黑龙江省牡丹江市名校协作体2025-2026学年高二上学期1月期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省牡丹江市名校协作体2025-2026学年高二上学期1月期末联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果函数在处的导数为1，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】因为函数在处的导数为1，所以，故选：C.2.数列的通项公式为，为其前项和，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，因为，所以解得，所以数列的前3项为负，第四项起为正，的最小值为.故选：B.3.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，定义域为，，令，解得，故函数的单调递减区间是.故选：C.4.已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则（）A.1 B.2 C.3 D.4.【答案】D【解析】由等差数列的性质得，所以，，故选：D.5.设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】由，可得，所以曲线在处的切线方程是，令得，所以.故选：A．6.2026年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1幅，否则不能获得春联.若某天符合条件的顾客共有1000人，则恰好获得1幅春联的人数为（）A.83 B.84 C.85 D.86【答案】B【解析】将能被3除余1且被4除余1的正整数从小到大排列所得的数列记为，则既是3的倍数也是4的倍数，所以是12的倍数，即数列是首项为0，公差为12的等差数列，所以，即，令，解得，又因为，且，所以，即共有84人获得1幅春联.故选：B.7.已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，，则，因为，所以，所以在上单调递减，所以等价于，即，所以，即不等式的解集为．故选：A．8.若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不等式可变形为，即在上恒成立，令，易得在上恒成立，所以函数在上单调递增，即在上恒成立，即在上恒成立，也即在上恒成立，所以，令，则，由，解得；由，解得；所以在单调递增，单调递减，所以，即，故实数的取值范围是．故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断不正确的是（）A.函数有四个极值点 B.为的极大值点C.函数在上单调递增 D.函数在上单调递减【答案】ABC【解析】对于A：图象在处左正右负、在处左负右正、在处左正右负，所以函数共有三个极值点，A错误；对于B：由极值点定义可知是的极大值点，B错误；对于C：由图象，在为负，在为正，所以在单调递减，在单调递增，C错误；对于D：由图象，在为负，所以在单调递减，D正确；故选：ABC.10.已知数列是首项为2的等比数列，其前项和为，若，则（）A. B.C.， D.【答案】BC【解析】设公比为，根据题意有，所以或，当时，，，当时，，故A错误，B正确；当时，，，当时，，，所以，，故C正确；当时，，故D错误.故选：BC.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A函数有极小值B.函数在处切线的斜率为4C.当时，恰有三个实根D.若时，，则的最小值为2【答案】AD【解析】由题意可得：，令，解得；令，解得或；则在上单调递减，在上单调递增，可知的极大值为，极小值为，且当x趋近于，趋近于，当x趋近于，趋近于，可得的图象如下：对于选项A：可知的极小值为，故A正确；对于选项B：因为，所以函数在处切线的斜率为，故B错误；对于选项C：对于方程根的个数，等价于函数与的交点个数，由图象可知：时，恰有三个实根，故C错误；对于选项D：若时，，则，所以的最小值为2，故D正确；故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数在处取得极小值，则__________．【答案】【解析】由，又函数在处取得极小值，则，解得，或，当时，，令，则，或，当时，，当时，，则处取得极小值，故时符合题意；当时，，令，则，或，当时，，当时，，则处取得极大值，故时不符合题意.故答案为：.13.在等比数列中，，，则.【答案】【解析】设，则，所以.故答案为：.14.已知函数.若函数对，使成立，则实数a的取值范围是________.【答案】【解析】对，使得等价于：当时，，因为在上单调递增，所以，而，由，得，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，，由，得，所以实数的取值范围为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极值．解：（1）由题意可知，定义域为.因为，所以令即，解得，令即，解得或，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和.（2）由（1）可知，当变化时，的变化情况如下表：00递增极大值递减极小值递增所以的极小值为，极大值为.16.设等差数列的前项和为．（1）求的通项公式；（2）求；（3）求数列的前项和．解：（1）设等差数列的公差为，且所以，所以，所以；（2）.（3）因为，所以.17.已知等比数列的前n项和为，且.（1）求数列通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意知当时，①，当时，②，联立①②，解得，；所以数列的通项公式.（2）由（1）知，，所以，可得；设数列中存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则，所以，即；又因为，，成等差数列，所以，所以，化简得，即；又，所以与已知矛盾；所以在数列中不存在3项，，成等比数列.18.已知函数.（1）讨论函数单调性；（2）若函数在区间上的最大值为2，求实数的值.解：（1）函数的定义域为，当，即时，在区间上恒成立，所以函数在区间上单调递减；当，即时，，所以函数在区间上单调递增；时，，所以函数在区间上单调递减；当，即时，，所以函数在区间上单调递增；时，，所以函数在区间上单调递减；当，即时，，所以函数在区间上单调递增，，，所以函数在区间上单调递减.综上，当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，函数在区间上单调递减；当时，函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减.（2）由（1）可知，当时，在区间上单调递减，所以在上的最大值为，解得，不合题意；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以在上的最大值为，整理得，即，所以，符合题意，综上可知，函数在区间上的最大值为2时，实数的值为.19.已知正项数列的前项和为满足，数列满足且.（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通