河南省2025年普通高中学生学业水平合格性考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省2025年普通高中学生学业水平合格性考试试题一、选择题（共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A B. C. D.【答案】A【解析】，，故A正确．故选：A．2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选：D.3.某市持续扩大绿色空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从年的增长到年的．设年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为年人均公园绿地面积为，且该市人均公园绿地面积的年平均增长率为，所以年人均公园绿地面积为；年人均公园绿地面积为；年人均公园绿地面积为；年人均公园绿地面积；年人均公园绿地面积为；因为年人均公园绿地面积为，所以.故选：C.4.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函数，且，结合一次函数的图像与性质，可得选项B符合题意.故选：B.5.已知向量满足，且与的夹角为，则（）A.6 B. C. D.12【答案】C【解析】根据题意，.故选：C.6.在正方体中，直线与所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以即为直线与所成角的平面角，在等腰直角三角形中，，所以直线与所成的角的大小为.故选：B.7.一个袋子中有4个球，其中有2个白色球（标号为1和2），2个黑色球（标号为3和4），这4个球除颜色和标号外完全相同，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球颜色相同的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试验的样本空间，所以记“摸出的2个球颜色相同”为事件，则，所以，所以，故摸出的2个球颜色相同的概率为.故选：C.8.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为.因为，但，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.9.已知放射性元素氡的半衰期是3.82天．质量为的氡经过天衰变后，其质量为原来的，则（）A.488.96 B.122.24 C.22.92 D.19.10【答案】C【解析】设放射性元素氡每天的衰减率为，则经过1天后，氡的质量为，则经过2天后，氡的质量为，……则经过天后，氡的质量为，因为放射性元素氡的半衰期是3.82天，所以，即，所以，即，所以经过天后，氡的质量为，因为质量为的氡经过天衰变后，其质量为原来的，所以，即，解得，所以.故选：C.10.平行四边形的两条对角线相交于点，．若用表示，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】是平行四边形，点是对角线交点，，，，故A正确．故选：A．11.若命题“”为真命题，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】命题“”为真命题，即在上恒成立，设，则，因为，则，所以当即时，取得最小值为，所以，所以实数的取值范围为.故选：B.12.已知是函数的零点，则（）A. B. C.0 D.3【答案】A【解析】若，则由，得，不符合题意，故舍去；若，则由，得（正值舍去），故.故选：A.13.若，则下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】对于A：取，显然有，所以A不正确；对于B：取，则，所以B不正确；对于C：因为，由不等式的性质，得，所以C不正确；对于D：由，由不等式的传递性得，故D正确.故选：D.14.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，则这份密码被成功破译的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设甲，乙破译密码分别为事件A，B，则密码不被任何人破译概率为：，从而密码被破译概率为：.故选：B.15.已知函数，给出下列四个结论：①的定义域为；②在上是减函数；③是奇函数；④在上的最小值为2．其中所有正确结论的序号为（）A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④【答案】C【解析】函数的定义域为，故①正确；根据对勾函数的性质，函数在上单调递减，在上单调递增，所以②错误；因为，所以函数是奇函数，故③正确；根据函数的单调性可知，在上，函数的最小值为，故④正确.故选：C.二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）16.已知向量，，且，则______．【答案】3【解析】根据题意，向量，，若，则，解得.故答案为：317.已知，则__________.【答案】或【解析】.故答案为：.18.设长方体的长、宽、高分别为3，4，5，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为__________．【答案】【解析】设长方体外接球的直径为，则根据勾股定理可得.所以长方体外接球的半径为.所以长方体外接球的表面积为.故答案为：.19.在中，内角的对边分别为，若，则__________．【答案】2【解析】在中，由余弦定理得，得，整理得，解得或（舍去）.所以.故答案：220.已知函数，其中，若的图象经过点，则__________．【答案】【解析】由函数的图象经过点，可得，即，可得，因为，所以，所以，可得故答案为：.三、解答题（共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21.已知．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）已知，则．又，所以．（2）．22.为全面落实“健康第一”教育理念，引导学生养成良好锻炼习惯和健康生活方式，某所大学依据《国家学生体质健康标准》对录取的新生进行体质健康监测，依据各单项评分和指标权重得出每名学生的体质健康综合指标评分．现从这所大学新生中随机抽取200名学生，将他们的综合指标评分数据分成5组：，，画出了如图所示的频率分布直方图．（1）求的值；（2）估计这所大学新生体质健康综合指标评分众数和平均数．解：（1）（1）根据频率分布直方图的性质，所有矩形的面积之和为1，已知组距为10，所以，即，解得,所以.（2）其中最高矩形对应区间[70,80)，该区间的中点为，因此众数为.平均数：，所以平均数为.23.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，分别为的中点．（1）求证：平面；（