黑龙江省五校联盟2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省五校联盟2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为的斜率为，所以的倾斜角为．故选：A.2.在空间直角坐标系中，点到轴的距离为（）A.2 B. C.1 D.4【答案】B【解析】点到轴的距离为.故选：B.3.若构成空间一个基底，则下列向量不共面的是（）A.，， B.，， C.，， D.，，【答案】B【解析】对于A，因为，所以，，共面，故A错误；对于B，假设，，共面，则存在实数，使得，，矛盾，即假设不成立，所以，，不共面，故B正确；对于C，因为，所以，，共面，故C错误；对于D，因为，所以，，共面，故D错误．故选：B．4.双曲线的一条渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】双曲线实半轴长，虚半轴长，且焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为，即，则C正确，ABD错误.故选：C.5.若数列满足，，则（）A.-3 B. C. D.2【答案】D【解析】由题可知：，，，，所以数列是周期为4的数列，所以，故选：D.6.某体育场一角看台的座位共有十一排，从第一排到第十一排的座位数成等差数列，且前两排的座位数与后两排的座位数之和为80，则第六排的座位数为（）A.16 B.18 C.20 D.22【答案】C【解析】假设从第一排到第十一排的座位数成等差数列，则，所以，得．故选：C.7.已知直线：及抛物线上一动点，记到的距离为，则的最小值为（）A. B.2 C.4 D.【答案】B【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离，即，所以，因为当时，最小，所以，故的最小值是.故选：B.8.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详析九章算法》一书中，记载了如图所示的数表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前35项和为（）A.996 B.995 C.1014 D.1024【答案】B【解析】杨辉三角第行有个数，且数字之和为，去除两端1后，第行剩余个数.第2行去掉1后无数字，第3行去掉1后剩余1个数字，第4行去掉1后剩余2个数字，，第行去掉1后剩余个数字；那么，当时，，即前9行去掉1后有28个数.所以此数列的前35项应包含第10行前7个数字.杨辉三角前行和为，前9行和为，而前9行中两端的1共有（第1行1个，后面8行各2个）.第10行数字为1，9，36，84，126，126，84，36，9，1，去除首尾的1后为9，36，84，126，126，84，36，9，前7个数字和为.所以此数列的前35项和为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，直三棱柱的所有棱长均为1，E，F分别为的中点，则（）A.B.C.在平面上的投影向量的模长为D.在上的投影向量为【答案】AC【解析】，A正确；，B错误；过作，垂足为，易知，根据直三棱柱的性质可知，因为平面，所以平面，过作，垂足为，易知，同理可得平面，即在平面上的投影向量为，，C正确；过作，垂足为，易知，过作，垂足为，易知，即在上的投影向量为，D错误.故选：AC10.已知直线：，直线：，则下列选项正确的是（）A.直线过定点 B.直线在轴上的截距为11C.若，则 D.若，则【答案】AC【解析】对于A，直线：，整理得，令，解得：，直线过定点，故A正确；对于B，直线：在轴上的截距，令代入：得：，解得，直线在轴上的截距为-11，故B错误；对于C，直线：，直线：，，，解得：，故C正确；对于D，直线：，直线：，，解得：，故D错误.故选：AC.11.已知数列的前项和为，，且，则（）A. B.是等比数列C.数列的前100项和为5050 D.【答案】ACD【解析】由，得，则，所以，所以是首项为，公比为3的等比数列．由，得，A选项，，，所以，A正确；B选项，因为，不是常数，所以不是等比数列，B错误；C选项，因为，所以是等差数列，所以的前100项和为5050，C正确；D选项，由，得，得，所以（当且仅当时，等号成立）．故，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.椭圆的短轴长为________.【答案】【解析】化成标准方程为：，所以，所以该椭圆的短轴长为；故答案为：13.直线：与圆：相交于点，，则______.过轴上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为_______.【答案】①②.【解析】圆的方程为：，圆心，半径，圆心，到直线：的距离为：，.由切线性质,，要使最小，需要最小，点在轴上，设，，当时，取最小值3，.故答案为：，.14.在数列和中，，，且不等式对任意恒成立，则的取值范围为________．【答案】【解析】设，则．易得函数为增函数．由，，得，，所以，故的取值范围为．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在等差数列中，，．（1）求的通项公式；（2）若为正项等比数列，且，，求．解：（1）设的公差为．由得所以.（2）设的公比为．由得（舍去），．所以．16.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，，，分别为棱，的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）∵侧面底面，侧面底面，，底面，∵底面，，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴异面直线与所成角的余弦值为．（2）由（1）得，．设平面的法向量为，则令，则，，得平面的法向量为．易得平面的一个法向量为，∴平面与平面夹角的余弦值为．17.在数列中，．（1）求的通项公式．（2）若数列的前项和为，证明：．（3）若，求数列的前项和．（1）解：当时，，得．当时，，，两式相减得，则．当时，符合上式，所以．（2）证明：由（1）得，所以，故．（3）解：由（1）得，则，，所以，所以．18.在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知经过点的直线与交于，两点，且；（i）求直线的方程；（ii）若经过点的直线（与不重合）与交于，两点，且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上.（1）解：因为直线和之间的距离为1，所以点到直线的距离与到点的距离相等，由抛物线的定义可得动点的轨迹是以点为焦点的抛物线，设曲线的方程为，得，得，故曲线的方程为;（2）（i）解：设，，的方程为，由，消去得，所以，.因为，所以，即直线的方程为.（ii）证明：由抛物线的对称性，不妨令点在轴上方，由（i）知，，，设的方程为，，，，由，消去得，所以，.直线的斜率，方程为，直线的斜率，方程为由，消去得，整理得，因此点的横坐标恒为，所以点在定直线上.19.已知椭圆：的离心率为，焦点与短轴端点围成的四边形的面积为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线过椭圆的左焦点，且与椭圆分别交于，两点.试问轴上是否存在定点