第二轮专题复习五排列组合二项式定理概率与统计

第二轮专题复习五排列、组合、二项式定理、概率与统计

【考点审视】

1.突出运算能力的考查。高考中无论是排列、组合、二项式定理和

概率题目，均是用数值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平

时要重视用有关公式进行具体的计算。

2.有关排列、组合的综合应用问题。这种问题重点考查逻辑思维能

力，它一般有一至两个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题

的关键所在；而且此类问题一般都有多种解法，平时注急训练一题多

解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难(理科)

的题目。

3.有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。这种问题重

点考查运算能力，特别是有关指数运算法则的运用，同时还要注意理

解其基本概念，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础

题。

4.有关概率的实际应用问题。这种问题既考察逻辑思维能力，又考

查运算能力；它要求对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文

科仅要求计算柢率，埋科则要求计算方办列和甥望；它一般以一小一

大(既一道选择题或填空题、一道解答题)的形式出现，属于中等偏

难的题目。

5.有关统计的实际应用问题。这种问题主要考查对一些基本概念、

基本方法的理解和掌握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，

属于基础题。

【疑难点拨】

1.知识体系：

2.知识重点：

(1)分类计数原理与分步计数原理。它是本章知识的灵魂和核心，贯

穿于本章的始终。

(2)排列、组合的定义，排列数公式、组合数公式的定义以及推导过

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程。排列数公式的推导过程就是位置分析法的应用，而组合数公

式的推导过程则对应着先选（元素）后排（顺序）这一通法。

（3）二项式定理及其推导过程、二项展开式系数的性质及其推导过程。

二项式定理的推导过程体现了二项式定理的实质，反映了两个基

本计数原理及组合鬼想的具体应用，二项展开式系数性质的推导

过程就对应着解决此类问题的通法------赋值法（令国）的应用。

（4）等可能事件的定义及其概率公式，互斥事件的定义及其概率的加

法公式，相互独立事件的定义及其概率的乘法公式，独立重复试

验的定义及其概率公式。互斥事件的概率加法公式对应若分类相

加计数原理的应用，相互独立事件的概率乘法公式对应着分步相

乘计数原理的应用。

（5）（理科）离散型随机变量的定义，离散型瓯机变量的分布列、期

空和方差。

（6）简单瓯机抽样、系统抽样、分层抽样，总体分布，正态分布，线

4生回归。

2.知识难点：

（1）排列、组合的综合应用问趣。突破此难点的关证在于：在基本忠

想上强调两个基本原理（分类相加计数原理和分步相乘计数原理）

在本章知识中的核心地位；在通法上要求，首先要认真审题，分清

是排列（有序）还是组合（无序），或二者兼而有之；其次要抓住问

题的本质特征，准确合理地利用两个基本原理进行“分类与分步”，

分类时要不重不漏，分步时要独立连续,在两个公式的应用中要深

刻理解其定义中的“所有”的含义，特别是组合数“习”已包含了回个

元素“所有”可能的组合的个数，故在平均分堆过程中就会产生重复，

而平均分配给不同的对象过程中就不用再排序。同时在本节中要注

意强调转化化归数学思想的应用。

（2）二项式定理的计算。突破此难点的关键在于：熟记指数的运算法

则和二项辰开式的通项公式，深刻理解“第目项”“常数项”“有理

项”“二项式系数'。系数”等基本概念的区别与联系。

（3）概率、分布列、期望和方差的计算。突破此难点的关键在于：首

先要运用两个基本原理认真审题，弄清楚问题属于四种类型事件中

的哪一种，然后准确地运用相应的公式进行计算，其中要注意排列、

组合知识的应用。（理科）对于分布列要熟记一个基本型（目）和三

个特殊型（胃3,二项分布，几何分布）的定义和有关公式；

此类问题解题思维的的流程是：要求期望，则必先求分布列，而求

分布列的难点在于求概率，求概率的关键在于要真正弄清每一个随

机变量“H”所对应的具体随机试验的结果。

【经典题例】

例1：将百名学生分西已到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排冈名学生，

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那么互不相同的分配方法共有多少种？

［思路分析］根据宿舍的人数，可分为三类：“Q”型不同的分配方法有

国种；“日”型不同的分配方法有国种；“皿”型不同的分配方法

有3种。则由加法原理得，不同的分配方法共有种。

［简要评述］本题体现了“先选后排”通法的应用，属于排列组合混合问

题。要注急（不）平均分配与（不）平均分堆的联系与区别。

例2:在正方形目中，分

为各

边的中点，团为正方形中，《，在”匕囱

的九个点

中，以其中三个点为顶点作三角形，

这些三角形中，

互不全等的三角形共有多少个？

［思路分析］根据三角形的类型分为

类：直角三角

形有上一^一，共因种；以边

凶为底的三角形।一■共百种；过中点

和中心的三角形有।■共习

种。由加法原理得，共有种不同类

型的三角形。

［简要评述］本题体现了“转化化归数学围想”的应用，属于排列组合中的

几何问题，在具体方法上是运用了“穷举法（将所有的情形全部列出）”。

例3:在多项式的展开式中，合区项的系数为多少？

［思路分析|

解1■------——-----■,所以含3

项的系数为1^■o

解2I一一',所以含目项的

系数为三1。

解3由组合原理I~・o

［简要评述I本题重点考查对二项式定理的本质的理解和运算能力c

例4:从数字鼻3中，随机抽取可个数字（允许重复）组成一个三

位数，其各位数字之和等于目的概率为多少？

［思路分析］本题的基本事件是由习个不同的数字允许重复而且含习的条

件下组成三位数，根据乘法原理可知基本事件的全体共有个。

设三个数字之和等于目的事件为四，则可分为六类：数码目组成不同

的三位数有㈤个；数码目组成不同的三位数有匀个；数码田

组成不同的三位数有四个；数码目组成不同的三位数有另个；数码

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目组成不同的三位数有四个；数码目组成不同的三位数有」个，

根据加法原理，事件可共有

।■八品

J

---------------个。故O

［简要评述］本题考查等可能性事件的概率和互斥事件的概率，重点在

于利用排列组合知识求各个基本事件的总数。

例5:若］=—・则

［甩路分析］将条件等式的左右两边比较，可知变形

利用赋值法，令,则有——三w_■；

令N3,则有----==―'o

［简要评述］本题考查二项展开式系数的性质，在具体方法上是运用了通

法“赋值法》。

例6:从口中任取回个数字，从三3中任取回个数字，组成没有

重复数字的四位数，其中能被习整除的不同四位数共有个。

［思路分析］由已知，此四位数的末位只柜是回或工且目不矩在首位，故

冈为特殊元素，而且二者中至少要选一个。根据题意，可分三类：有目

无可，不同的四位数有二1个；有可无日，不同的四位数有㈢个；冈

同时存在，当目在末位时，不同的四位数有上个，当日在末位时，不

同的四位数有二口个。所以满足条件的不同的四位数共有

・~・个。

［简要评述］本题考委有两个受条件限制的特殊元素的排列组合混合问

题，基本解题模型为：分为三类。第一类，两个中一个都不考虑；第二

类，两个中考虑一个；第三类，两个都考虑。

注急在具体求解中其中“先选后排”“位置分析法''等通法的运用。

例7:鱼塘中共有回条鱼，从中捕得二条，加上标志后立即放回塘中，经

过一段时间，再从塘中捕出习条鱼，发现其中有回条标志鱼。

(1)问其中有日条标志鱼的概率是多少？(2)由此可推测塘中共有多

少条鱼(即用口农示回)?

［甩路分析|(1)由题怠可知，基本事件总数为冈。鱼塘中的鱼分为两

类：有标志的鱼」条，无标志的鱼目条，从而在捕出回条鱼中，有标

志的回条鱼有的种可能，同时无标志的田条鱼有X种可能，则捕出

国s

回条鱼中有回条鱼共有一1种可能。所以概率为。

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（2）由分层抽样可知，（条）。

［简要评述］本题考查等可能性事件的概率和统计知识，重点要注意“鱼”

的不同的分类以及抽样方法中各个元素被抽取概率的相等性。

例8:某宾馆有习间客房，现要安排回位旅游者，每人可以进住任急一个

房间，且进住各房间是等可能的，求下列事件各的概率：（1）事件回：

指定的百个房间各有：人；（2）事件可：恰有另个房间各有司人；（3）事件

日：指定的某房间中有可人；（4）事件回：一号房间有可人，二号房间有

回人；（5）事件可：至少有目人在同一个房间。

［思路分析］由于每人可以进住任一房间，进住哪一个房间都有包种等可

能的方法，根据乘法原理，习个人进住习个房间有目种方法，则（1）指

定的可个房间中各有：人有的种方法，。

（2）恰有可个房间各有z人有R种方法，。（3）从回人

中选习人的方法有可种，余下的日人每人都可以去另外的习个房间中的任

||

一间，有日种方法，。（4）从习人中选1人去一号房间

的方法有可种，从余下日人中选习人去二号房间的方法有可，再余下的月

人可去习个房间中的任一间，。

（5）从正面考虑情形较复杂，正难则反，“至少有可人在同一个房间”

的反面是“没有回人在同一个房间，即恰有回个房间各有弓人”，

［简要评述］本题考查等可能性事件的概率和互斥事件的概率，注急排列

组合知识的运用。

例9:甲、乙、丙三人独立解某一道数学题，已知该题被甲解出而乙解

不出的概率为0，被乙解出而丙解不出的概率为3，被甲、丙两人都解

0

出的^率是o

（1）求该题被乙独立解出的概率；

（2）（文科）求该题被解出的概率。（理科）求解出该题人数可的分布列

和数学期望。

［思路分析］（1）设目分别为甲、乙、丙三人各自独立解某一数学题

的事件。由已知则有

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目30

即由此方程组解得所以该题

被乙独立解出的概率为H

O（2）（文科）记回为该题被解出，它对

应着甲、乙、丙中至少有一人解出该题，则

（理科）

所以瓯机变量3的分布列为:

a333

回313

期望为o

［简要评述］本题考查相互独立事件的概率和互斥事件的概率，同时考查

函数方程数学思想和运算能力。理科还考查分布列和数学期望，在解题

过程中特别要注急，真正弄清每一个随机变量•“国”所对应的具体随机

试验的结果。

例10:某一汽车前进途中要经过百个红绿灯路口。已知汽车在第一个路

口,遇到红灯和遇到绿灯的概率都是;从第二个路口起，若前次遇到

红灯，则下一次遇到红灯的概率是，遇到绿灯的概率是;若前一次

00

遇到绿灯，则下一次遇到红灯的概率是，遇到绿灯的概率是。求：

（1）汽车在第二个路口遇到红灯的概率是多少？

（2）（文科）在三个路口中，汽车遇到一次红灯，两次绿灯的概率是多

少?

（理科）汽车在经过三个路口过程中，所遇到红灯的次数的期望是多

少？

［思路分析］根据相互独立事件同时发生的概率的乘法公式可得，（1）

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⑵（文科）。

（理科）要求期望，则必须先求分布列。设汽车所遇到红灯的次数为随

机变量可，则有

,故得分布列

a3目3回

300E3

所以。

［简要评述］本题重点考查相互独文事件的概率乘法公式的本质同

时发生，同时还考查互斥事件的概率。在具体解题中注急与递推有关的

概率的计算。

【热身冲刺】

一、选择题：

1.用三3这五个数字组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小

到大的顺序排列，则数字目应是第

（四）

目个区个区个日个

2.从习位男教师和百位女教师中，选出日位教师分别担任习个班级的辅导

员，每班一位辅导员，要求这百位辅导员中男、女老师都要有，则不同

的选派方案共有（回）

目种目种目种田种

3,有两排座位，前排回个座位，后排回个座位。现安排可人就座，规定

前排中间的目个座位不能坐，并且这可人不左右相邻，那么不同的排法的

种数是（日）

pnPHPHr^i

4.长方体可个顶点中，以任意百个为顶点的所有三角形中，锐角三角形

共有（3）

目个回个回个回个

5.从编号为m3的六的小球中任取百个，放在标号为心3的四

个盒子里，每盒一球，且可号球不能放在网盒中，四号球不能放在凶号盒

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中，则不同的放法种（3)

国国日日

久日

展开式中的常数项是

（回）

国r^i日回

7.某工厂生产国三种不同型号的产品，产品数董之比依次为日o

现用分层抽样方法抽出一个容量为目的样本，样本中习型号产品有回件，

则此样本的容量为（3）

回回国

8,某校高三年级举行一次演讲比赛，共有四位同学参赛，其中一班有百

位，二班有可位，其他班级有百位。若采取抽签的方式确定他们的演讲顺

序，则一班的日位同学没有被排在一起，而二班的可位同学恰好被排在一

起（指演讲的序号相连）的概率是（目）

sS□□

9.某人射击一次命中目标的概率是，则此人射击日次，有回次命中目

标且恰有两次连续命中的概率是

（囚）

sSSS

10.在回世纪的一天，保罗与梅尔进行赌钱游戏。每人拿出百枚金币，

然后玩骰子，约定谁先胜三局谁就得到四枚金币（每局均有胜负）。比

赛开始后，保罗胜了一局，梅尔胜了两局，这时一件意外的事情中断了

比赛，于是他们商量这回枚金币应该怎样分配才合理。据此，你认为合

理的分配方案是保罗和梅尔分别得到金币（回）

日枚，可枚四枚，百枚日枚，回枚口枚，目枚

二、填空题：

12.口袋内装有回个相同的小球，其中目个小球标有数字叫日个小球标

有数字《若从中摸出弓的小球，那么摸出的日个小球所标数字之和小于日

或大于目的概率是。（）

13.抛掷一枚硬币若干次，每次正面向上得弓分，反面向上得习分。

0

（文科）则恰好得到@分的概率为。（）（理科）则恰好得到日分

的概率为

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14.已知从甲地到乙地的海底光缆有网个接点，其中有一个接点发生故

障，为了及时排除故障，需要尽快断定故障发生点。以目三个接点

为例，检查接点习的方法如下：在接点四处分别检查日两段，若两

段都有问题，则可断定习点存在问题；若只有一段存在问题，则接点正

常。设至少需要检查的接点数为习个，贝!J回的最大值为。(目)

三、解答题：

15.某仪器显示屏上的每个指示灯均以红色或蓝色来表示两种不同的信

号，已知一排有回个指示灯。求分别满足下列条件时，显示屏共能显示

的不同的信号数的种数。

(1)要求每次显示其中的弓个，且恰好有百个相邻的同时显示；

(2)要求每次显示其中的另个，且恰有习个相邻的同时显示。

简解⑴后1或鼻3;(2)L^Jo

16.已知展开式中各项的系数之和比各项的二项式系数之和

大回o

(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最

大的项。

■=

简解由题怠，-------------------------,

[X[

(1)展开式中二项式系数最大的项是--------,

IX■

■

(2)由解得J------------------'为所求

的系数最大的项。

17.甲、乙两人参加一次测试，已知在备选的