专题43 直线与椭圆的位置关系（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题43直线与椭圆的位置关系

1．点与椭圆的位置关系已知点P(x0，y0)，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)<1；(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1；(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)>1．2．直线与椭圆位置关系的判断已知直线y＝kx＋m，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0，若该一元二次方程的判别式为Δ，则Δ>0⇔有两个交点⇔相交；Δ＝0⇔有一个交点⇔相切；Δ<0⇔无交点⇔相离．3．弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2])，k为直线的斜率且k≠0．常用结论：已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)：(1)通径的长度为eq\f(2b2,a)．(2)A1，A2为椭圆的长轴端点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则kPA1·kPA2＝－eq\f(b2,a2)．(3)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－eq\f(b2,a2)．(4)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－eq\f(b2,a2)．(5)点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1．►考点01直线与椭圆的位置关系▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼(1)利用判别式处理直线与椭圆的位置关系的步骤(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有公共点．【例1】（2025•广东模拟）椭圆与曲线在第一象限内交于，两点，则直线的斜率为A． B． C． D．【答案】【分析】由已知设，，，，，，且，表示直线的斜率，将与联立，利用韦达定理求解即可．【解答】解：因为椭圆与曲线在第一象限内交于，两点，设，，，，，，且，则直线的斜率，将与联立，得，即，可得，即，所以．故选：．【例2】（2025•榆林模拟）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】【分析】由题意，得到曲线为椭圆的上半部分，当时，得到直线的方程，此时满足直线与曲线有两个公共点；当时，将直线方程与曲线方程联立，根据△以及，求出的取值范围，进而可解．【解答】解：因为曲线的方程为，所以，则曲线为椭圆的上半部分，易知直线过定点，①当时，此时直线的方程为，则直线与有两个公共点；②当时，联立，消去并整理得，此时△且，解得综上所述，的取值范围为．故选：．【例3】（2024秋•上城区期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是A．， B．，， C．， D．，，【答案】【分析】联立，消可得：，则△，然后求解即可．【解答】解：已知直线与椭圆有公共点，联立，消可得：，则△，即，又且，即且．故选：．【例4】（2024秋•河北区期末）直线与椭圆的位置关系为A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可．【解答】解：因为直线过点，，而，为椭圆的右端点和上端点，故直线与椭圆相交．故选：．【例5】（2023秋•重庆月考）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定【答案】【分析】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系．【解答】解：已知直线的方程为，即，令，解得，则直线所过定点，代入椭圆方程可得：，则该定点在椭圆内，则直线与椭圆的位置关系为相交．故选：．►考点02弦长问题▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼求弦长的方法(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接利用两点间距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，可利用弦长公式求解，但利用弦长公式时不要忽略判别式应大于0．提醒：运用弦长公式时，设直线方程也很考究．若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y＝kx＋t；若直线经过的定点在横轴上，一般设为x＝my＋n．【例6】（2024秋•北碚区期末）已知椭圆的焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于，两点，若，则A． B． C． D．【答案】【分析】根据椭圆的对称性得到，然后结合椭圆定义得到，，最后分别在三角形和三角形中利用余弦定理计算即可．【解答】解：已知椭圆的坒駡点为，过坐标原点的直线与椭圆交于，两点，取椭圆的右焦点为，根据椭圆的对称性可知，则四边形为平行四边形，根据椭圆的定义得，又，所以，，在三角形中，，在三角形中，，解得．故选：．【例7】（2024秋•石家庄期末）若椭圆的弦的中点则弦长A．4 B． C．2 D．【答案】【分析】设，，，，利用点差法即可求出直线的斜率，即可求得直线的方程，然后与椭圆方程联立方程组，求得有，，结合两点间距离公式即可得解．【解答】解：设，，，，因为弦的中点为，所以，，又，两点在椭圆上，则，，两式相减，得，所以，所以，所以，所以直线的方程为，即，联立，消去整理得，解得或4，即有，，则．故选：．【例8】（2024秋•苏州月考）设是椭圆的上任一点，点，则的最大值为A． B．3 C． D．【答案】【分析】由题意，利用参数法，结合三角函数求最值即可．【解答】解：因为点是椭圆的上任一点，设，此时，当时，取到最大值，最大值为，则最小值为．故选：．【例9】（2023秋•嵩明县期中）已知椭圆的左焦点是，过的直线与圆：交于，两点，则的长为A． B． C．2 D．【答案】【分析】求解椭圆的焦点坐标，得到直线方程，利用点到直线距离公式和弦长公式，求解即可．【解答】解：由题意可得，则过的直线．圆：的圆心，半径为2，直线与圆：交于，两点，则．故选：．【例10】（2023秋•南海区月考）设直线与椭圆相交于，两点，则A． B． C． D．【答案】【分析】利用弦长公式求解即可．【解答】解：联立，消可得：，设，，，，则，，根据弦长公式有：．故选：．►考点03中点弦问题▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法【例11】（2024秋•衡水期末）已知椭圆与直线交于，两点，若点为线段的中点，则直线的方程是A． B． C． D．【答案】【分析】设点，，，，代入椭圆方程相减整理后得：，利用为中点，结合斜率公式，整理得直线的斜率，即可求出直线的方程．【解答】解：设点，，，，则由点为线段的中点，得，①，又②，③，由②③，可得，将①代入上式，化简得，所以直线的方程为：，即．故选：．【例12】（2024秋•西宁期末）已知椭圆且，直线与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为A．2 B．4 C． D．【答案】【分析】根据点差法求解中点弦问题求解即可．【解答】解：设，，，，由已知可得，，且，两式相减得：，又直线的斜率为，，解得，因此椭圆的焦距为．故选：．【例13】（2024•铜川三模）已知原点为，椭圆与直线交于，两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【答案】【分析】设，，，，，，利用平方差法转化求解离心率即可．【解答】解：设，，，，，，即，直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，则两式相减可得，，即，即，故．故选：．【例14】（2024秋•邢台期中）已知椭圆，过点的直线交于，两点，且是的中点，则直线的斜率为A． B． C． D．【答案】【分析】设，、，，利用点差法可求得直线的斜率．【解答】解：若线段轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，设，，，，因为是的中点，所以，，联立，两式作差得：，变形得：，即，所以直线的斜率为．故选：．【例15】（2024秋•常州期中）已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程为A． B． C． D．【答案】【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于的方程可得．【解答】解：当直线斜率不存在时，由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段的中点在轴上，而已知是线段的中点，不在轴上，不满足题意．故直线斜率存在，可设斜率为，则直线的方程为，即，代入椭圆的方程化简得，△，设，，，，所以，解得，满足△，故直线方程为，即．故选：．►考点04直线与椭圆的综合问题▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼(1)求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解．为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求的方法．(2)直线方程的设法，根据题意，如果需要讨论斜率不存在的情况，则设直线方程为x＝my＋n避免讨论；若所研究的直线的斜率存在，则可设直线方程为y＝kx＋t的形式；若包含平行于坐标轴的直线，则不要忘记斜率不存在的情况的讨论．【例16】（2025春•泊头市期末）椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆外一点，且在第一象限，已知，线段交椭圆于点，若，则A． B． C． D．1【答案】【分析】设，，，由，及数量积的坐标运算得，又，得，即可得，再由，得，代入椭圆方程求解即可．【解答】解：因为椭圆的左、右焦点分别为，，所以，，设，，，则，因为，所以，即，又，所以，所以，两式联立求得（负根舍去），所以，又，，所以，所以，即，代入椭圆方程，得化简得，解得或（负根舍去）．故选：．【例17】（2025•五华区模拟）已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，则△的面积为A． B．2 C．3 D．4【答案】【分析】求得椭圆的，，，运用椭圆的定义和条件可设，，，运用勾股定理和三角形的面积公式计算可得所求值．【解答】解：椭圆中，，，则，，，，设，，，，解得，则△的面积为．故选：．【例18】（2024秋•渭滨区期末）已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，则的最小值为A．1 B． C．2 D．4【答案】【分析】利用椭圆的定义知，然后利用基本不等式即可求出的最小值．【解答】解：由题，，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，所以，所以，即的最小值为1．故选：．【例19】（2025春•楚雄市期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程．（2）直线与椭圆交于点，．①求；②记直线，的斜率分别为，，求．【答案】（1）；（2）；②0．【分析】（1）由题意列方程求得，即可得解；（2）①联立直线方程与椭圆方程得，由韦达定理结合弦长公式计算即可；②由斜率公式结合韦达定理即可得解．【解答】解：（1）依题意有，解得，所以椭圆的方程为．（2）①联立，消去得，设，，，，则，故．②因为，所以．又，所以．【例20】（2025春•泉州期末）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于，两点，连接，交椭圆于点，若△的面积为5，求直线的方程．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1