河南省九师联盟2025-2026学年高二上学期1月质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省九师联盟2025-2026学年高二上学期1月质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】直线的斜率，∴.故选：C.2.小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤，如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套，则小李同学不同的搭配种数为（）A.5 B.6 C.8 D.9【答案】B【解析】先选羽绒服有3种情况，再选棉裤有2种情况，根据分步乘法计数原理，共有搭配种数．故选:B．3.已知拋物线的焦点是，点在抛物线上，则（）A. B. C.5 D.3【答案】C【解析】因为拋物线的焦点是，所以，因为点在抛物线上，所以．故选：C．4.已知随机变量X的方差为，则（）A.18 B.17 C.6 D.5【答案】A【解析】因为，所以.故选：A．5.若过点且斜率为1的直线l被圆所截得的弦长为，则实数a的值为（）A.0 B.4 C.0或 D.0或4【答案】D【解析】因为直线l过点且斜率为1，所以直线l的方程为，即.直线l被圆所截得的弦长为，所以圆心到直线l的距离，化简得，解得或．故选：D．6.如图，正四面体中，为的中点，点在上，且，则两点之间的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，，，，，为中点，，．，根据题意知道，同理，代入上面式子，.故选：C．7.某不透明的袋子中有2张蓝色卡片，3张红色卡片，现抛掷一枚四个面分别标有1，2，3，4的正四面体，记录朝下一面的点数，掷出几点就从袋中取出几张卡片，取出的卡片全是红色的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记“抛掷一枚四个面分别标有1，2，3，4的正四面体，朝下的一面为点”为事件.记“取出的卡片全是红色”为事件B..则.故选：C.8.设一组曲线，若存在两条曲线，其交点与，满足，则满足条件的所有有序数对的个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】由题意，曲线的方程分别为、，故，且，且，且.联立方程组解得由且，得，又因为，所以点在以为直径的圆上，故，所以，解得，所以有序数对可以为：，共6个．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则（）A.为直角三角形B.为等腰三角形C.的外接圆方程为D.的重心位于直线上【答案】ABC【解析】因为，所以，则是以为直角顶点的直角三角形，故A正确；因为两点间的距离公式计算得到，所以是等腰三角形，故B正确；由知的外接圆是以线段为直径的圆，其圆心为，半径，所以外接圆方程为，故C正确；的重心坐标为，即，显然不在直线上，故D错误．故选：ABC．10.已知，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】的展开式的通项为.令，得对于A，令，得，所以A错误.对于B，令，得，所以，所以B正确.对于C，由通项可知，为奇数时，对应项的系数为负数，即均小于零；为偶数时，对应项的系数为正数，即均大于零.所以.令，得.所以，所以C正确.对于D，令，得由通项，令，得.所以，所以D错误.故选：BC.11.如图1所示，矩形CDFE中，，A，B分别为DF，CE的中点，现沿AB折起，使得半平面ABCD和半平面ABEF所成的二面角为，M，N分别是AC，BF的中点，如图2所示，则（）A.B.C.直线FM和CN所成角的余弦值为D.MN与平面ABEF所成的角为【答案】ABD【解析】由题意知，因为，所以．以点B为原点，所在直线分别为轴，过B点且垂直于平面ABEF的直线为z轴建立空间直角坐标系．因为，，所以，，，所以，，故A正确；因为，所以，故B正确；因为，所以，所以直线和所成角的余弦值为，故C错误；取平面的一个法向量为，设与平面所成的角为，则，因为，所以，故D正确.故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设，若，则实数k的值为________．【答案】6【解析】由题可知，.因为，所以，所以，解得．故答案为：.13.若圆与圆恰有一个公共点，则值为______．【答案】或6【解析】圆，该圆的圆心坐标为，半径（）.而圆的圆心坐标为，半径.根据两点间距离公式，两圆的圆心距.因为两圆恰有一个公共点，所以两圆内切或外切.当两圆外切时，，可得，解得；当两圆内切时，，可得.当时，解得.当时，（不成立，因为算术平方根是非负的）.故的值为或.故答案为：或.14.已知双曲线的两条渐近线将双曲线所在平面分为上，下，左，右4个部分（不含渐近线上的点），若位于上部分，不位于下部分，则的离心率的取值范围为______．【答案】【解析】双曲线的两条渐近线方程为，因为位于上部分，不位于下部分，而，故得，则离心率．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某校高二年级数学课外兴趣小组共有学生15人，其中一、二、三班分别为4人、5人、6人．（1）若安排这3个班级选择星期一到星期五中的3天打扫活动室，每个班级安排一次，要求周五必须打扫，则不同的安排方案有多少种？（2）若从这15人中选出2人担任正、副班长，要求这2人来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：（1）从星期一到星期四这4天中选择2天有种选法，再安排3个班级打扫卫生有种不同的方案；（2）从一、二班学生中各选1人，有种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有种不同的选法，所以不同的选法共有：（种），再安排他们的职位有种不同的选法．16.已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，．（1）证明：的纵坐标之积为定值；（2）若，求此时直线的方程．（1）证明：若直线的斜率为0，则直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾，故直线的斜率不为0，抛物线的焦点为，设直线，由消去，得，所以，即的纵坐标之积为定值．（2）解：由（1）可知，，若，则，即，所以，即，即解得，所以直线的方程为即．17.某企业招聘方式分笔试、面试两个环节进行，先进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这两个环节能否通过相互独立．现有甲、乙、丙三名大学生参加了该企业的招聘，假设甲通过笔试、面试的概率分别为，；乙、丙通过笔试的概率均为，通过面试的概率均为．（1）求甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率；（2）为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，该企业决定给报名参加应聘的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：参与环节笔试面试补贴（元）100150记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望．解：（1）设事件表示“甲被该企业正式录取”，事件表示“乙被该企业正式录取”，事件表示“丙被该企业正式录取”.则由题可知.事件D表示“甲、乙、丙三人都没有被该企业正式录取”，则，所以甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率．（2）X的所有可能取值为，对应事件分别为“三人均未通过笔试”，“三人中恰有一人通过笔试”，“三人中恰有两人通过笔试”，“三人均通过笔试”.，，，．所以X的分布列为X300450600750P数学期望．18.如图，设四棱锥的底面为正方形，，，，．（1）证明：．（2）若，求点C到平面的距离．（1）证明：因为四棱锥的底面为正方形，所以．在中，设，由余弦定理得，解得，所以，．因为，所以．又，平面，所以平面．又因为平面，所以．（2）解：以D为坐标原点，分别为轴，过D且垂直于平面的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．设，则，所以．因为，，所以，所以．因为，所以，解得，所以．则，又，所以，所以．又，所以，所以平面即平面，设平面的法向量为，则，得，取，则，设点C到平面距离为d，因为，所以，即点C到平面的距离为．19.设椭圆的离心率为，且过点，左、右焦点分别为．（1）求C的方程；（2）若直线与C交于不同的M，N两点，证明：直线和的倾斜角互补．（3）点A为C上动点（不与C的左、右顶点重合），点D在线段上，且和的内切圆面积相等，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．（1）解：设，又因为，所以，又