专题47 直线与抛物线的位置关系（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第2页（共30页）专题专题47直线与抛物线的位置关系

一．选择题（共10小题）1．（2025春•雁塔区月考）已知直线与抛物线交于，两点，若的中点在圆上，则A． B． C． D．2．（2025•河北模拟）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上一点，则A．50 B．100 C．150 D．2003．（2025•怀宁县模拟）是过抛物线的焦点且斜率为1的弦，直线，是抛物线两条分别切于，的切线，则，的交点的坐标为A． B． C． D．4．（2025•山西二模）已知抛物线的焦点为，准线为．点在上，过作抛物线的切线交准线于点．当△外接圆面积最小时，点的坐标可以是A． B． C． D．5．（2025•山西模拟）已知过点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，则的最小值为A． B． C． D．6．（2025•廊坊模拟）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，在，两点处的切线相交于点．则下列四个点中，可以为线段中点的是A． B． C． D．7．（2025•沈河区模拟）已知、均为正实数，且过点的直线与抛物线相切于点，下列说法错误的是A． B．的最小值为 C．的最小值为3 D．的最小值为28．（2025春•桃城区月考）已知抛物线，点，直线，记关于的对称点为，且在上，则的准线方程为A． B． C． D．9．（2025春•河南月考）设为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，与的准线交于点．若，点为的焦点，则△与△的面积之比为A． B． C． D．10．（2025•安庆模拟）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025•安康模拟）设是抛物线弧上的一动点，点是的焦点，，则A． B．若，则点的坐标为 C．的最小值为 D．满足△面积为的点有3个（多选）12．（2025春•安徽期末）已知抛物线的焦点为，是上一点，过点的直线与交于，两点，且，则A． B．直线的方程为 C．直线，的斜率之和为0 D．（多选）13．（2025春•江西月考）已知抛物线的焦点为，准线为，过上一点作，垂足为点，若，则A． B．直线的斜率为 C． D．点到轴的距离为（多选）14．（2025•武进区模拟）设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，，，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是A． B． C． D．△与△的面积之比为三．填空题（共4小题）15．（2025•广东模拟）已知抛物线的焦点为，圆，过点作直线与圆交于，两点，且为，的中点，则直线的方程为．16．（2025春•昌江区期末）已知抛物线焦点为，过点的直线交于、两点，交的准线于点，若为的中点，则．17．（2025•临泉县三模）已知两点，，动点满足，抛物线的焦点为，动点在上，则的最小值为．18．（2025春•芜湖期末）已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则△的面积为．四．解答题（共6小题）19．（2026•成都模拟）过点作直线与抛物线交于，两点．（1）设为坐标原点，求的值；（2）若以线段为直径的圆与轴相切，求的方程；（3）过点作直线（不同于与交于，两点，且直线与轴交于点，证明：△与△的面积相等．20．（2025春•安徽期末）如图，已知直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，且．（1）求抛物线的方程；（2）若直线与直线关于轴对称，试在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短，并求出最短距离．21．（2025春•商水县期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的动直线与交于，两点．若准线的方程为，求的方程；（Ⅱ）设直线，的斜率分别为，，证明：．22．（2025春•泊头市期末）已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，当直线的斜率不存在时，．（1）求抛物线的方程；（2）已知点，且直线，，的斜率都存在，若直线，与的另一个交点分别为，，设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．23．（2025春•碑林区期末）已知抛物线的焦点为，为上一点，且．（1）求的方程；（2）过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点．求点的坐标．24．（2025•岳阳县模拟）抛物线的焦点为，且过点．过点的一条直线与交于，两点在线段之间），且与线段交于点．（1）证明：点到和的距离相等；（2）若△的面积等于△的面积，求点的坐标．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CBABAADBBC二．多选题（共4小题）题号11121314答案ABDBCDABDBCD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】联立直线方程和抛物线方程后求出弦的中点坐标，代入圆的方程后可求参数的值．【解答】解：设的中点为，，联立，消去并整理得，由韦达定理得，所以，此时，即，因为点在圆上，所以，解得．故选：．2．【答案】【分析】先把点的坐标代入抛物线方程中求出，再由抛物线的定义可求得的值．【解答】解：是该抛物线上一点，可得，可得，则．故选：．3．【答案】【分析】先写出焦点坐标然后根据点斜式写出直线的方程与抛物线方程联立求出交点的坐标，对抛物线所对的函数求导继而求出切线斜率写出两条切线方程，联立方程组求出交点坐标即可．【解答】解：易知抛物线的焦点坐标为，因为是过抛物线的焦点且斜率为1的弦，所以所在直线的方程为，即，设，，，，联立，消去并整理得，解得，，此时，，即，，因为抛物线方程为，可得，因为直线是抛物线过点的切线，所以直线方程为，因为直线是抛物线过点的切线，所以直线方程为，联立，解得，则，的交点的坐标．故选：．4．【答案】【分析】设，，求导，由导数的几何意义求出切线方程，得到根据向量数量积为得到方程，求出为直角，为△外接圆的直径，表达出换元后，利用导数求单调性，得到函数最小值，得到外接圆的面积最小，此时点，得到答案．【解答】解：设点，，由抛物线方程得，则，所以，则过的抛物线的切线方程为：，即，又抛物线的准线方程为，故中，令得，可得点，又，所以，，所以，所以，即为直角，为△外接圆的直径，因为，则．令，则可得，所以，令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，故当时，取得极小值，也是最小值，即所求外接圆的面积最小，此时点．故选：．5．【答案】【分析】设，，利用导数的几何意义求出抛物线在点、的切线方程，进而求得，则点的轨迹为一条直线，确定线段的最小值为点到直线的距离，结合点线距公式计算即可求解．【解答】解：设，，由，得（不妨设，则，所以抛物线在点的切线斜率为，得抛物线在点的切线方程为，即，同理可得抛物线在点处的切线方程为，，解得，即，又因为直线的斜率，所以直线的方程为，即，将点代入直线的方程得：①，设点坐标为，则①式可整理为：，即，所以点的轨迹为一条直线．所以线段的最小值为点到直线的距离，即为．故选：．6．【答案】【分析】设，，，，，，利用导数的几何意义求切线方程，根据点在切线上得直线的方程为，进而求出的中点，即可得．【解答】解：已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，在，两点处的切线相交于点．不妨设，，，，，，由可得，则，于是在点处的切线方程为，又，化简方程得，同理得在点处的切线方程为，又两切线交于点，，故得，即点，都在直线上，即直线的方程为，因为点在直线上，代入得，得，，故线段的中点为，故选项中可以为线段中点是．故选：．7．【答案】【分析】由抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，结合二次函数的最值及基本不等式的应用求解即可．【解答】解：已知、均为正实数，且过点的直线与抛物线相切于点，对于，由在抛物线上，可得：，得，由抛物线方程得到，即，当时，可得以点为切点的切线斜率为：，所以切线方程为，即．又切线过点，故，故选项正确：对于，因为，所以，又，均为正实数，所以，当时，取得最小值，最小值为，故选项正确；对于，，当且仅当时取等号，故选项正确；对于，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，故选项错误．故选：．8．【答案】【分析】先应用点关于直线对称得出对称点，再把点代入抛物线求出，进而得出准线方程．【解答】解：因为点，直线，记关于的对称点为，所以设，，则的斜率为，所以直线的斜率为，故直线的方程为，将直线的方程与联立，设两直线的交点为，则，所以，解得，将的坐标代入的方程，有，解得，故的准线方程为．故选：．9．【答案】【分析】分别过点，作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，易得直线过定点，则，由此即可得解．【解答】解：如图，分别过点，作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，则，，△△，抛物线的焦点，直线过定点，因为△△，且，所以，设点到直线的距离为，所以．故选：．10．【答案】【分析】根据抛物线的性质，结合直线与抛物线方程联立，利用韦达定理，以及几何关系，判断选项．【解答】解：对于，焦点到抛物线的准线的距离为4，故不正确；设，，，，对于，当直线垂直于轴，可得，所以，得；当直线不垂直于轴，设方程为，由，得，则，，，故不正确；对于，的中点的纵坐标为，则，可得：，，又，所以，故正确；对于，不妨设点在第一象限，分别过点，作，垂直于准线，垂足分别为，，直线与准线交于点，准线与轴交于点，设，则，，因为，则，得，则，则，故直线的斜率为，直线的方程为与，联立得，解得，，所以，可得：，所以，故不正确．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】项由抛物线方程可知；项由抛物线定义可得；项可利用特值举反例，项，将面积条件转化为点线距离，设点坐标求解方程可得．【解答】解：对于选项，是抛物线弧上的一动点，焦点为，故选项正确；对于选项，由抛物线的定义可知：，解得，，即点的坐标为，故选项正确；对于选项，由选项可知，点在抛物线弧上，设为，则，如图，可取，则，由，又，，即，即，故选项错误；对于选项，直线的斜率为，方程为，，设边上的高为，若△面积为，则，解得，设点，，则点到直线的距离即△的高，又，则，或，又，解得或，满足△面积为的点有3个（如图），故选项正确．故选：．12．【答案】【分析】由题意，根据焦点坐标得到，抛物线，将代入，求出，进而可判断选项；根据，求出直线的斜率，由点斜式求出直线的方程，此时可判断选项；联立与，得到两根之和，两根之积，表达出，代入两根之和，两根之积，求出斜率之和，进而可判断选项；表达出，结合选项，代入求解即可判断选项．【解答】解：对于选项：因为抛物线的焦点，所以，解得，因为为抛物线上一点，所以，解得，故选项错误；对于选项：因为，所以，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故选项正确；联立，消去并整理得，此时，设，，，，由韦达定理得，其中，，所以，则直线，的斜率之和为0，故选项正确；对于选项：因为，所以，因为，，，所以，则，故选项正确．故选：．13．【答案】【分析】根据已知的抛物线焦点坐标求出参数，再利用等边三角形的性质求出直线的倾斜角和斜率，通过直角三角形的边角关系求出线段长度以及点到轴的距离，进而判断各个选项的正确性．【解答】解：对于选项：抛物线的焦点为，所以，故正确；对于选项：因为，又，所以△为等边三角形，所以，如图，若点在第一象限，，直线的倾斜角为；若点在第四象限，可得直线的倾斜角为，综上，直线的斜率为，故正确；对于的方程为，设与轴的交点为，在△中，，，所以，故错误；对于：由，得，又，所以点到轴的距离为，故正确．故选：．14．【答案】【分析】先由抛物线焦半径公式结合题意得到则在第二象限，在第一象限，且，接着联立直线与抛物线方程结合韦达定理求出和即可判断选项；进而求出点和和即可计算求解判断．【解答】解：因为，所以，且，则在第二象限，在第一象限，且，联立，则，所以或（舍去），所以抛物线，，，所以可得，，所以，直线与轴交于点，所以，所以，所以错误，正确．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】．【分析】由题意，设出直线的方程，根据以及直线的斜率，求出直线的斜率，进而可得直线的方程．【解答】解：易知抛物线的焦点，圆的标准方程为，设直线的方程为，因为为，的中点，所以，因为，所以直线的斜率，则直线的方程为，即．故答案为：．16．【答案】．【分析】过点作，垂足为，确定，点的横坐标为，设出直线方程，联立得到根与系数的关系，确定，，得到答案．【解答】解：如图，设准线与轴的交点为，过点作，垂足为，根据抛物线，得，准线为，焦点的坐标为，为的中点，因此，那么点的横坐标为3．由于直线过点且与准线相交，因此的斜率存在，设其方程为，联立抛物线方程，化简可得，根的判别式△，设，，，，那么，又，所以，故，，故．故答案为：．17．【答案】3．【分析】由点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，然后结合抛物线的定义求解即可．【解答】解：设，又两点，，点满足，则，则，即点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，又抛物线的准线方程为，设在准线上的射影为，则．当且仅当、、、四点共线时取等号．故答案为：3．18．【答案】．【分析】设出点的坐标，根据给定条件及抛物线定义建立方程，求出点的纵坐标即可．【解答】解：因为抛物线方程为，所以抛物线的焦点为，因为点在抛物线上，所以设，所以，又，所以，所以，解得或，当时，，不符合题意；当时，，符合题意，所以△的面积为．故答案为：．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）5；（2）；（3）证明见解析．【分析】（1）设的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理计算，化简即可求解；（2）由韦达定理及弦长公式表示出弦的长，并表示出弦的中点到轴的距离，由条件以线段为直径的圆与轴相切建立方程，求出的值，即可求出直线的方程；（3）设出点、及点的坐标，由条件结合韦达定理证明直线与直线的斜率相等，即可证明△与△的面积相等．【解答】解：（1）由题意，直线不与轴重合，设的方程．代入，并整理得，由△，得或．设点，，，，则，，所以．（2）由弦长公式得．线段的中点到轴的距离．因为以线段为直径的圆与轴相切，所以，即，解得（均满足△．所以直线的方程为．（3）证明：设点，，同理可得．又直线的斜率由，，得．设点，由，，三点共线，得．化简得又直线的斜率，故，所以，故△与△的面积相等．20．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）联立直线和抛物线方程，设，，，，结合已知和韦达定理求解即可．（2）令直线平行于直线，且与抛物线相切，则切点即为点．设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程，结合根的判别式求解．【解答】解：（1）联立消去并整理得，设，，，，则，，所以，因为，所以，解得，所以抛物线的方程为．（2）由题知，直线的方程为，令直线平行于直线，且与抛物线相切，则切点即为点．设直线的方程为，联立消去并整理得，令．解得，所以，解得，所以．所以点的坐标为，最短距离为．21．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．【分析】（Ⅰ）由抛物线性质直接求解；（Ⅱ）由抛物线方程写出点、的坐标，设出直线的方程及点、的坐标，并与抛物线方程联立，结合韦达定理计算并化简，即可证明．【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线的准线方程为，所以，所以，所以抛物线的方程为．（Ⅱ）证明：依题意有，抛物线的焦点，准线方程为，所以，显然直线的斜率不为0，设的方程为，联立，消去得，设，，，，则，，所以．即得证．22