专题34 空间点、直线、平面之间的位置关系（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题34空间点、直线、平面之间的位置关系

1．与平面有关的基本事实及推论(1)与平面有关的三个基本事实基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l(2)基本事实1的三个推论推论内容图形作用推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面确定平面的依据推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α3．基本事实4和等角定理基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．异面直线所成的角(1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．4．线面角线面角是斜线与平面中其射影所成的锐角（范围：，斜线与平面垂直时角为，直线在平面内或平行于平面时角为）．5．二面角在二面角的棱上取一特殊点（如中点、端点），过该点分别在两个平面内作棱的垂线，两条垂线所成的角（或其补角）即为二面角的平面角（范围：）．常用结论：1．证明点共线与线共点都需用到基本事实3．2．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．►考点01基本事实的应用▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．【例1】（2025•洮北区一模）在四面体中，，分别是线段，的中点，，分别是线段，上的点，且．求证：（1）四边形是梯形；（2），，三条直线相交于同一点．【分析】（1）连结，推导出，，由此能证明四边形是梯形．（2）设，则平面，平面，由平面平面，得，由此能证明，，三条直线相交于同一点．【解答】证明：（1）连结，，分别是边，的中点，，且，又，，且，因此且故四边形是梯形．（2）由（1）知，相交，设，平面，平面，同理平面，又平面平面，，故和的交点在直线上．所以，，三条直线相交于同一点．【例2】（2024春•琼山区期中）已知和△所在平面相交，并且，，交于一点．（1）求证：和在同一平面内；（2）若，，，求证：，，三点共线．【分析】（1）欲证两直线在同一平面内，根据两条相交直线确定一个平面，证明其点在这个平面上，那么直线就在这个平面内．（2）欲证两直线的交点在同一直线上，可根据公里2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上．【解答】证明：（1）如图，与，确定平面，又，，，，，，和在同一平面内；（2）证明：，，平面平面，平面，平面，且，，即，，三点共线【例3】（2024秋•保定期中）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：（1）直线和在同一平面上；（2）直线、和交于一点．【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解．【分析】（1）连结，，，根据点，分别是，的中点，利用平行关系的传递性得到即可；（2）易得与相交，设交点为，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证．【解答】证明：（1）如图，连结，，，因为点，分别是，的中点，所以，由正方体的结构特征可知，所以，所以，，，四点共面，即和共面；（2）由（1）可知，且所以与相交，设交点为，因为，平面，所以平面，又因为，平面，所以平面，因为平面平面，所以，所以、、三线交于点．【例4】（2024秋•广州期中）已知：四边形是空间四边形，，分别是边，的中点，，分别是边，上的点，且，求证：直线、、交于一点．【分析】证明四边形是梯形，得出，相交于一点，再利用面面相交即可证明直线、、交于一点．【解答】证明：连接，，分别是边，的中点，；（2分）又，；（4分）因此且；（6分）故四边形是梯形；所以，相交，设，（8分），平面，平面；同理平面，（10分）又平面平面，，故直线、、交于一点．（12分）【例5】（2023秋•长宁区期末）在正方体中，，分别是，的中点．（1）画出平面与平面的交线，并说明理由；（2）求证：，，，四点在同一平面内．【分析】（1）利用平面基本性质2，可得结论；（2）利用平面基本性质3，可得结论．【解答】（1）解：设，，连结，则，分别在平面、平面，平面平面；（2）证明：连，则．故、、、四点共面►考点02空间两条直线的位置关系▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼空间两条直线位置关系的判定方法和技巧【例6】（2025春•徐汇区期末）如图，正方体中，、分别是线段、线段的中点．则以下和直线相交的是直线A． B． C． D．【答案】【分析】根据正方体的性质，利用线面平行的判断和性质、中位线的性质、异面直线的定义、平面内两直线的位置关系逐一判断即可．【解答】解：如图，在正方体中，连接，因为是线段的中点，所以是线段的中点．由，平面，平面，得平面，即与不相交，故错误；由、分别是线段、的中点，得，故错误；由平面，，平面，得与直线异面，故错误；因为，，所以与直线不平行，又，平面，所以与直线相交，故正确．故选：．【例7】（2024秋•浦东新区期末）已知空间中的两条直线，都与一个平面平行，则和的位置关系为A．平行或相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．平行、相交或异面【答案】【分析】根据空间中各要素的位置关系，即可求解．【解答】解：空间中的两条直线，都与一个平面平行，与平行或相交或异面．故选：．【例8】（2025春•湖南期中）如图，点为正方形的中心，点在平面外，是线段的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为A．与 B．与 C．与 D．与【答案】【分析】根据异面直线的判定定理，即可求解．【解答】解：根据异面直线的判定定理可得：与为异面直线；与为异面直线；与为异面直线；与共面于平面．故选：．【例9】（2025•济南模拟）如图，下列正方体中，，，，分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线和为异面直线的是A． B． C． D．【答案】【分析】根据题意，由直线与直线的位置关系分析选项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，和是平行直线，不符合题意；对于，和是相交直线，不符合题意；对于，和是相交直线，不符合题意；对于，和是异面直线，符合题意．故选：．【例10】（2025春•增城区期中）如图所示，在正方体中，，分别是侧面，侧面的中心，，分别是线段，的中点，则直线与直线的位置关系是A．相交 B．异面 C．平行 D．无法确定【答案】【分析】由题意画出图形，由三角形中位线定理可得，，再由平行公理得结论．【解答】解：如图，连接，，则，分别为，的中点，由三角形中位线定理可得，，由平行公理可得．故选：．►考点03异面直线所成的角▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼求异面直线所成角的步骤(1)作：通过作平行线得到相交直线．(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)．(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．【例11】（2025春•重庆期末）如图，在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为A． B． C． D．【答案】【分析】根据异面直线所成角的定义，结合边长计算求解即可．【解答】解：连接，，则有，所以异面直线与所成角，等于与所成的角，△是等腰直角三角形，，所以，所以异面直线与所成角为．故选：．【例12】（2025春•天宁区期末）在正方体中，异面直线与所成角为A． B． C． D．【答案】【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的性质即可求解．【解答】解：根据题意连接，，如下图所示：因为为正方体，所以，并且，，所以四边形为平行四边形，并且，故，所以是异面直线与所成角或其补角，所以异面直线与所成角为．故选：．【例13】（2025•巴中模拟）已知三棱柱的各条棱长相等，且，，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．【答案】【分析】由题意求出这两个向量，的夹角的余弦值，进而可得所求的异面直线所成的角的余弦值．【解答】解：由题意设三棱柱棱长为1，，，设，，，，可得，，又，可得，则，所以，．所以异面直线与所成角的余弦值为，．故选：．【例14】（2025春•上城区月考）在正四面体中，是的中点，是的中点，则异面直线与夹角的余弦值为A． B． C． D．【答案】【分析】取的中点，连接，，或其补角即为异面直线与所成的角，在△中，利用余弦定理求出的长，再在△中，利用余弦定理的推论求出即可．【解答】解：取的中点，连接，，是的中点，，，或其补角即为异面直线与所成的角，设正四面体的棱长为4，是的中点，是的中点，△和△均为正三角形，，，且，，在△中，，在△中，，异面直线与夹角的余弦值为．故选：．【例15】（2025春•东海县期末）已知正三棱锥的底面是边长为的等边三角形，侧棱，点是棱的中点，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．【答案】【分析】取的中点，连接，，可得或其补角就是异面直线与所成角，在△中，由余弦定理可得，在△中，再由余弦定理可得的值，即求出用米直线所成的角的余弦值．【解答】解：如图，取的中点，连接，，则，所以或其补角就是异面直线与所成角，由题知，，两两垂直，在△中，，，所以，连接，在△中，，，由余弦定理可得，在△中，，所以，在△中，，所以异面直线与所成角的余弦值为．故选：．►考点04线面角的计算▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼步骤：作：过斜线上一点（非斜足）作平面的垂线，垂足为射影的端点；连：连接斜足与垂足，得到斜线在平面内的射影；算：斜线与射影的夹角即为线面角，在含该角的直角三角形中，利用三角函数（正弦=对边/斜边，余弦=邻边/斜边）求解．【例16】（2025春•赣榆区期末）已知球是正三棱锥的外接球，△是边长为的正三角形，，为边上的一点，且与平面所成角的正切值为若过点的球的截面面积为，则与该截面所成的角为A． B． C． D．【答案】【分析】作平面，垂足为，由正三棱锥性质求出及外接球的半径，进而求得，利用球的截面性质求解．【解答】解：如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心，因为，，所以，所以，所以为与平面所成角，因为与平面所成角的正切值为，所以，所以，设正三棱锥外接球的半径为，则，得，所以，所以，如图，设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点，所以，则，所以，则，所以与该截面所成角为，所以，所以，即与该截面所成角为．故选：．【例17】（2025春•滁州期末）在正三棱台中，，分别为棱，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为．【答案】．【分析】利用正三棱台补形为正三棱锥，再利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，从而可得正四面体，再利用正四面体来求线面角即可．【解答】解：如图，，，，分别为，，的中点，又，分别为棱，的中点，，且，又，且，且，即四边形是平行四边形，又，四边形是菱形，即，又，，，即可得，即四面体是正四面体，取为的中点，，，又，，平面，平面，又平面，平面平面，即直线与平面所成角为，设正四面体的棱长为1，则．故答案为：．【例18】（2025春•柘荣县月考）把正方形沿对角线折起，当以，，，四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角为A． B． C． D．【答案】【分析】由三棱锥的体积公式，结合线面角的求法求解即可．【解答】解：把正方形沿对角线折起，当以，，，四点为顶点的三棱锥体积最大时，此时平面平面，取中点，则平面，连接，则直线和平面所成的角为，又，则，故选：．【例19】（2025•长沙二模）已知正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，体积为7，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为A． B． C． D．【答案】【分析】画出相应图形，借助正四棱台的性质及体积公式可得其高，结合线面角定义计算即可得解．【解答】解：如图所示，作于点，则，即，，则，由正四棱台的侧棱与底面所成角即为与底面所成角，设其为，则，即，故选：．【例20】（2025春•百色期中）三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是A． B． C． D．【答案】【分析】过点作平面于，在平面内过作，，垂足分别为，，连接，，可得为直线与平面所成的角，进而结合题设求角即可．【解答】解：过点作平面于，在平面内过作，，垂足分别为，，连接，，所以为直线与平面所成的角，因为平面，，平面，所以，，又因为，，且，平面，所以平面，又因为平面，所以，同理可得，因为，所以，又因为，所以四边形为正方形，则，，所以直线与平面所成角的正弦值．故选：．►考点05二面角的计算▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼定义法：在二面角的棱上取一特殊点（如中点、端点），过该点分别在两个平面内作棱的垂线，两条垂线所成的角（或其补角）即为二面角的平面角（范围：）．垂线法（三垂线定理法）：过一个平面内一点作另一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连接该点与棱上垂足，所得角即为二面角的平面角（利用三垂线定理：平面内的直线垂直于斜线的射影，则垂直于斜线）．面积射影法：若一个平面内的多边形在另一个平面内的射影面积为，原多边形面积为，则二面角满足（适用于多边形面积易求的情况）．【例21】（2025春•嘉兴期末）在三棱台中，平面平面，△是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，则二面角的正切值为A． B． C． D．2【答案】【分析】设，先利用勾股定理证明，再分别取，的中点，，连接，，，可得，然后结合面面垂直的性质定理可证平面，最后由三垂线定理找到二面角的平面角，并求之即可．【解答】解：设，则等腰梯形的高为，所以，，又，所以，所以，即，分别取，的中点，，连接，，，则，所以，因为△是以为直角顶点的等腰直角三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，由三垂线定理知，即为二面角的平面角，在△中，，，所以，即二面角的正切值为2．故选：．【例22】（2025春•安徽月考）如图，已知正三棱柱的棱长均为2，为线段上的动点（含端点），当截面的周长最小时，平面与平面的夹角为A． B．或 C． D．或【答案】【分析】先根据展开侧面得