专题16 导数与函数的极值、最值（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题16导数与函数的极值、最值

一．选择题（共10小题）1．（2025春•开封期中）函数的极小值点为A． B． C．0 D．12．（2025春•湖北月考）函数的极值点是A．，0，1 B．，1 C．，， D．，3．（2025春•邢台期中）已知函数有极值，则的取值范围为A． B．， C．， D．4．（2025•金水区四模）当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围是A． B． C． D．5．（2025春•松滋市期中）已知实数，满足，则的值为A． B． C． D．6．（2025春•海淀区期中）函数的零点个数为A．1 B．2 C．3 D．47．（2025春•朝阳区期中）关于函数，下列结论错误的是A．的解集是 B．是极小值，是极大值 C．没有最小值，也没有最大值 D．有最大值，没有最小值8．（2025•景德镇模拟）已知函数，若，则实数的取值范围是A． B． C．， D．9．（2025春•东莞市期中）函数在，上的最小值为A． B． C． D．110．（2025•沙坪坝区模拟）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围为A．， B． C．， D．二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025春•贵州期中）若函数有极值，则的取值可能是A． B． C．1 D．2（多选）12．（2025•西安模拟）设函数，则下列结论正确的是A．在和处取得极值 B．当时， C．当时，的取值范围是 D．为曲线的对称中心（多选）13．（2025•西安模拟）已知函数．若不等式的解集为且，则A． B．是的极大值点 C．是的极大值点 D．过原点且与曲线相切的直线有2条（多选）14．（2025春•张掖月考）已知函数，，则下列结论中错误的有A．一定有极大值 B．当时，有极小值 C．当时，可能无零点 D．若在区间上单调递增，则三．填空题（共4小题）15．（2025•回忆版）若是函数的极值点，则．16．（2025春•河南期中）已知函数在处有极大值，则．17．（2025春•金牛区期中）已知函数有两个不同的极值点，，则实数的取值范围为．18．（2025•安化县模拟）设函数，，使成立，则实数的取值范围．四．解答题（共6小题）19．（2025•江西模拟）已知函数．（1）当时，求曲线在，（e）处的切线方程；（2）若函数在处取得极大值，求实数的取值范围．20．（2025•海珠区三模）已知函数，．（1）当时，求与相切，且垂直于直线的直线方程；（2）若有两个零点，求实数的取值范围．21．（2025•辽宁模拟）已知函数．（1）若，当，时，，求的取值范围；（2）若，求的极值；（3）若是的极小值点，求的取值范围．22．（2025春•成都月考）已知函数，，且（1）．（1）求的值；（2）求在区间的值域．23．（2025•浙江模拟）已知函数．（1）求函数图象在点处的切线方程；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．24．（2025•天津模拟）已知函数．（1）当时，求在点，（1）处的切线方程；（2）若对，，都有恒成立，求的取值范围；（3）已知，若，且满足，使得，求证：．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CBADABCDCC二．多选题（共4小题）题号11121314答案ADADABDABC一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】对求导，利用导数求出函数的单调性，进而可得函数的极值点．【解答】解：由题意可知的定义域为，且，令，可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是的极小值点．故选：．2．【答案】【分析】根据函数极值点的定义求解即可．【解答】解：根据函数，那么导函数，令，得或；令，得或，且（1），因此在和上单调递增，在上单调递减，则函数的极值点为，1．故选：．3．【答案】【分析】对函数求导，结合根的判别式求解．【解答】解：对函数求导，可得．因为函数有极值，所以有两个不同的实数根，在中，△．不等式，解得．所以的取值范围是．故选：．4．【答案】【分析】由已知得，构造函数，利用导数判断出的单调性，可得在时恒成立，令，利用导数求出的最大值可得答案．【解答】解：由得，即，令，，则恒成立，在时恒成立，所以在，上单调递增，由，可得，即在时恒成立，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以．故选：．5．【答案】【分析】设，，题设转化为，进而构造函数和，即可求导，得函数的最值，进而根据，得，，进而求解即可．【解答】解：根据题目：已知实数，满足，可得，设，，则，故，即，令，则，当时，，在单调递增；当，，在单调递减．所以（1），所以，令，则，当，，在单调递增；当，，在单调递减．故，所以．由题意可知若，则，故，，此时且，解得，故．故选：．6．【答案】【分析】令，可得或，令，，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理可得的零点个数，从而可得的零点个数．【解答】解：，令，可得或，令，，则，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以在上单调递增，又，，所以在上有且只有一个零点，即方程有且只有一个实数根，所以方程有两个实数根，即函数有2个零点．故选：．7．【答案】【分析】，解方程可判断；求导分析单调性可判断；结合单调性，极值和边界正负，以及函数值正负分布可判断，．【解答】解：由，解得，故正确；求导可得，令，得，或时，，当时，，所以在和，上单调递减，在，上单调递增，所以当时，取得极小值，当时，取得极大值，故正确；当或时，，当时，，且，结合函数的单调性可知，函数有最大值，无最小值，故不正确，正确．故选：．8．【答案】【分析】构造函数，由其单调性得到，再通过参变分离求最值即可求解．【解答】解：根据，可得：，令，易知函数在上单调递增，因此可得在时恒成立，所以，令函数，那么导函数，令导函数，那么可得，当时，，当时，，也即函数在单调递减，在单调递增，当时，取得最大值，所以，所以实数的取值范围是．故选：．9．【答案】【分析】不含参函数定区间求最值，可求导，用导数判断单调性，从而得解．【解答】解：因为，所以，令，解得，令，解得，故在，上单调递减，在上单调递增，故．故选：．10．【答案】【分析】设，由题可知，利用导函数研究单调性知存在使得，此时得，而，即，即，构造，由的单调性可知，，，构造，，，利用导函数研究的单调性，进而求得的值域，得出的取值范围．【解答】解：不等式，即．设，则，，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故只需，所以，即，设，则在上单调递增，又（1），所以，，设，，，则，所以在，上单调递增，所以的值域为，，即的取值范围为，．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】根据有两个不相等实数根，即可根据判别式求解．【解答】解：若有极值，则有两个不相等实数根，则，则．故选：．12．【答案】【分析】对于选项，先对函数求导，令导数为0求出可能极值点．再根据导数正负判断函数单调性，进而确定极大、极小值点．对于选项，确定与在同一单调区间，通过比较与大小，结合函数单调性判断函数值大小关系．对于选项，通过换元，将范围转化为范围，利用已知单调性求函数值范围．对于选项，依据三次函数对称中心公式求出横坐标，再算出对应函数值，得到对称中心．【解答】解：对于选项，由题意，，令，解得或，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以是极大值点，是极小值点，故正确；对于选项，当时，，，即，在同一个区间内．又在上单调递减，所以当，即时，；当，即时，；当，即时，，故错误；对于选项，令，当时，，由知当时，单调递减，当时，（2），当时，（3），所以当时，，即当时，，故错误；对于选项，为三次函数，故其图象的对称中心为，即，（2），又（2），所以为曲线的对称中心，故正确．故选：．13．【答案】【分析】根据不等式的解集可得方程的根为和（二重根），得，展开，由对应系数相等可得，的值，从而可得判断选项；利用导数判断函数的单调性与极值，即可判断选项，；设出切点坐标，求出切线方程，将原点坐标代入解方程，即可判断选项．【解答】解：由题意，的解集为且，则方程的根为和（二重根），得，即，则有，，则，故正确；由，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以是的极大值点，是的极小值点，故正确，错误；设在点的切线方程为，由切线经过原点，得，即，解得或0，故正确．故选：．14．【答案】【分析】求得，当，得到在定义域上单调递增，无极值，可判定错误；若时，得到函数的单调区间，结合极值的概念，可判定错误；由时，在定义域上单调递增，结合时，，当时，，可判定错误；结合函数的单调性，列出不等式，可判定正确．【解答】解：由函数，可得，若，则恒成立，即在定义域上单调递增，无极值，故错误；若，令，解得；令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，当时，函数取得极大值，所以错误；若，由上知在定义域上单调递增，当时，，当时，，故使得，故错误；若在区间上单调递增，由时，恒成立，满足题意；当时，则满足，即，综上可得，故正确．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】．【分析】将化为多项式函数，然后求出导数，令（2），求出的值，则结果可求．【解答】解：由已知得：，所以，由题意得（2），解得，经检验符合题意，所以．故答案为：．16．【答案】3．【分析】根据导数与函数极值点的关系，即可求解．【解答】解：，因为函数在处取得极大值，所以，，得或，且，当时，，在区间和单调递增，当时，在区间单调递减，所以当时函数取得极大值，即，即．故答案为：3．17．【答案】．【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质求出的范围即可．【解答】解：因为函数，所以，令，由题意得在上2个解，，故，解得：．故答案为：．18．【答案】．【分析】由已知不等式，先分离参数，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解．【解答】解：，，使成立，即使成立，所以在上成立，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故时，取得最小值（2），故．故答案为：．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用导数求得（e），利用函数解析式求得（e），可求切线方程；（2）由题意可得（1），且在处两侧的值异号，进而分，两种情况分类讨论可求得的取值范围．【解答】解：（1）当时，，所以，因为（e），（e），所以切点为，则所求曲线的切线方程为，即．（2）因为，所以其定义域为，且．因为在处取得极大值，所以（1），且在处两侧的值异号．①当时，在上单调递增，而（1），所以在上，，在上单调递减，在上，，在上单调递增，则在处取得极小值，不符合题意．②当时，（ⅰ）若，设，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．因为（1）（1），所以在上，，单调递增，在上，，单调递减，则在处取得极大值，符合题意．（ⅱ）若，，令，则，当时，，即函数在上为减函数，当，，即函数在上为增函数，所以（1），当且仅当时取到等号，所以则在上，为减函数，所以不是极值点，不符合题意．若，，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减．因为（1）（1），所以在上，，单调递减，在上，，单调递增，则函数在处取得极小值，不符合题意．综上，，即的取值范围为．20．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）当时，求出导函数，利用导数的几何意义可得切点横坐标，代入函数解析式可得切点坐标，利用点斜式即可求解切线方程；（2）求出函数的定义域以及导函数，分，和两种情况讨论，分析函数的单调性，根据零点个数即可求解的取值范围．【解答】解：（1）当时，，因为直线的斜率为，所以切线斜率为3，令，解得，则（1），即切点为，所以切线方程为，即；（2）函数的定义域为，，①当时，，函数在单调递减，此时最多一个零点，舍；②当时，令，解得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．由（1）知，当时，取得最小值，最小值为，因为当时，；时，，所以函数有两个零点当且仅当，设，知函数（a）在单调递增．因为（1），（a）的解集为．综上所述，的取值范围是．21．【答案】（1），；（2）极大值为0，无极小值；（3）．【分析】（1）原不等式即为，利用导数求出的最小值后可得参数的取值范围；（2）求出函数的导数，判断其符号后可得函数的极值；（3）求出函数的导数，设，利用局部保号性可求参数的取值范围．【解答】解：（1）当时，，因为当，时，，所以，即，令，则，当，时，，单调递增，所以，所以的取值范围为，．（2）当时，，则，令，则，由，得；由，得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，且时，，，所以当时，，即；当时，，即，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以的极大值为，无极小值．（3）因为，所以，则，令，则，所以，当，即时，存在，使得当，时，，此时即在区间，上单调递减，故当，时，，当时，，所以当时，是的极大值点，不符合题意．当，即时，，，令，得或0，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，故在上，有，所以当时，不是的极值点，不符合题意．当，即时，存在，使得当，时，，此时即在区间，上单调递增，故当，时，，当时，，所以当时，是的极小值点，符合题意．综上，的取值范围为．22．【答案】（1）；（2），．【分析】（1）利用（1）可得答案；（2）利用导数判断出在区间上的单调性可得答案．【解答】解：（1）的定义域为，，因为（1），所以；（2）由（1）知，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极小值（1），又，，所以求在区间的值域为，．23．【答案】（1）；（2），．【分析】（1）