专题44 双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题44双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质

1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)xa，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)常用结论：1．双曲线的焦点到渐近线的距离为常数b，顶点到两条渐近线的距离为常数eq\f(ab,c)．2．双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数eq\f(a2b2,c2)．3．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a．4．离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))．5．双曲线上一点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2为焦点三角形．(1)△PF1F2内切圆圆心的横坐标的绝对值为定值a；(2)设∠F1PF2＝θ，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则cosθ＝1－eq\f(2b2,r1r2)，S△PF1F2＝eq\f(1,2)r1r2sinθ＝eq\f(sinθ,1－cosθ)·b2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))．►考点01利用双曲线的定义求轨迹方程▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼利用双曲线的定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．提示：一定要分清是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．【例1】（2024秋•祁县期末）已知，，点满足，记点的轨迹为．求轨迹的方程．【答案】．【分析】利用双曲线的定义即可得出．【解答】解：由可知：点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，由，，，故轨迹的方程为．【例2】（2024秋•青羊区期中）一动点到两定点，、，的距离之差的绝对值等于，求点的轨迹方程．【答案】．【分析】根据题意，得到点的轨迹是以、轴为渐近线的双曲线．设双曲线的方程为，利用建立方程并化简整理，可得，得到点的轨迹方程是．【解答】解：到两定点、的距离之差的绝对值等于的点的轨迹，是以、为焦点的双曲线焦距为，，所以双曲线的离心率，得双曲线的，两条渐近线互相垂直，、，在直线上，点的轨迹是以、轴为渐近线的双曲线，可设双曲线的方程为，，则移项，两边平方得：化简整理得：，两边平方，比较系数可得，所以点的轨迹方程是．【例3】（2009秋•琼海期末）已知，，点满足求点的轨迹方程．【答案】，．【分析】由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线，同时，可推断出动点的轨迹，是双曲线右支，求出，，，即可写出点的轨迹方程．【解答】解：由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支，由，，，故轨迹的方程为，【例4】（2025•长春模拟）已知点为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）若过点的直线与曲线相切，且与直线分别交于点，．证明：点为线段的中点；求的取值范围．【答案】（1）；（2）证明见解析；．【分析】（1）由双曲线的定义求解即可；（2）设，，，，，，分类讨论，当直线的斜率存在时，设过点且与相切的直线的方程为，与双曲线的方程联立，求得，，的坐标证明即可；由知，求得，然后利用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）为的垂直平分线上一点，则，，点的轨迹为以，为焦点的双曲线，且，故点的轨迹方程为．（2）证明：设，，，，，，双曲线的渐近线方程为①，②，当直线的斜率不存在时，直线的方程是，根据双曲线的对称性可知，此时直线即是双曲线的切线，同时满足点为线段的中点，当直线的斜率存在时，设过点且与相切的直线的方程为，与双曲线联立，由△，且，故可得，由；，，点为线段的中点，综上，点为线段的中点．由知，，，，当且仅当，即时取等号，又，的取值范围为．【例5】（2024秋•南阳期末）在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）设过点且互相垂直的两条直线分别与曲线交于点，（异于点，求证：直线过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）根据两点距离、点线距离求曲线的方程；（2）讨论直线斜率存在性，设直线方程并联立双曲线方程，利用韦达定理及求出相关参数，得到直线方程，进而确定直线是否过定点；【解答】解：（1）设，因为与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，所以，化简得，曲线的方程为．（2）证明：设，，，，当直线斜率不存在，直线，分别为，，分别联立，有，可得或点横坐标，舍），则，此时直线的方程为，过点；当直线斜率存在时，设其方程为，由，消去得，所以△，由根与系数的关系得，因为，所以，即，即，即，将，代入化简得，所以或，当时，直线方程为（不合题意，舍），当时，直线方程为，恒过定点，综上所述，直线过定点．►考点02双曲线的标准方程▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼求双曲线的标准方程的方法定义法由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义确定2a，2b或2c，从而求得双曲线方程待定系数法能确定焦点在x轴还是y轴上时，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值焦点的位置不确定，要注意分类讨论．也可以将双曲线的方程设为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)求解与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共渐近线的双曲线的方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)【例6】（2023秋•通州区期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为A． B． C． D．【答案】【分析】由已知可得与的值，结合隐含条件求解，则双曲线方程可求．【解答】解：由已知结合双曲线的定义可得：，，，且双曲线的焦点在轴上，，则双曲线的标准方程为．故选：．【例7】（2024春•东城区期末）已知双曲线的焦点为和，一条渐近线方程为，则的方程为．【答案】．【分析】根据题意设出双曲线方程，进一步求出，的值得答案．【解答】解：由题意可设双曲线方程为，由焦点为和可得，又一条渐近线的方程为，可得，解得．所以双曲线方程为．故答案为：．【例8】（2023秋•顺义区期中）已知某双曲线的一个焦点为，且，则双曲线的标准方程为．【答案】．【分析】由题意可以依次先求出，，的值，然后注意焦点在轴上，由此即可得解．【解答】解：由题意双曲线的一个焦点为在轴上，故，又，所以，所以双曲线的标准方程为．故答案为：．【例9】（2024秋•丛台区期中）已知为坐标原点，双曲线的离心率为，点在双曲线上，点，分别为双曲线的左右焦点，．（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点，，设直线，的斜率分别为，证明：为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）结合双曲线定义即可；（2）设，，结合两点斜率公式即可．【解答】解：（1）因为点在双曲线上，点，分别为双曲线的左右焦点，，所以由双曲线的定义知：，，又因为，所以，所以，所以，双曲线的标准方程为．（2）证明：设，，则，因为，，所以，，所以．【例10】（2024•河北区一模）已知双曲线的左，右焦点分别为，，为双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为A． B． C． D．【答案】【分析】由双曲线的定义可得实轴长及半个焦距，再由，，之间的关系求出，进而求出双曲线的方程．【解答】解：由双曲线的定义可得，，即，，且焦点在轴上，所以双曲线的方程为：．故选：．►考点03双曲线的实轴、虚轴、焦距▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼求解与双曲线几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、实轴长、虚轴长、焦距等基本量的内在联系．【例11】（2025春•醴陵市期中）若双曲线的焦点与椭圆的长轴端点重合，则的值为A．2 B．4 C． D．【答案】【分析】利用椭圆与双曲线的性质计算即可．【解答】解：由表示双曲线，则，其焦点坐标为，易知椭圆的长轴端点即其左右顶点坐标为，若双曲线的焦点与椭圆的长轴端点重合，则与重合，即．故选：．【例12】（2025春•开福区期末）设为双曲线的右焦点，，分别为的两条渐近线的倾斜角，已知点到其中一条渐近线的距离为，且满足，则双曲线的焦距为A． B．2 C． D．4【答案】【分析】根据双曲线的性质即可求解．【解答】解：已知双曲线，右焦点，，焦点到渐近线的距离为，由题意，渐近线倾斜角满足，且，得，即，渐近线斜率，代入，解得，，故焦距．故选：．【例13】（2024秋•龙岗区期末）已知双曲线，则下列选项中不正确的是A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为 C．的离心率为 D．的虚轴长为【答案】【分析】结合双曲线的性质，即可求解．【解答】解：双曲线，则，，故，解得，，，故的焦点坐标为，故错误；的顶点坐标为，故正确；的离心率为，故正确；的虚轴长为，故正确．故选：．【例14】（2025•湘潭模拟）已知双曲线，则A．的实轴长为6 B．的渐近线方程为 C．的焦点坐标为 D．的焦点到其渐近线的距离为【答案】【分析】由双曲线的方程得，，的值，即可判断，由求出渐近线方程即可判断，由点到直线的距离公式即可判断．【解答】解：已知双曲线，对于，根据双曲线定义，，，故的实轴长为6，故正确；对于，由有解得的渐近线方程为，故错误；对于，，故，易得的焦点坐标为，故正确；对于，由对称性，不妨取焦点到渐近线的距离为，故正确．故选：．【例15】（2024秋•德州月考）已知双曲线，则下列关于双曲线的说法正确的是A．焦点为 B．实轴长是3 C．渐近线方程为 D．离心率为【答案】【分析】求解焦点坐标判断；求解实轴长判断；渐近线方程判断；求解离心率判断．【解答】解：双曲线，可得，，，所以焦点坐标，所以正确；实轴长为6，所以不正确；渐近线方程为：；所以正确；离心率为：，所以不正确．故选：．►考点04双曲线的渐近线▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼求双曲线渐近线方程的方法方法一若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，得渐近线方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＝±\f(b,a)x))方法二双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线y＝±eq\f(b,a)x的斜率k＝±eq\f(b,a)与离心率e的关系为k2＝eq\f(b2,a2)＝e2－1提示：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴、y轴对称．【例16】（2026•成都模拟）双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．【答案】【分析】利用双曲线方程求解渐近线方程即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程为．故选：．【例17】（2025春•保山期末）双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A． B．1 C．3 D．9【答案】C【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离公式进行求解．【解答】解：双曲线的渐近线方程为x±3y＝0，焦点，焦点到渐近线的距．故选：C．【例18】（2025春•驻马店期末）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A． B． C． D．【答案】【分析】根据双曲线的离心率与，，的关系化简求解渐近线方程即可．【解答】解：已知双曲线的离心率为，则，即，可得，由题意得双曲线的渐近线方程为，即为，即为．故选：．【例19】（2025•五华区模拟）双曲线的左顶点为，右焦点为，点在上，且，，则双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．【答案】【分析】根据双曲线的简单几何性质，求出，，的关系，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线的左顶点为，右焦点为，因为点在上，且，所以，由，得，所以，由，得，所以，所以双曲线的渐近线方程为．故选：．【例20】（2025•辽宁模拟）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，点在上，且在轴上的射影为，若，则的渐近线方程为A． B． C． D．【答案】【分析】由题意不妨设，结合列式即可求解．【解答】解：由题意不妨设，又，，即，，解得或（舍去），则．的渐近线方程为．故选：．►考点05双曲线的离心率▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼求双曲线离心率的方法直接法求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e方程法列出含有a，b，c的齐次方程，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程求解【例21】（2025春•泉州期末）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为A． B． C． D．【答案】【分析】根据点到直线的距离公式列方程，结合离心率公式求解即可．【解答】解：根据题意可知，双曲线的顶点到渐近线的距离为实轴长的，双曲线的顶点到一条渐近线的距离为，故，所以，所以，双曲线的离心率．故选：．【例22】（2025春•楚雄市期末）已知双曲线，点P（不与原点O重合）在C的一条渐近线上，若点P到另一条渐近线的距离与到x轴的距离相等，则C的离心率为（）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可知OP为∠MON的角平分线，可得渐近线OP的倾斜角，进而可得离心率．【解答】解：双曲线，点P（不与原点O重合）在C的一条渐近线上，若点P到另一条渐近线的距离与到x轴的距离相等，设点P在另一条渐近线、x轴上的投影分别为M，N，则|PM|＝|PN|，可知OP为∠MON的角平分线，即∠MOP＝∠PON，根据对称性可得∠MOP+2∠PON＝3∠PON＝π，即，可知渐近线OP的倾斜角，斜率，所以C的离心率．故选：A．【例23】（2025•长沙二模）已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为的中点，若△是以为底边的等腰三角