黑龙江省齐齐哈尔市2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省齐齐哈尔市2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.采用简单随机抽样的方法，从含有3个个体的总体中抽取1个，某个个体被抽到的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由随机抽样的性质可知，每个个体被抽到的概率均等，概率均为.故选：B.2.椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，得，，，所以，，离心率.故选：C.3.若直线和互相垂直，则a的值是（）A.0 B.2 C.0或 D.0或2【答案】B【解析】若直线和互相垂直，则，解得.故选：B.4.展开式中的系数为（）A.5 B.15 C.20 D.35【答案】A【解析】展开式的通项为，所以展开式中的系数为5.故选：A.5.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（）A.抛物线 B.双曲线的一支 C.椭圆 D.圆【答案】C【解析】如图，设动圆的圆心为，半径为，由题意得圆：，圆：，则，，，所以，所以点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆（除去点）.故选：C.6.2025年11月9日至21日，第十五届全运会在广东、香港、澳门三地举办.在全运会的火炬传递中，某路段的传递活动由，，，，，共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从，中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且，两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为（）A.54 B.60 C.102 D.114【答案】D【解析】当火炬手完成第一棒时，有种不同的传递方案；当火炬手完成第一棒时，有种不同传递方案，故共有种不同的传递方案.故选：D.7.已知双曲线的右焦点为，过的直线交于两点，点在第二象限，且关于轴的对称点为，若，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意知（为原点），，故直线的斜率为，所以的方程为，即.故选：A.8.某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设男性中有购买了新能源车，则，解得，所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（）A.直线的斜率是负数B.变量与变量正相关C.相关系数D.若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大【答案】AC【解析】对于A、B、C：由图可知直线的斜率是负数，所以变量与变量负相关，相关系数，故A、C正确，B错误；对于D：若去掉图中点后，剩余的数据会更集中，相关程度会更高，相关系数的绝对值变大，又，所以相关系数变小，故D错误.故选：AC.10.在一次比赛中，10位评委分别给某运动员打分，整理之后的得分数据满足，按照规则，要去掉一个最低分和一个最高分，然后再取平均分为该运动员的最终得分，则处理后的数据与原数据相比（）A极差变小 B.中位数不变C.平均数变高 D.第75百分位数变小【答案】ABD【解析】已知比赛数据满足，则原数据从小到大排序为：，处理后数据从小到大排序为：.原数据极差：，处理后数据极差：，因为，所以，A正确.原数据共10个，中位数为第5个和第6个平均值，即，处理后数据共8个，中位数为第4个和第5个的平均值，即，所以中位数不变，B正确.原数据平均数：，处理后数据平均数：，平均数变化情况取决于与之间的关系，故不能确定变化情况，C错误.原数据共10个，第75百分位数是第8个，即，处理后数据共8个，第75百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数，即，因为，所以，第75百分位数变小，D正确.故选：ABD.11.已知抛物线的焦点为，过的直线与交于、两点，，为坐标原点，则（）A.的准线方程为 B.C.的最小值为 D.的面积的最小值为【答案】BC【解析】由题意知，抛物线的焦点为，准线方程为，故A错误；若直线与轴重合，则该直线与抛物线有且只有一个交点，不符合题意，设的方程为，、，由得，，所以，，所以，所以，故B正确；分别过、作的准线的垂线，垂足分别为、，则，当且仅当、、三点共线时等号成立，此时，故C正确；的面积，当时，的面积取得最小值，故D错误．故选：BC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知事件与互斥，且，，则___________．【答案】【解析】由题意可知.故答案为：.13.已知随机变量，随机变量，则________.【答案】【解析】因为，所以，故.故答案为：.14.已知圆，，，A，B是圆C上的动点，且，点N是线段AB的中点，则当取得最大值时，的值为______．【答案】【解析】由题意得，，圆半径为.∵，，∴点在圆内.如图1，连接CN，CA，则.∵点N是线段AB的中点，∴，∵，∴，即．设，则，整理得，∴点N在圆上，圆心，圆半径为.如图2，当直线MN与圆相切时，取得最大值，此时，．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）求焦点关于准线的对称点为的抛物线的标准方程；（2）求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程.解：（1）由题意知在轴的正半轴上，故设所求抛物线方程为，所以，准线方程为，因为关于直线的对称点为，所以，解得，故所求抛物线的标准方程为.（2）设所求双曲线的方程为，将点代入上述方程，得，所以，所以，故所求双曲线的方程为.16.据文化和旅游部5月6日公布2025年“五一”假期全国国内出游人次为3.14亿，总花费为1802.69亿元.在假期出游的人群中，有跟团游，也有自由行等不同的旅游方式.为了解年龄因素是否影响旅游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于17岁，小于45岁）和中老年组（大于或等于45岁）.现从市随机抽取200名成年人进行调查，得到数据如下表:青壮年中老年合计跟团游306090自由行6545110合计95105200（1）依据小概率值的独立性检验，分析年龄与选择旅游方式是否有关联；（2）用分层随机抽样方法从跟团游中抽取9人，再从9人中随机抽取5人，用随机变量表示5人中青壮年人数与中老年人数之差的绝对值，求的分布列和数学期望.附:.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828解：（1）零假设:年龄与选择旅游方式无关联.根据列联表，得，依据的独立性检验，可以推断不成立，即认为年龄与选择旅游方式有关联.（2）用分层随机抽样的方法在青壮年组抽取人数为，在中老年组抽取的人数为，随机变量的可能取值为1，3，5，，，，故的分布列为:135所以.17.已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点．（1）求点的轨迹方程；（2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程．解：（1）设点、，因为点是线段的中点，则，所以，因为点在圆上，则，即，化简得，故点的轨迹方程为.（2）由（1）可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆，由勾股定理可知，圆心到直线的距离为.若轴，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意；若直线斜率存在，设直线的方程为，即，由题意可得，解得，此时直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.18.某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案．方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金．方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金．（1）游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为元，求；（2）游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为元，求的分布列；（3）试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算．解：（1），即两次都抽到20元的红包，或1次抽到10元的红包，1次抽到20元的红包，每次抽到任意红包的概率均为，所以．（2）由题意得的可能取值为0，10，20，30，40，50，60，，，，，所以的分布列为：0102030405060（3）通过景点购票，由（2）得，的可能取值为0，10，20，30，40，，，，所以，故，所以游客选择网上购票更划算.19.已知椭圆的长轴长为4，左､右焦点分别为是上一点，且.（1）求的方程；（2）过作直线交于两点（在轴上方）.（i）求面积的最大值；（ii）若的右顶点为，直线与轴分别交于两点，证明：四点共圆.（1）解：因为椭圆的长轴长为4，所以，解