形的面积的最大值为7．21．【分析】（1）先把两个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，求得的值；（2）当时，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程．求出第一个圆的圆心到公共弦所在的直线的距离，再利用弦长公式求得弦长．【解答】解：（1）由已知可得两个圆的方程分别为，，两圆的圆心距，两圆的半径之和为，由两圆的半径之和为，可得；（2）当时，两圆的方程分别为，，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为．第一个圆的圆心到公共弦所在的直线的距离为，可得弦长为．22．【答案】（1），圆的标准方程为．（2），，．【分析】（1）利用点到直线的距离等于半径解题；（2）利用转化思想将问题转化为圆心到直线的距离．【解答】解：（1）将圆化为标准方程，得，故圆心，半径为，因为直线与圆相切，所以，即，解得，所以圆的标准方程为；（2）设圆心到直线的距离为，由（1）可知：，圆的半径为2，因为圆上恰有两个点到该直线的距离为1，则有，即，解得或，所以的取值范围为，，．23．【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）弦长为；直线方程为．【分析】（1）由两直线垂直求出斜率，再由点斜式求出直线方程可得；（2）将直线方程整理为关于的方程，再解方程组可得顶点；由定点在圆内可证明；（3）弦长最短时利用斜率关系求出斜率，点斜式得到直线方程，再由几何法求弦长可得．【解答】解：（1）根据题意，圆，其圆心，半径为5，设点为点，有，则点在圆上，所以设要求切线斜率为，则，则；所以直线方程为，即；（2）变形为，令，解得，，所以直线恒经过点，因为，所以点在圆内部，所