河北省沧州市十二校联考2026届高三上学期一模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省沧州市十二校联考2026届高三上学期一模数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,故虚部为1，故选：A.2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，即，，又，所以.故选：B.3.已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（）A.2 B. C.4 D.8【答案】A【解析】成等差数列，成等比数列，所以，且，则，当且仅当时取等号，故选：A.4.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（）A.72 B.84 C.96 D.108【答案】B【解析】选个空盒：种，分配个小球到个非空盒情况一（分法）：种情况二（分法）：种总分配方法;种，总放法数：种故选：.5.已知正项等差数列的公差为，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知数列为等差数列，且，即，化简可得，即，故选：B.6.一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】方法一：，如图，，而，，，即，由于到距离，则到距离，设正方形外接圆圆心，则设矩形外接圆圆心，则，设外接球半径，，故外接球表面积为，故选：A.方法二：由当底面水平放置时，水面高为可知容器内的空气占容器体积的，于是侧放时，图中的空气区域的“小三棱柱”的体积为容器的，因此“小三棱柱”的底面“小三角形”的面积为大三角形的，则边长之比为，即“小三角形”边长为1.然后如图：设圆的半径为，由余弦定理可得，故，故，所以外接球的半径为，所以球的表面积为.故选：A.7.如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意则得，即，所以,；设，因为，所以，，解得，；因此，，可得，结合图象可得，解得.故选：B.8.设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以所在的平面建立直角坐标系，为轴，的垂直平分线为轴，，则，，设，，则，整理得到，故轨迹是以为圆心，半径的圆，转化到空间中：当绕为轴旋转一周时，不变，依然满足，故空间中的轨迹为以为球心，半径为的球，同时在球上，故在两球的交线上，为圆.球心距为，为直角三角形，对应圆的半径为，周长为.故选：D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由，且，则，故A错误；由，故B正确；由，故C正确；由，故D错误.故选：BC.10.若函数的图象经过第二、三、四象限，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】若函数的图象经过第二、三、四象限，则的图象如下图所示：函数单调递减，所以，所以，由题意可知，解得，所以，，故选：AC.11.已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确的是（）A.B.为偶函数C.当时，D.在上单调递减【答案】ACD【解析】因为，令，，可得，所以，令，，可得，所以，所以，A正确；由，令可得，，再将中的替换为，可得，所以，所以，所以函数为奇函数，B错误；当时，将中的用替换，可得，即，当时，，由已知可得，所以，，又函数为奇函数，所以当时，，，所以当时，，C正确；因为，所以若，则，任取，且，则，因为，所以，，,所以，所以，所以函数在上单调递减，设，当时，，因为，所以，因为函数在上单调递减，所以，所以，所以在上单调递减.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间的个数，则随机变量Y的方差是________.【答案】【解析】由正态分布的性质得质量指标在区间的概率为，即1件产品的质量指标位于区间的概率为，∴，故.故答案为：.13.在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．【答案】或0【解析】∵三点共线，∴可设，∵，∴，即，若且，则三点共线，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，设，，则，.∴根据余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的长度为.当时，，重合，此时的长度为，当时，，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.14.设F为双曲线的右焦点，A，B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有B，P，Q三点共线，则的最大值为____________.【答案】【解析】设，，联立，整理得：;所以，得到，所以；过F作直线PA的垂线与直线交于Q，因为B,Q,P三点共线，所以Q是直线与BP的交点，Q是与的交点所以得，所以设则所以当时，即m=2即时，取得最大值.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.函数是定义在R上的奇函数，且.(1)求a，b的值；(2)判断并证明在的单调性.解：(1)因为是定义在R上的奇函数，所以，又由，故；(2)由(1)中可知，在上单调递减，证明：设，，且，则，因为，所以，，，从而，即，故在上单调递减.16.如图，四棱锥P-ABCD底面为正方形，PD⊥平面ABCD,PD=AD,点M为线段PA上任意一点（不含端点），点N在线段BD上，且PM=DN.（1）求证：直线MN∥平面PCD.（2）若点M为线段PA的中点，求直线PB与平面AMN所成角的余弦值.（1）证明：如图所示：过点作交于，连接.，，故，所以平面平面，故直线MN∥平面PCD.（2）解：由于，以为轴建立空间直角坐标系，设,则，则,设平面的法向量为，根据得到故法向量，则向量与的夹角为,则，则与平面夹角的余弦值为.17.已知为数列的前项和，且.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求的表达式及最大值.解：（1）在数列中，，则，两式相减得，而，，则，因此数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以的通项公式是.（2）由（1）得，所以，，当时，；当时，，即，所以当时，取得最大值.18.已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点.（1）求的标准方程；（2）过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值.解：（1）设椭圆的半焦距为，由离心率为，得，令，，椭圆：过点，则，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，设直线的方程为，，，由消去得，，，，，而，，则，解得，所以.19.已知函数，，.（1）若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值；（2）讨论函数在区间上的单调性；（3）若对任意恒成立，求的取值范围.解：（1）由已知得，，在点处的切线方程为.设与切于，，，则过该点的切线方程为：，整理得，由于该切线与重合，则.（2）由，求导得，①当时，，，在上单调递增；②当时，令当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增③当时，令当时，，在区间上单调递增；当时，，在区间上单调递减（3）由题意得，即对恒成立.令，，令，，因为，，若，则在处的切线必然是上升的，又