黑龙江省鸡西市鸡冠区2026届高三上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省鸡西市鸡冠区2026届高三上学期1月期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为集合，，所以．故选：B．2.若复数，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，的虚部为.故选：A.3.已知幂函数的定义域为，则（）A.0 B.2 C.3 D.1【答案】C【解析】由题意，解得或，当时，的定义域为，符合题意，当时，的定义域不为，不符合题意，综上，.故选：C.4.在中，点D为边上一点，且，设，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以，则．故选：B．5.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为可得：当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A.6.观星台是我国现存最古老的天文台，包含观星台在内的登封“天地之中”历史建筑群已被列为世界文化遗产.已知观星台台体一部分可以看作一个正四棱台，台高米，台下正四边形边长米多，台上正四边形边长约为台下正四边形边长之半，则该四棱台的体积可能为（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】D【解析】设正四棱台的下底面边长为，高为，则上底面边长近似为，，；所以正四棱台的体积，解得.故选：D.7.已知函数，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的定义域为，因为，所以为偶函数，，令，则，当且仅当，即时等号成立，所以，故在上单调递增，又，所以时，，即，所以在上单调递增；所以不等式，所以，或.解得.即实数的取值范围是.故选：B.8.已知，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因，设，则，由可得，则有，当且仅当，即时，等号成立，即得，解得，即的最小值为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列为等差数列，为其前n项和，，，则（）A. B.为单调递增数列C.使的n的最小值为18 D.当且仅当时，最小【答案】BC【解析】对于A：在等差数列中，，，所以，解得，则，故A错误；对于B：，则，所以为单调递增数列，故B正确；对于C：，由，即，解得，所以的n的最小值为18，故C正确；对于D：的对称轴为，开口方向向上，因为为正整数，所以当或9时，取得最小值，故D错误.故选：BC.10.已知向量是平面的一个法向量，是空间直角坐标系Oxyz的坐标原点，两点的坐标分别为，，且点在平面内，则（）A.B.直线与平面平行C.直线与平面所成角的正弦值为D.点到平面的距离为【答案】ACD【解析】对于A：因为两点的坐标分别为，，所以，故A正确；对于B：由题意知，平面的一个法向量为，则，故和不垂直，所以直线与平面不平行，故B错误；对于C：设直线与平面所成角为，因为，平面的一个法向量为，所以，故C正确；对于D：由题意知两点的坐标分别为，，则，平面的一个法向量为，由空间中点到面的距离公式可得到平面的距离,故D正确，故选：.11.设均是定义在上的函数，且，则下列说法正确的是（）A.若是偶函数，则的图象关于直线对称B.若是最小正周期为1的函数，则是最小正周期为3的函数C.若是偶函数，则的图象关于直线对称D.若是奇函数，则【答案】BCD【解析】对于A，因为是偶函数，所以，所以，即的图象关于直线对称，故A错误；对于B，因为是最小正周期为1的函数，所以是最小正周期为1的函数，设的最小正周期为，由，得，故B正确；对于C，由，得，又是偶函数，所以，所以，则的图象关于直线对称，故C正确；对于D，由C项可知，，因为是奇函数，所以，即，则，所以，因此的图象关于点对称，且，所以，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.平面向量，，若，则________.【答案】【解析】由，得，解得.则，；故答案为：.13.若，，则___________.【答案】【解析】因为，，所以，所以，所以，所以或，因为，所以，故，所以，故答案为：.14.已知函数，若存在实数，使得成立，则实数_____．【答案】【解析】令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，故当时，，由，当且仅当，即时，等号成立，故，当且仅当两个不等式等号同时成立时，即等号成立，得故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求；（2）设函数，求的单调区间．解：（1）因为函数，且，所以，又，所以.（2）由（1）知：，所以，所以.令，显然是增函数.因为当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.所以当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.所以函数的单调递增区间为：，单调递减减区间为：.16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求的值；（2）若，求AD的长．解：（1）在中，由及正弦定理，得，即，因此，所以.（2）由，得，则，即，两边平方得，由（1）知，又，则，又，因此，解得，所以AD的长为.17.已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）在中，令，得，解得.由，得，两式相减，得，即.所以数列是首项为2，公比为4的等比数列，所以.（2）由，得，所以.18.如图，在梯形中，E是中点，，，，连接，将沿折起使A点至P点处，得四棱锥，且，点M为棱上的一点．（1）若O是的中点，求证：平面；（2）若直线与直线所成的角为，求的值；（3）若M是的中点，求二面角的正弦值．（1）证明：因为在梯形中，E是中点，，，，所以四边形是正方形，，，将沿折起使A点至P点处，有，，因为，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，因为，O是中点，所以，又平面，平面平面，所以平面．（2）解：以O为坐标原点，，所在直线分别为y轴，z轴，以过O与平行的直线为x轴，建立如图所示的空间坐标系．由（1）可得，则，，，，，．，，，设，有，因为直线与直线所成的角为，所以，所以，所以，又，所以，所以．（3）解：由（2）知，，的中点，，设平面的法向量为，则，取，则．同理可求得平面的一个法向量，，又二面角的范围是，故二面角的正弦值．19.已知函数，，是自然对数的底数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的零点的个数；（3）若函数恰有两个极值点，，证明：且.（1）解：当时，，，，故曲线在点处的切线方程为.（2）解：令，即，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当当时，，单调递减，则极大值，极小值，且由指数函数与幂函数增长速度可得，当趋于时，趋于，当趋于时，趋于，则作出图像如下：则当时，没有零点；当时，有1个零点；当时，有3个零点；当时，有2个零点；当时，有1个零点.（3）证明：，要使由两个极值点，则至少有两个零点.当时，只有1个零点，不符合题意；当时，，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，则极大