沪教版上海八年级下册数学预习复习必会知识点提纲

沪教版（上海）八年级下册数学预习复习必会知识点提纲

知识梳理一：一次函数

【要点梳理】

知识点一：一次函数的概念

1、一般的解析式形如：y=kx+b（k/是常数，且左H0）的函数叫做一次函

数。

2、一次函数的定义域是一切实数。

3、当8=0时，解析式y=就成为y=是常数，且左H0）,这时y是X

的正比例函数。

4、一般的，我们把函数y=c（c为常数）叫做常值函数。它的自变量由所讨论

的问题决定。

知识点二：一次函数的图像与性质

1、一般地，一次函数y=（k,匕是常数，且kwO）的图像是一条直线

2、一般地，直线y=履+人（k。（））与y轴的交点坐标是（0,b）»y-kx+b

（Z/0）的截距是b。

3、一般地，一次函数丁=履+）（bwO）的图像可由正比例函数y=的图像平

移得到。当匕>0时，向上平移。个单位；当匕<0时，向下平移问个单位。如果

b,b2,那么直线y=Zx+4与直线y=上尤+坊平行。反过来，如果，直线

y=攵/+4与直线y=&x+b2平行，那么占=1<2，^b2o

4、由一次函数y=履+匕的函数值y>0（或y<0）,就得到关于x的一元一次

不等式Qc+Z?>0（或Zx+Z?<0）,在一次函数y=入+人的图像上且位于x轴上

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方（或下方）的所有点，他们的横坐标的取值范围就是不等式Zx+b>0（或

kx+b<0）的解集。

5、一般来说，一次函数y=（k力为常数,且左H0）具有以下性质：

。、当%>0时，函数值y随自变量x的值增大而增大；

。、当％<0时，函数值y随自变量x的值增大而减小。

6、正比例函数是特殊的一次函数，它的性质与一次函数的性质是一致的。

7、直线y=入+8（左）过点（0,。）且与直线y=日平行。由直线y=kx

在直角坐标平面内的位置情况可知：

。、当女>（）,且人>0时，直线丁=入+人经过第一、二、三象限；

。、当女>0,且b<0时，直线y=&x+b经过第一、三、四象限；

c、当％<0,且b>0时，直线y=依+人经过第一、二、四象限；

d、当k<0,且b<0时，直线丁=入+。经过第二、三、四象限。

把上述判断反过来叙述也是正确的

【知识梳理二】代数方程

一：整式方程：

【要点梳理】

要点一、一元整式方程

1.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,

这个方程叫做一元整式方程;

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2.一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是〃（〃是正整数），这

个方程叫做一元〃次方程.

3.一元高次方程

概念：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是“，若次数〃是大于2的正

整数，这样的方程统称为一元高次方程。

要点诠释：

一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于

2次.

要点二、二项方程

1.概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么

这样的方程就叫做二项方程.

要点诠释：

注：①ax"=O（aWO）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次

数不超过6次.

2.一般形式：ax"+匕=0（。w0/70,〃是正整数）

3.二项方程的基本方法:是（开方）

4.解的情况：

当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，％=栏；

当n为偶数时，如果ab<0,那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；

如果ab〉O,那么方程没有实数根.

要点三、双二次方程

L概念：只含有偶数次项的一元四次方程.

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要点诠释：

当常数项不是。时，规定它的次数为0.

2.一般形式：ax4+hx2+c=0（aH0）

3.解题的一般步骤：换元一一解一元二次方程一一回代

4.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一

元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了

“降次”的策略。

要点诠释：

解高于一次的方程，基本思想就是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分

解的方法降次。用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一

边可以因式分解。

二：分式方程：

【要点梳理】

要点一、分式方程

分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母

中含有未知数.

（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母

系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整

式方程.

（3）分式方程和整式方程看联系：分式方程可以转化为整式方程.

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要点二、分式方程的解法

1、解分式的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘

以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母

为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解

分式方程时必须验根.

2、解分式方程的一般步骤：

（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是

多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；

（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；

（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0,则这个解是

原分式方程的解，若最简公分母等于0,则这个解不是原分式方程的解，原分

式方程无解.

要点诠释：1、熟练掌握用“去分母”法求解分式方程的方法.

2、了解用“换元法”解特殊的分式方程（组）.

3、领会分式方程“整式化”的化归思想和方法.

要点三、解分式方程产生增根的原因

方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.

产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘最简公分母是含有字母的式子，这

个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来

说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.

要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的

同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程

的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0,那么所得方程与原方程不是同解

方程，这时求得的根就是原方程的增根.

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（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过

程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的

前提下进行的.

三：无理方程

【要点梳理】

要点一、无理方程

方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方

程.

要点诠释：

简单说，根号下含有未知数的方程，就是无理方程.

要点二、有理方程

整式方程和分式方程统称为有理方程.

要点三、代数方程

有理方程和无理方程统称为代数方程.

要点诠释：

代数方程的共同点是：其中对未知数所涉及的运算是加、减、乘、除、乘

方、开方等基本运算.

要点四'解无理方程的一般步骤

L含有一个根式（根式内有未知数的）的无理方程的解题步骤：

①移项，使方程左边是含未知数的根式，其余都移到另一边；

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②两边同时乘方（若二次根式就平方，三次根式就立方）得整式方程;

③解整式方程；

④验根；

⑤写答案.

要点诠释：

解简单无理方程的一般步骤，用流程图表示为:

2.含有两个根式（根式内含有未知数）的无理方程的解题步骤：

①移项，使方程等式的左边只含一个根式，其余移到另一边;

②两边同时平方，得到只含有一个根式的无理方程；

以下与1步骤相同.

要点诠释：

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解无理方程的关键在于把它转化为有理方程，转化的基本方法是对方程两边同

时乘方从而去掉根号，对于简单的无理方程，可通过“方程两边平方”来实

施。

要点五、代数方程分类

整式方程

’有理方程｛

J1分式方程

代数方程

无理方程

四：二元二次方程和二元二次方程组

【要点梳理】

要点一、二元二次方程

1.定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,

叫做二元二次方程.

要点诠释：

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f^o（外&c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少

有一个不为零），其中依2,g,c）2叫做这个方程的二次项，4b、c分别叫做二

次项系数，为;,缈叫做这个方程的一次项，d、e分别叫做一次项系数，f叫做这

个方程的常数项.

2.二元二次方程的解

能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程

的解.

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要点诠释：

二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况.

要点二、二元二次方程组

1.概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最

高次数为2,这样的方程组叫做二元二次方程组.

要点诠释：

不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元

一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组.

2.二元二次方程组的解：

方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解.

要点三、二元二次方程组的解法

1.代入消元法

代入消元法解“二•一”型二元二次方程组的一般步骤：

①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；

②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；

③解这个一元二次方程，求得未知数的值；

④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；

⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解;

⑥写出原方程组的解.

要点诠释：

(1)解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二•一”型方程组;

(2)“二•一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误.

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2、因式分解法

（1）当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二

元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二•一”型方程组，解得这

两个“二•一”型方程组，所得的解都是原方程组的解.

（2）当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将

第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方

程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方

程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.

要点四、方程（组）的应用

应用二元二次方程组解应用题的一般步骤：

（1）审题；（2）设未知数（2个）；（3）列二元二次方程组；（4）解方程组；（5）检验

是否是方程的解以及是否符合实际；（6）写出答案.

要点诠释：

一定要检验一下结果是否符合实际问题的要求

【知识梳理三】：四边形

一：多边形

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【要点梳理】

知识点一、多边形的概念

1.定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形

叫做多边形.其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形.

2.相关概念：

边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.

顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.

内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这

条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的

同一侧，这个多边形叫凹多边形。

条件，二者缺一不

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⑵过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为

〃(〃一3)

-2；

⑶过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形.

知识点二、多边形内角和定理

n边形的内角和为(n-2)-180°(n23).

要点诠释：

(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内

角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于］二1800；

n

知识点三、多边形的外角和

多边形的外角和为360°.

要点诠释：

(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角

和.n边形的外角和恒等于360°,它与边数的多少无关；

(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于也；

n

(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数;

②已知多边形边数求各相等外角的度数.

二：平行四边形

【要点梳理】

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要点一、平行四边形的定义

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四

边形ABCD记作“口ABCD”,读作“平行四边形ABCD”.

要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，

有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为

对角，有两对；对角线有两条.

要点二、平行四边形的性质

1.边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；

2.角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；

3.对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；

4.平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.

要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相

等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性

质可以证明线段的相等关系或倍半关系.

（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选

择.

（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，

在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.

要点三、平行四边形的判定

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

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5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种

方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.

（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为

“画平行四边形”的依据.

要点四、平行线间的距离

1.两条平行线间的距离：

（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做

这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.

（2）平行线间的距离处处相等

任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的

线段的长度.

两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.

2.平行四边形的面积：

平行四边形的面积=底乂高；等底等高的平行四边形面积相等.

三：特殊的平行四边形

【要点梳理】

要点一、矩形、菱形、正方形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形.

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要点二、矩形、菱形、正方形的性质

矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是直角；

4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；

2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对

角；

3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.

正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.

2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平

分一组对角.

3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，

两条对角线的交点是对称中心.

要点三、矩形、菱形、正方形的判定

矩形的判定：L有三个角是直角的四边形是矩形.

2.对角线相等的平行四边形是矩形.

3.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角"或''对角线相

等”都能判定平行四边形是矩形.

菱形的判定：L四条边相等的四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

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3.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都

是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，

正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形.

2.有一个内角是直角的菱形是正方形.

要点四、特殊平行四边形之间的关系

要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状

（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.

（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.

（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.

（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.

要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.

（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.

（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.

（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.

四：梯形

【要点梳理】

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知识点一、梯形的概念

一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形.在梯形中，平行的两

边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做

梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角.

要点诠释：（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③

另一组对边不平行.

（2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键

在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组

对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中

平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等.

（3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是

由两底的长度来决定梯形的上、下底.

知识点二、等腰梯形的定义及性质

L定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形.

2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等.

（2）等腰梯形的两条对角线相等.

要点诠释：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质.

（2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行.

（3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质,

不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的.

知识点三、等腰梯形的判定

1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形.

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2.判定定理：(1)同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形.

(2)对角线相等的梯形是等腰梯形.

知识点四、辅助线

梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以

研究，一些常用的辅助线做法是：

方法作法图形目的

过一顶点作一腰的平分解成一个平行四边形和

行线一个三角形

平移一腰

平过一腰中点作另一腰构造出一个平行四边形和

移的平行线一对全等的三角形

过一顶点作一条对角构造出平行四边形和一个

平移对角线

线的平行线面积与梯形相等的三角形

构造出一个矩形和两个直

过一底边的端点作另zU角三角形；特别对于等腰

作高

一底边的垂线梯形，两个直角三角形全

等

••

延长梯形的两腰使其，(构成两个形状相同的三角

延长两腰

交于一点形

延

长连接一顶点和一腰的

延长顶点和--构造一对全等的三角形，

中点并延长与底边相

腰中点的连线将梯形作等积变换

交

知识点五、三角形、梯形的中位线

联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

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三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三

边的一半.

联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.

梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.

五：向量

【要点梳理】

要点一、平面向量

1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段.有向线段的方向是从一点到另

一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点,

画图时在终点处画上箭头表示它的方向.

要点诠释：

(1)“有向线段AB”符号标记为通，且通表示点B相对于点A的位置差别.

(2)用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面.

2.平面向量的定义及表示

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模

(或向量的长度).

要点诠释：

①向量的两要素：向量的大小、向量的方向.

②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、

比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小.

③向量与有向线段的区别：

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(a)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，

这两个向量就是相等的向量；

(b)有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向

相同，也是不同的有向线段.

(2)向量的表示方法：

①小写英文字母表示法：如£££,…等.

②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如丽,丽等.

(3)向量的分类：

固定向量：有大小、方向、作用点的向量；

自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量.

要点诠释：我们学习的主要是自由向量.

3.特殊的向量

零向量:长度为零的向量叫零向量.

单位向量:长度等于1个单位的向量.

相等向量:长度相等且方向相同的向量.

互为相反向量：长度相等且方向相反的向量.

平行向量:方向相同或相反的非零向量，叫平行向量(平行向量又称为共线

向量).

规定：0与任一向量共线.

要点诠释：

(1)零向量的方向是任意的，注意0与o的含义与书写的不同.

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(2)平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可

以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

(3)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.

要点二、平面向量的加法运算

1.定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法.

2.运算法则：

(1)三角形法则：一般来说，求不平行的两个向量的和向量时，只

要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第

二个向量的终点为终点的向量就是和向量.这样的规定叫做向量的加法的三角形

法则。

(2)多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那

么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的

向量，这样的规定叫做几个向量相加的多边形法则.

(3)平行四边形法则：如果£、6是两个不平行的向量，那么求它们和向量时，

可以在平面内任取一点为公共起点，作两个向量分别与£、6相等；再以这两个

向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形

的对角线向量，则这一对角线向量就是2、6和的向量.

要点诠释：

1.两个向量的和是一个向量，规定a+0=6+a=a.

2.可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.

3.“向量平移”(自由向量)：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可

以推广到n个向量连加，即得到几个向量相加的多边形法则.

4.|£|-日国£+3国£|+|加.探讨该式中等号成立的条件,可以解决许多相关的

问题.

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3.运算律：

(1)交换律：a+b=b+a；

(2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

要点三、向量的减法运算

L定义：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的

减法.

2.运算法则：

在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量

是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量，这样求两个向量的

差向量的规定叫做向量减法的三角形的法则.

要点诠释：

(1)减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：

AB-AD=AB+DA=DB,从而用加法法则来解决减法问题.

(2)向量的加法、减法的结果仍然是向量，规定=

(3)与丽长度相等、方向相反的向量，叫做丽的相反向量，即而=-丽.

知识梳理五：随机概率

一.随机事件和概率

要点一、必然事件、不可能事件和随机事件

1.定义：

(1)必然事件

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在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然

事件.

(2)不可能事件

在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件.

(3)随机事件

在一定条件下，可能发生也