河北省五个一名校联盟2026届高三上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省五个一名校联盟2026届高三上学期1月期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为集合，所以，所以A，B，C错误.因为，所以，正确.故选：D.2.如图，在中，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，所以，所以.故选：C.3.已知复数，则（）A.的实部大于的实部 B.为纯虚数C.的虚部小于的虚部 D.【答案】D【解析】对于A选项：的实部2小于的实部3，A错误；对于B选项：，不是纯虚数，B错误；对于C选项：的虚部大于的虚部，C错误；对于D选项：，D正确.故选：D.4.已知椭圆的两个焦点为，若在上，且三点不共线，的周长为，则的短轴长为（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】因为，所以，所以的周长为，因为函数为增函数，且，所以，故的短轴长为.故选：C.5.已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以，所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，则，所以+148.故答案为：A.6.下列函数中，值域为的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于A，因为，所以，所以，即的值域为；故A错误；对于B，，因为，所以，所以，所以，即的值域为，故B正确；对于C，因为，所以，即的值域为，故C错误；对于D，，因为，所以，即的值域为，故D错误.故选：B.7.某单位有10位来宾抵达当地机场，该单位要派3辆车去接来宾，已知每辆车最多可接4位来宾，则这10位来宾坐车的不同安排（不考虑同一辆车内来宾座位的安排）的种数为（）A.9450 B.22050 C.14700 D.44100【答案】B【解析】依题意可知3辆车接来宾的人数分配有2，4，4或3，3，4两种，则这10位来宾坐车的不同安排的种数为.故选：B.8.在中，为AC边上的动点，若AC边足够长，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，则，由余弦定理，，又，所以，则.如图，设，过作，垂足为，则，过作，垂足为，则.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（）A. B.C.的极小值点为1 D.的极大值点为【答案】ACD【解析】因为，切线斜率为，所以，由题意得，切点在切线上，故，则，联立，解得，故A正确，B错误；，当时，，在单调递减，当或时，，在单调递增，所以的极小值点为1，极大值点为，故CD均正确，故选：ACD.10.已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则（）A.正三棱锥与圆柱的体积的比值为B.正三棱锥与圆柱的侧面积的比值小于C.正三棱锥外接球的体积与圆柱外接球的体积相等D.正三棱锥的内切球与圆柱的内切球的半径的比值小于【答案】BC【解析】如图，设点在底面ABC内的射影为点，连接CH，则，则.正三棱锥的侧面积为.设正三棱锥的外接球的球心为，外接球的半径为，则在直线SH上，由，得.设正三棱锥内切球的半径为，则.对于A：圆柱的体积为，A错误；对于B：圆柱的侧面积为，B正确；对于C：圆柱外接球的半径，C正确；对于D：圆柱内切球的半径，D错误.故选：BC.11.已知Q，R是双曲线上两个不同的点，是的左顶点，则（）A.的离心率为B.当轴时，PQ与PR不可能垂直C.当Q，R的纵坐标异号时，对任意的点，都存在点，使得D.当时，Q，R的横坐标之和的取值集合为【答案】BD【解析】由已知，，，对于A，的离心率为，A错误.对于B，当轴时，.设，则，则，若，则，解得，此时P，Q，R三点重合，这与题意不符合，所以与不可能垂直，B正确.对于C，设Q在第一象限，当直线PQ的倾斜角为时，设直线QR与轴交于点，若，则，则直线QR与的一条渐近线平行，从而点不存在，C错误.对于D，当时，Q，R在以为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为，由得，整理得，解得，所以Q，R的横坐标之和可能为，故Q，R的横坐标之和的取值集合为，D正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则___________.【答案】3【解析】由已知条件变形可得，借助对数的运算公式计算即可得出结果.因为，可得：，整理得：，所以.故答案为：3.13.若直线与圆相交，则的取值范围是___________.【答案】【解析】由，得，圆心，半径为，则圆心到直线的距离，解得.即的取值范围是.故答案为：.14.若，且，则的最小值为___________，此时___________.【答案】；【解析】，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，又因为，所以，当且仅当时，第二个等号成立，所以的最小值为，此时.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）若为上的偶函数，求的值；（3）将图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上有最小值，无最大值，求的取值范围.解：（1）由正弦型函数的最小正周期公式可得，函数.的最小正周期.（2）方法一：因为函数是偶函数，且函数为上的偶函数，所以函数为偶函数，所以因为，所以.方法二：因为为上的偶函数，所以，所以，即，则，则，所以对恒成立，则，因为，所以.（3）依题意可得.当时，.因为，所以，又在上有最小值，无最大值，所以，解得，即的取值范围为.16.如图，在四棱台中，底面为矩形，且.（1）证明：平面平面.（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：因为底面为矩形，所以.因为，所以，则.因为，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）解：在四棱台中，由已知，则因为，所以，所以可得两两垂直.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以.设平面的一个法向量为，则，令，得.设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.17.已知抛物线的准线经过点.（1）求的方程.（2）设直线与交于A，B两点，为坐标原点，为的焦点.（i）证明：.（ii）若，设数列的前项和为，证明：.（1）解：因为的准线方程为，所以，得，所以的方程为；（2）证明：（i）将代入，消去，得.设，则，则，因为，所以，所以；（ii）因为，所以.当时，，所以，即；当时，，即成立.综上所述，命题得证.18.已知函数.（1）当时，证明：：（2）证明：当时，仅有1个零点；当时，有2个零点.（3）若，证明：.证明：（1）当时，，则.当时，单调递增，当时，单调递减，所以，即.（2），当时，.当时，令，得单调递减，令，得单调递增，又，函数在处取得极小值，故在上的唯一零点是所以当时，仅有1个零点.当时，令，得单调递减，令，得单调递增，因为，所以，则，又，当时，，所以必存在唯一的，使得，所以当时，有2个零点.（3）由（1）和（2）知，当时，，此时才有可能成立，且在上单调递增，在上单调递减，则.设，则，所以在上单调递增，则，所以.又，所以，因为在上单调递减，且，所以.19.某社交平台对用户行为进行分析，收集了每位用户每日的活跃时间（单位：小时）和发布内容数量（单位：条）.为分析两变量间的相关性，需对数据进行标准化处理.现随机抽取名用户，得到数据，定义标准化变量与的相关系数为.（1）证明：且.（2）基于历史数据，用户活跃时间，设平台服务成本为随机变量，当时，，当时，，当时，，若在变化，且0.9544，求的期望的取值范围.（3）设维向量与的数量积定义为，模长定义为与的夹角满足.设x，y标准化变量对应的向量分别为为向量与的夹角.该平台还记录了每位用户的好友数量（单位：人），其标准化变量对应的向量，）.已知活跃时间与发布内容数量的相关系数为，发布内容数量与好友数量的相关系数为，设与的夹角为与的夹角为