专题52 两个计数原理、排列与组合（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题52两个计数原理、排列与组合

一．选择题（共10小题）1．（2025春•安徽期末）某市派4名专家到西部某市2家医院坐诊，每家医院至少派1名专家，且每名专家只去1家医院，则不同的分配方案种数为A．20 B．18 C．16 D．142．（2025春•西青区期末）学校食堂的一个窗口共卖3种菜品，甲、乙、丙、丁4名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有A．种 B．种 C．种 D．种3．（2025春•邯郸期中）某学校开设6门球类运动课程、4门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有A．48种 B．36种 C．24种 D．12种4．（2025春•天津期末）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡．现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有（）A．8种 B．10种 C．12种 D．14种5．（2025春•海口期末）如图，现要用4种不同的颜色对海口市的4个区地图进行着色，要求有公共边的2个区不能用同一种颜色，则不同的着色方法的种数为A．24 B．48 C．72 D．1206．（2025春•新城区期末）某同学从4个球类项目和2个田径类项目中选1个项目参加，则不同的选择方案共有A．6种 B．8种 C．12种 D．16种7．（2025春•库尔勒市期末）某班有女生22人，男生24人，现从该班级选1名同学参加某活动，不同的选法有（）A．22种 B．24种 C．46种 D．48种8．（2025春•阳泉期末）某校高一年级4名同学报名参加音乐、美术和体育社团，每名同学根据爱好选择其中1个社团，则他们不同的选法种数是A． B． C． D．9．（2026•成都模拟）在连续五天时间里，甲、乙、丙、丁四名同学分别到夕阳红敬老院参加志愿者活动，每天一人，其中甲参加两天，其余三人各参加一天，则甲不在相邻两天的安排方法有A．24种 B．36种 C．48种 D．60种10．（2025春•肇庆期末）从7名工程师中选出4人去3个不同的工地执行任务，其中甲、乙两名工程师要么都去，要么都不去，每个工地要求至少有一名工程师，则不同分配方法的种数为A．540 B．180 C．360 D．1080二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025春•石家庄期末）A、B、C、D、E五名同学安排值日，下列说法正确的是（）A．五人值五天，每人值一天，A、B两名同学需相邻，满足条件的安排方法共有48种 B．安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有540种安排方法 C．五人值五天，每人值一天，要求A、B、C三人值日的先后顺序固定，则一共有20种安排方法 D．A、B、C三人需要连续六天值日，每人两天，但每人都不连值两天，一共有30种安排方法（多选）12．（2025春•福清市期末）从标号为0，1，2，3，4，5的六个蓝球和标号为6，7，8，9的四个红球中随机选出4个，则下列说法正确的有A．若选出的4个球全部为蓝球，则不同的选法有15种 B．若选出的4个球中蓝球红球各有2个，则有120种不同的选法 C．若蓝球的0号和红球的6号必须在选出的4个球内，则有56种不同的选法 D．若蓝球的0号和红球的6号至少有1个在选出的4个球内，则有140种不同的选法（多选）13．（2025春•贵州期中）某学校举行校园歌手大赛活动邀请了6位专家评委，在活动结束时邀请这6位专家站成一排合影留念，则下列说法正确的是A．若将专家甲、乙、丙三人从左到右按照身高递增的顺序排列，则共有120种排法 B．若专家甲、乙两人不相邻，则共有480种排法 C．若专家甲、乙、丙三人相邻，且甲在中间，则共有72种排法 D．若专家丙不在排头，丁不在排尾，则共有480种排法（多选）14．（2025春•南阳期末）数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的五位数构成集合，则下列说法正确的是A．中有偶数60个 B．中数字1，2相邻的数有36个 C．中2，4不相邻的数有72个 D．将中的元素从小到大排列，第55个数为31024三．填空题（共4小题）15．（2025春•三明期末）《数术记遗》记述了我国古代十余种算法．甲、乙、丙三人拟收集该书中运筹算、九宫算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，则不同的分工收集方案有种．16．（2025•临沂模拟）在一张节目单中原有7个节目已排好顺序现要插入3个节目，并要求不改变原有7个节目前后相对顺序，则一共有种不同的插法．17．（2025•山东模拟）甲、乙、丙等8名同学将作为志愿者参加三个养老院的志愿服务工作，每个养老院至少安排2名志愿者，每名志愿者只能去一个养老院，且甲、乙、丙三人必须在同一养老院进行志愿服务，则有种不同的分配方案．18．（2025•浦东新区三模）袋中有7个互不相同的小球，其中白球4个，黑球2个，红球1个．现甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，每次取1个，取后不放回，直到有人取到白球为止．则最终由乙取到白球，且过程中红球已取出的不同取法数为．四．解答题（共6小题）19．（2025春•贵州期中）某俱乐部安排3名女生和4名男生组成一支队伍参加羽毛球团体赛，每人只参加一个项目．（1）若比赛依次进行7轮单打，且3名女生的比赛顺序是相邻的，求不同的安排方法种数；（2）若比赛依次按照男子双打、女子双打、混合双打、男子单打共四个项目进行，求不同的安排方法种数；（3）若比赛依次按照双打、双打、双打、单打共四个项目进行，求不同的安排方法种数．20．（2025春•安徽期中）将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中．（1）有多少种放法？（2）恰好有一个空盒，有多少种放法？（3）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？21．（2025春•保定期末）高二（3）班的3个男生，2个女生（含学生甲、乙）在寒假期间参加社会实践活动．（用数字作答下列问题）（1）社会实践活动有5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配方案的种数；（2）活动后5人排成一排拍照，求甲不在中间，乙不在排头的排法种数．22．（2025春•眉山期末）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？（1）老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人；（2）4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；（3）2名老师之间必要有男女学生各1人．23．（2025春•宜昌期中）实施乡村振兴战略，优先发展教育事业．教育既承载着传播知识、塑造文明乡风的功能，更为乡村建设提供了人才支撑，为了补齐落后地区教育发展的短板，解决落后地区优秀教师资源匮乏的问题，某教育局抽调6名优秀教师按照以下要求分配到3所乡村学校去任教．（1）若三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人，有多少种分配方法？（2）若三所学校中一学校4人，另外两校各1人，有多少种分配方法？（3）若三所学校每所学校至少一人，有多少种分配方法？24．（2025春•山东月考）从包含甲、乙2人的7人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答，否则无分）（1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；（2）甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；（3）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；（4）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；（5）甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DBDBCACBBA二．多选题（共4小题）题号11121314答案ACDADABABD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】根据题意，分两步进行分析：先将4名专家分为2组，再将分好的2组安排到2个不同的医院．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：首先把4人分为2组，有2种情况：①一个医院1人，一个医院3人，此时有种，②两个医院各2人，此时有种，则有种分组方法，再将分好的组分配到两个不同的医院，有2种情况，故不同的分配方案有种．故选：．2．【答案】【分析】根据题意可知每人均有3种菜品可供选择，结合分步乘法计数原理即可得结果．【解答】解：学校食堂的一个窗口共卖3种菜品，甲、乙、丙、丁4名同学每人从中选一种，则每人均有3种菜品可供选择，所以选法的可能方式共有种．故选：．3．【答案】【分析】利用分类加法计数原理可求．【解答】解：学校开设6门球类运动课程、4门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，根据分类加法计数原理，不同的选法共有种．故选：．4．【答案】B【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合特殊元素、特殊位置优先处理求解即可．【解答】解：已知包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有＝10种．故选：B．5．【答案】【分析】先选择秀英区与龙华区，然后分别对琼山区，美兰区与秀英区是否同色进行讨论，然后计算可得结果．【解答】解：秀英区有4种选择，龙华区有3种选择，当琼山区与秀英区不同色，美兰区与秀英区同色，琼山区有2种选择；当琼山区与秀英区同色，则美兰区有2种选择；当琼山区与秀英区不同色，美兰区与秀英区不同色，琼山区有2种选择，美兰区有1种选择；所以不同的着色方法的种数为．故选：．6．【答案】【分析】利用分类加法计数原理可得结果．【解答】解：若选择的为田径类项目，有2种选择，若选择的为球类项目，有4种选择，由分类加法计数原理可知，不同的选择方案种数为种．故选：．7．【答案】C【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算得解．【解答】解：某班有女生22人，男生24人，现从该班级选1名同学参加某活动，完成不同选法这件事有两类办法：选女生有22种方法；选男生有24种方法，所以不同的选法有22+24＝46种．故选：C．8．【答案】【分析】由乘法计数原理即可求解．【解答】解：高一年级4名同学报名参加音乐、美术和体育社团，每名同学根据爱好选择其中1个社团，每一位同学都有3种选择，根据分步乘法计数原理可得一共有种情况．故选：．9．【答案】【分析】根据题意先排乙、丙、丁三名同学，再利用插空法排甲即可．【解答】解：甲、乙、丙、丁四名同学分别到敬老院参加志愿者活动，每天一人，其中甲参加两天，其余三人各参加一天，且甲不在相邻两天，则先排乙、丙、丁三名同学，有种方法，再利用插空法，将甲插入4个空中，有种方法，则共有种方法．故选：．10．【答案】【分析】根据分组分配原理，先确定甲乙的去留情况，再计算符合条件的分配方式，结合组合数和排列数进行分步计算．【解答】解：由题意先选人，甲乙都去有种选择，甲乙都不去有种选择，又每个工地要求至少有一名工程师，所以分配方案为2，2，1，有种方案，所以不同分配方法的种数为．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】ACD【分析】根据相邻问题捆绑即可求解A，根据排列即可求解B，根据分组分配问题即可求解C，利用列举，结合分步乘法计数原理即可求解D．【解答】解：对于选项A，将A、B两名同学看作一个整体，与其他三个同学一起全排列，则共有＝24×2＝48种情况，故选项A正确；对于选项B，安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有种安排方法，故选项B错误；对于选项C，由于A、B、C三人值日的先后顺序固定，所以共有＝20种方法，故选项C正确；对于选项D，从三个人中选2个人安排在第一天和第二天，则有种方法，假若前两天值日的人为分别为AB，则6天的安排有ABCABC，ABCACB，ABCBAC，ABCBCA，ABACBC共有5种，故总的安排有6×5＝30，故选项D正确．故选：ACD．12．【答案】【分析】根据题设及各项描述，应用组合数依次求出不同选法数，即可判断．【解答】解：对于，选出的4个球全部为蓝球，有种，故对；对于，选出的4个球中蓝球红球各有2个，有种，故错；对于，蓝球的0号和红球的6号必须在选出的4个球内，有种，故错；对于，若蓝球的0号和红球的6号都不在选出的4个球内，有种，从10个球中任选4个，有种，所以蓝球的0号和红球的6号至少有1个在选出的4个球内，有种，故对．故选：．13．【答案】【分析】利用倍缩法计算，利用插空法判断，利用捆绑法判断，分丙排尾与丙不在排尾两种情况讨论，即可判断．【解答】解：对于选项位专家站成一排合影留念，若将专家甲、乙、丙三人从左到右按照身高递增的顺序排列，将6位专家全排列，其中专家甲、乙、丙三人的顺序固定，则用倍缩法，有种排法，故选项正确；对于选项：若专家甲、乙两人不相邻，先将其余四人全排列，再将甲、乙两人插空，有种排法，故选项正确；对于选项：若专家甲、乙、丙三人相邻，且甲在中间，先将甲、乙、丙三人作为一组与其余三人全排列，组内再排乙、丙，有种排法，故选项错误；对于选项：若丙排尾，则有种排法，若丙不在排尾，则有种排法，综上可得若专家丙不在排头，丁不在排尾，则共有种排法，故选项错误．故选：．14．【答案】【分析】分个位数是否为零两种情况讨论即可判断；利用捆绑法即可判断，利用排除法结合捆绑法即可判断；易得第55个数的首位为3，再列举即可判断．【解答】解：对于选项若个位数不为0，则个位数只能是2，4之一，0只能在中间3个位置任选一个位置，剩余3个数字在剩余的三个位置上任意排列，则有个．若个位数为0，则有个；所以偶数有60个，故正确；对于选项，将1，2看成一个整体，首位不为0，则有个，所以中数字1，2相邻的数有36个，故正确；对于选项，种共有个元素，其中2，4相邻有个，所以中2，4不相邻的数有个，故错误；对于选项，首位为1，则有个，首位为2，则有个，首位为3，则有个，所以将中的元素从小到大排列，第55个数的首位为3，则第49个数为30124，第50个数为30142，第51个数为30214，第52个数为30241，第53个数为30412，第54个数为30421，第55个数为31024，故正确．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】150．【分析】把5种算法按1，1，3或1，2，2分成三组，再安排给3人，由此计算可得．【解答】解：5种算法按1，1，3或1，2，2分成三组，有种方法，再安排给3人，则不同的分工收集方案种．故答案为：150．16．【答案】720．【分析】利用插空法即可解．【解答】解：根据题意，只需要从七个节目利用插空法即可，且每次插入一个节目都会增加一个空，则一共有种插法．故答案为：720．17．【分析】人数的分配有和两种；然后分别求解即可．【解答】解：人数的分配有和两种；若是，则有种，若是，则有种，则共有150种不同的分配方案．故答案为：150．18．【答案】28．【分析】可先列出满足题意的所有情况，再结合排列组合知识计算即可．【解答】解：根据题意，由题意可得满足条件的基本事件有：红，白，红，黑，黑，白，黑，黑，红，白，黑，红，黑，白，则事件有4种情况；事件有种情况；事件有种情况；事件有种情况，则共有种不同取法．故答案为：28．四．解答题（共6小题）19．【分析】（1）由排列、组合及简单计数问题，结合相邻问题捆绑法及分步乘法计数原理求解．（2）由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理求解．（3）由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理求解．【解答】解：（1）若比赛依次进行7轮单打，且3名女生的比赛顺序是相邻的，则不同的安排方法种数为；（2）若比赛依次按照男子双打、女子双打、混合双打、男子单打共四个项目进行，则不同的安排方法种数为；（3）若比赛依次按照双打、双打、双打、单打共四个项目进行，则不同的安排方法种数．20．【答案】（1）256种；（2）144种；（3）12种．【分析】（1）根据分步乘法计数原理即可求解；（2）先分组再分配即可；（3）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个，利用组合数即可求解，【解答】解：（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法．（2）先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有种投放方法，故共有（种放法．（3）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有（种放法．21．【答案】（1）120；（2）78．【分析】（1）通过排列的方法求分配方案的种数；（2）用分类法求排法种数．【解答】解：（1）5个人做5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，不同的分配方案总数为种．（2）甲不在中间，乙不在排头的排法可以分两类：①甲在排头，其他4人随机排，则有种排法；②甲不在排头也不在中间，甲有3个位置可以选择，乙不在排头，有3个位置可以选择，其他3人随机排，则有种排法．综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有种．22．【答案】（1）96；（2）1728；（3）3840．【分析】（1）按照特殊元素先排的原则即可；（2）互不相邻问题，利用插空法；（3）利用捆绑法即可．【解答】解：（1）由题意可得共种不同的站法．（2）先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法，最后排剩余的3名男学生有种站法，所以共有种不同的站法．（3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法，两老师的站法有种，再将一男学生