河北省石家庄市新乐市七校联合体2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省石家庄市新乐市七校联合体2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点的坐标为，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在空间直角坐标系中，点到平面的距离等于该点竖坐标的绝对值，因为，所以所求距离为.故选：.2.双曲线的焦距为（）A. B.6 C. D.4【答案】C【解析】双曲线的标准方程为，则，得，即，故双曲线的焦距为.故选：C.3.观察数列特点，则该数列的一个通项公式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为数列，可以写成，所以可得到该数列的一个通项公式.故选：A.4.在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】点关于轴的对称点的坐标为，由题意反射光线所在的直线即为直线，，所以直线的方程为，即，即反射光线所在的直线方程为.故选：A.5.如图，在长方体中，，点是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则那么，所以异面直线与所成角的余弦值为,故选：A.6.若直线与圆相交于两点，则当面积最大时，的值为（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】设直线到圆心距离为，圆半径为，则，.为使直线与圆相交，则.则因，当且仅当时取等号，则，当且仅当时取等号.则，当且仅当，即时取等号.则最大值为，此时.故选：B.7.若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设是椭圆的左右焦点，又椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，，又，，，解得，即，又椭圆离心率的取值范围为，.故选：C.8.已知曲线，则曲线围成的平面图形的面积为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】若点在曲线上，则点均在曲线上，则曲线的图象关于轴、轴、原点对称，当时，曲线，设其圆心为，图象与轴、轴的交点分别为，图象如图所示：易得，，则，则在中利用余弦定理得，则，因，则，故扇形的面积为，又，则曲线在第一象限与坐标轴围成的图形面积为，故曲线围成的平面图形的面积为.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，则下列说法正确的是（）A.直线在轴上的截距为B.直线与直线平行C.直线的一个方向向量为D.直线与直线垂直【答案】BD【解析】A：在直线中，令，，所以本选项说法不正确；B：因为，所以直线与直线平行，因此本选项说法正确；C：由，所以直线的一个方向向量为，而，所以向量不是直线的一个方向向量，因此本选项说法不正确；D：因为，所以直线与直线垂直，因此本选项说法正确，故选：BD.10.在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】在平行六面体中，是的中点，对于AB，，而，不共面，因此，A正确，B错误；，则，于是，由为平面内一点，得共面，由共面向量定理得，因此，C正确，D错误.故选：AC.11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（）A.B.若点的坐标为，则C.的最小值为18D.若直线与直线相交于点，则三点共线【答案】BCD【解析】根据抛物线的对称性，不妨设点在第一象限.对于A：抛物线焦点坐标为，根据抛物线的光学性质可知直线经过，直线方程可设为，与抛物线方程联立，得，，所以，，所以选项A不正确；对于B：若点的坐标为，由题意可知：，代入中，得，代入中，得，代入中，得，则，，所以，因此本选项正确；对于C：点的坐标为，由题意可知：，代入中，得，代入中，得，代入中，得，，即，当且仅当时取等号，即当时，的最小值为18，所以本选项正确；对于D：点坐标为，因为，，所以，又直线都经过同一点，所以三点共线，故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.记为等差数列的前项和，已知，则__________.【答案】1【解析】由题意知，设等差数列的公差为，则，即，解得，所以.故答案为：.13.圆与圆的公切线条数为__________.【答案】2【解析】圆圆心为，半径，圆的圆心为，半径，则，，所以，故圆相交，故两圆公切线条数为2.故答案为：2.14.定义：在空间直角坐标系中，经过且法向量的平面方程为，经过且方向向量的直线方程为.阅读上面材料，并解决下列问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________.【答案】或【解析】平面的方程为，平面的一个法向量，同理，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量，设平面与平面的交线的方向向量为，则，取，则，设直线与平面所成角为，则．故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点.（1）设，试用向量表示；（2）求线段的长度.解：（1）因为为的中点，为线段上靠近的三等分点，所以,，所以.（2）因为底面边长和侧棱长都等于2，所以，所以.16.已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程.解：（1）因为双曲线的一条渐近线方程为，即，又双曲线的渐近线方程为，所以，即.而双曲线经过点，所以有，解得.所以双曲线的方程为.（2）设，将其代入双曲线方程中得，两式相减得因为线段的中点坐标为，所以.所以，设直线的斜率为，则.所以直线的方程为，即.17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面为线段的中点，.（1）证明：无论取何值，均有平面平面；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.（1）证明：因为为线段的中点，所以，又因为底面，底面，所以，又因为平面，所以平面，又因为平面，所以，又因为平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，即无论取何值，均有平面平面；（2）解：因为平面，平面，所以即二面角的平面角就是，若平面与平面夹角的余弦值为，则，因为平面，又因为平面，所以，即，因为，所以，根据勾股定理可得：，又因为，，所以.18.记为数列的前项和，已知.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）设数列为单调递减数列，且，求实数的取值范围.解：（1）由，得，当时，，两式相减得，整理得，而，因此，即，则是以13为首项，为公差的等差数列，所以.（2）由（1）得：.由，得，解得，则当时，；当时，，所以数列的前项和.（3）由（1）知，则为单调递减数列，由，得，则，即，依题意，对恒成立，而单调递增，，当且仅当时取等号，因此，所以实数的取值范围为.19.已知分别是椭圆的左､右顶点，是椭圆上异于的两点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为.（1）求椭圆的方程；（2）已知为坐标原点，直线（其中），直线与椭圆相交于两点，且满足.（i）求与的关系式；（ii）求面积的取值范围.由四边形为菱形，根据椭圆的中心对称性可得，是椭圆的短轴顶点，再由椭圆的性质，由四边形的周长为，面积为