河北省唐山市十校2026届高三上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省唐山市十校2026届高三上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，所以，所以，故选：C.2.已知平面向量，满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意得，解得或，当时，；当时，；综上.故答案为：.3.已知函数，则在上的极值为（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】，当时，单调递增，当时，单调递减，所以在上的极值为，故选：A.4.已知函数的值域为，实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，，故，令，得，当时，，得函数在上单调递增，当时，，得函数在上单调递减，故得最大值为，当时，；当时，，因此当时，，当时，函数，由题意可得此时的的范围是的子集，对进行分类讨论：（1）若，则，当时，，不符合范围是的子集的要求，因此不满足题意；（2）若，函数的图象是开口向下的抛物线，且对称轴为故当时，函数在对称轴处取得最大值：且由题意得，因为，解得：；（3）若，函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为，故在上单调递减，且故，这不符合范围是的子集的要求；综上，的取值范围是．故选：A．5.已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（）A. B.30 C. D.18【答案】B【解析】已知等差数列的前n项和为，公差为d，所以，所以，．又，即亦即解得所以，根据二次函数的性质知当或6时，取得最大值30，故选：B．6.已知函数且恰有2个零点，则a的值为（）A. B.3 C. D.4【答案】C【解析】由题意得，当时，，该函数是由向上平移1个单位得到，令得，且，当时，有1个零点；当时，只有1个负零点，由开口向上，且对称轴，，所以要使只有1个负零点，则，解得或（舍去），故.故选：C.7.如图，10个半径为2cm的乒乓球放在一起，形成一个3层的乒乓球垛，其中每两个乒乓球都是相切的，则该乒乓球垛的高度为（）cm．A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意连接顶层1个球和底层边缘3个球的球心得到一个正四面体，且该正四面体的棱长为，设正四面体的高为，则该“三角垛”的高度为，如图正四面体棱长为，设底面的中心为，连接并延长交于点，则为的中点，连接，则为底面上的高，，，所以，所以“三角垛”的高度为.故选：B.8.已知点和是图象的两个相邻的对称中心，如图，过原点的直线与的图象在第一象限的一对相邻的交点分别为A，B（其中A在B的左侧），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若，且的面积是的面积的9倍，则（）A. B.点A的坐标为C. D.点B的坐标为【答案】B【解析】由题意得，因为的面积是的面积的9倍,所以，，即,即，化简得，令，则，化简得，解得，又，所以即所以，所以.所以点A的坐标为，又，所以点的坐标为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.有关复数和实数，下列说法不正确的是（）A.，则 B.，则C. D.，其中【答案】AB【解析】对于A，取复数，则，所以A不正确；对于B，取复数，则，所以B不正确；对于C，设，则，所以由，则，所以，所以C正确.对于D，设，可则，则，又由，所以，所以，其中，所以D正确.故选：AB.10.如图，在边长为1的正方体中，点E，F，M，N分别是边AB，，CD，的中点，则下列说法正确的是（）A.∥平面 B.C.平面∥平面 D.三棱锥的体积为【答案】ABD【解析】对于A，因为，，所以四边形为平行四边形，故，又平面，平面，故平面，因为M，N分别是边CD，的中点，所以，又平面，平面，故平面，因为平面，且，所以平面平面，因为平面，所以∥平面，正确；对于BCD，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，由题意知，，则，故，所以，故，故B正确；设平面的一个法向量为，，则，令，则，设平面的一个法向量为，，则，令，则，因为不存在，使得，即与不平行，所以平面平面不成立，故C错误；设平面的一个法向量为，，则，令，则，又，所以点F到平面的距离为，易知为等边三角形，所以，所以三棱锥的体积为，故D正确.故选：ABD.11.已知幂函数，则（）A.B.曲线关于y轴对称C.已知，对恒成立，则D.方程无实根【答案】CD【解析】由幂函数，可知，即，，故A错误；，不是偶函数，故B错误；由，当时，由知幂函数单调递增，所以由对恒成立，可得，即恒成立，令，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以时，，故，故C正确；由方程，即，因为，所以令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，故，所以，即无解，所以无解，故D正确.故选：CD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_________．【答案】【解析】，若“”是“”的充分不必要条件，所以有，故答案为：.13.已知函数，若，则_________．【答案】【解析】令，则，函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是定义在的奇函数，因为，所以，解得.故答案为：.14.已知，则_________．【答案】【解析】由，得，，，又，则，即，，即，，即，解得，又，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数是偶函数．（1）求a的值；（2）若，不等式对任意恒成立，求m的取值范围．解：（1）因为，所以，因为为偶函数，则，即，所以，解得．（2）由（1）可得，因为，令，因为，所以，设，，由对勾函数的单调性可知在上单调递增，，所以，而，所以可化为，即对任意的恒成立，①当时，恒成立.②当时，要使恒成立，只需将代入满足即可,所以，所以，即.③当时，要使恒成立，即代入满足即可，所以，所以，即；综上所述，m的取值范围是.16.如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是正方形，．（1）若平面平面，证明：；（2）求AC与平面PAB所成角的大小．（1）证明：因为四边形ABCD是正方形，所以，因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，因为平面平面，平面PCD，所以；（2）解：如图，以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴，建立坐标系．则，所以，设平面PAB的一个法向量为，则，即，令，则，可得，设AC与平面PAB所成角的大小为，则，所以，故AC与平面PAB所成角的大小为.17.已知数列是等差数列，公差，若成等比数列，数列的前n项和为．（1）求及；（2）求数列的前项和．解：（1）由题意成等比数列，得，即，解得，所以数列的通项公式为；当时，，当时，，验证当时，满足上式，所以数列的通项公式为；（2）由（1）知．，则，两式相减得，所以.18.在中，内角所对的边分别为，已知向量满足，且．（1）求的值；（2）若，的面积是，的角平分线交于点．①求；②求的值．解：（1），由正弦定理得，，则，因为，所以，又，所以.（2）①由得，由余弦定理得，，所以．②由得，，所以.19.已知函数，当时，恒成立．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数，当实数a取最大值时，是否存在整数t，使得关于x的不等式恒成立，若存在，请求出t的最大值，若不存在，请说明理由；（3）已知，证明：．（1）解：由题设在时恒成立，等价于在上恒成立，令，，则，令，且，当，即时，，即，此时在上单调递增，则，满足题设；当，即时，，对称轴，所以，使，在时，，即，所以在上单调递减，此时，不满足题设；综上，.（2）解：由题设，由（1）