高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理

方程的曲线：

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x.y)=O的实数解建立了如下

的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方

程；这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：若曲线C的方程是r(x,?)=O,则点PO(xO,yO)在曲线C上口「(、0,丫0)=0；点PO(xO,yO)不在曲爱C上口f(xO,yO)

■AOo

两条曲线的交点：若曲线C11C2的方程与别为门(x,y)=0,f2(x.y)=0,则点PD(xO,yO)是Cl,C2的交点口｛口方程组有n个不同的

实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。

二、圆：

1.定义：点集｛MIIOMI=r),其中定点。为圆心，定长r为半径.

2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b),半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2

圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2

(2)一股方程：①当D2+E2-4F>0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为口半径是口。配方，将方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+D)2+(y+Q)2=D

②当D2+E2-4F=O时，方程表示一个点(一口，-口)：

(3)③当D2+E2-4FV0时，方程不表示任何图形.

点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半役为r,点V的坐标为(xO,yO),则IMCIVr口点M在圆C内，IMCI=1•口点M在圆C上，I

MCI>r口点M在圆C2其中7CI=口。

直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交口有两个公共点；直线与圆相切口有一个公共

点；直线与圆相离口没有公共点。

②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=O的距离□与半径r的大小关系来判定。

三、圆锥曲线的统一定义：

口面内的动

点P(x,y)到

一个定点

F(c,O)的距

需与到不通

过这个定点

的一条定直

线1的距离

之比是一

个常数e(e

>0),则动

总的轨迹叫椭圆双曲线抛物发

做圆锥曲

线。其中定

点F(c,0)称

为焦点，定

直线1称为

注线，正常

数e称为离

心率。当0

<e<l时，

轨迹为椭

圆；当e=l

时，轨迹为

抛物线；当

e>l时,轨

迹为双曲

线。

因、椭圆、

双曲线、抛

物线：

1.到两定点F1,F2的距离之和1.到两定点Fl.F2的距离之差的绝

为定值2a（2a〉F1F2|）的点的轨对值为定值2a（0<2a<|FlF21）的点的

迹轨迹

与定点和直线的距离相等的点的

定义2.与定点和直线的距离之比为2.与定点和直线的距离之比为定值

轨迹.

定值e的点的轨迹.（0<e<l）e的点的轨迹.（e〉l）

2.与定点和直线的距离之比为2.与定点和直线的距离之比为定值e

定值e的点的轨迹.（0<e<l）的点的轨迹.（e>l）

点集:({M1IMF1+IMF2I

点集：{M11MFI1-1MF21.点集｛M1|乂”=点M到直线1

轨迹条件=2a,IF1F21<2a=

=±2a,1FE1>2a}.的距德｝.

d

'I.

■V

AK，一

图形一111

，

J斗-二O

万

标准X2y2x2y

r+—=1(a>〃>0)-V-^V=1(a>0,b>0)y2=2Px

方程/b2a~b~

程

参数x=acosOx=asec0:容（t为参数）

y=bsin。y=btan0

方程（参数以离心角）(参数以离心角)

-axa,—byb|x|a,yR

范围x0

原点0(0.0)原点0(0,0)

中心

(a,0),(—a,0),(O,b),

顶点(a,0),(—a,0)(0.0)

(0.—b)

x轴，y轴；x抽,y轴；

对称轴X轴

长轴长2a,短轴长2b实轴长2a,虚轴长2b.

焦点Fi(c,O),F.(—c,0)Fi(c.O).F>(—c,0)F(g。)

a2p

2x=±—X=---

a2

x=±---C

准线C准线垂直干实轴，且在两顶点的内准线与焦点位于顶点两侧，且到

准娱垂直于长轴，且隹痛圆外.#1.顶点的花用相等.

准线垂直于长轴，且在椭圆外.准线垂直于实轴，且在两顶点的内准线与焦点位于顶点两侧，且到

侧.顶点的距禹相等.

焦距2c(c=J4—b2)2c(C=JQ2+〃2)

c.八

离心率e=—(0<e<1)e=—(e>1)e=l

aa

【备注1】双曲线：

⑶等轴双曲线：双曲线口称为等轴双曲线，其渐近线方程为口，离心率口.

⑷共朝双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共匏双曲线.口与口互为共辗双曲线，它们

具有共同的渐近级：□.

⑸共渐近线的双曲线系方程：口的渐近线方程为□如果双曲线的渐近线为口时，它的双曲线方程可设为口.

【备注2】抛物线：

(1)抛物线H=2px(p〉0)的焦点坐标是(口,0),准线方程乂=-口,开口向右；抛物线□=-2px(p>0)的焦点坐标是(-口,0),准线方

程乂=口，开口向左；抛物线口=2py(p〉0)的焦点坐标是(0,口)，准线方程y=-Zl,开口向上；

抛物线□=-2py(p>0)的焦点坐标是(0.-D),准线方程丫=口，开口向下.

⑵物物线丁=2px(p>0)上的点M(xO.yO)与焦点F的距离\MF\=^0+—：抛物线丁=-2px(p>0)上的点M(xO,y0)与焦点F的

距离的月=5_/

(3)设抛物线的标准方程为□=2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为口，顶点到准线的距离口，焦点到准线的距离为p.

(4)已知过抛物线□=2px(p>0)焦点的直坎交施物线于A.B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(xl,yl),B(x2,y2),则弦长口二口+p

或口(。为直线AB的帧斜角)，□,口(口叫做焦半径).

五、坐标的变换：

(1)金标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的

位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.

(2)坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。

(3)坐标轴的平移公式：设平面内任意一点扎它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y),在新坐标系x'O'y'中的坐标是口.设新

坐标系的原点0'在原坐标系xOy中的坐标是(h,k),则口或口

叫做平移(或移轴)公式.

中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：

焦点焦线对称轴

方程

(x-h)2(y-k)2a2x=h

椭圆---------+----------=1(±c+h,k)x=±---+h

a2b2Cy=k

7、椭困”7。)+=1与直缓Ax+Bv+C=0有公共点的充要条件是A%2+之(A%+By。+C)2.

ab

8、已知椭圆口(a>b>0),0为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点，且□.(I)□;(2)|0P|2+|0Q|2的最大值为口；(3)□的故

小值是口.

9、过椭圆口(a>b>0)的右焦点F作直发交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P,则□.

10,已知椭圆口(a>b>0),A,B.是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点口，则口.

11.设P点是椭圆口(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,FLF2为其焦点记□,则(1)口.(2)□.

12.设A.B是椭圆口(a>b>0)的长轴西端点，P是椭圆上的一点，□,c、e分别是桶圆的半焦距离心率，则有(1)口.(2)

□.(3)口.

13.已知椭圆□(a>b>0)的右准线口与x轴相交于点口，过椭圆右焦点□的直线与椭圆相交于A.B两点，点口在右准线□上，且

口轴，则直线AC经过线段EF的中点.

M.过梯圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16、椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距程与以该焦点为端点的焦半径之比为常数c(离心率).

(注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)

17、椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

18、椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

七、双曲线的常用结论：

1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2、PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影II点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切：P在左支)

5.若□在双曲线口(a>0,b>0)上，则过□的双曲线的切线方程是口.

6、若□在双曲线口(a>0,b>0)外，则过P。作双曲线的两条切线切点为P1.P2,则切点弦P1P2的直线方程是□.

7、双由线口(a>0.b>o)的左右焦点分别为Fl,F2,点P为双曲线上任意一点口，则双曲线的焦点角形的面枳为口.

8、双由线口(a>0,b>o)的焦半径公式：(口，口)当口在右支上时，口,!］；当口在左支上时，□，匚

9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线

准线于M、N两点，则MF_LNF.

10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q.ALA2为双曲线实粘上的顶点，A1P和A2Q交于点V.A2P和A1Q交于点

N,则MF_LNF.

11、AE是双曲线口(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦，M口为AB的中点，则口，即口。

12.若□在双曲线口(a>0,b>0)内，则被P。所平分的中点弦的方程是口.

13.若□在双曲线口(a>0.b>0)内,则过P。的弦中点的轨迹方程是口.

【推论】：

1.双曲线二］(a>0,b>0)的两个顶点为口，口，与y轴平行的直线交双曲线于PLP2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是口.

2.过双曲线口(a>0,b>o)上任一点口任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且口(常数).

3.若P为双曲线口(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,Fl,F2是焦点，□,口，则口(或口).

4.设双曲线口(a>0,b>0)的两个焦点为F1.F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记口，口，匚］.则有□.

5、若反曲线二I(a>0,b>0)的左、右焦点分别为FLF2,左准线为L,则当IVeW口时，可在双曲线上求一点P,使得PF1是P

到对应准线距离d与PF2的比例中项.

6、P为双曲线口(a>0,b>0)上任一点,Fl,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则口，当且仅当口三点共线且口和□在y轴同侧

时，等号成立.

7、双由线=一二=1(a>o,b>o)与直线Ar+3y+C=O有公共点的充要条件是aZJ-52人2wet

a-b-

8、已知双曲线口(b>a>0),0为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且Z1.

1111

-------1--------=--------(2)OP2+|0Q|2的最小值为；(3)SAOP。的最小值是/

|。尸『|OQ『a1b2b~-a~b~-a

9、过双曲线口(a>0,b>0)的右焦点F华直线交该双曲线的右支十M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴十P,则□.

10、已知双曲线口(a>0,b>0),A.B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点口，则□或□.

11.设P点是双曲线口(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,Fl.F2为其焦点记口，则(1)口.(2)□.

12、设A、B是双曲线口（a>0,b>0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，口，口，匚I,c、c分别是双曲线的半焦更离心率，则

有⑴口.

A1/C2/从

（2）tanatan/>=l-e-.（3）S,PAB=­---7coty.

b~+a~

13.已知双曲线口（a>0,b>0）的右准线口与x轴相交于点□.过双曲线右焦点□的直线与双曲线相交于A.B两点，点口在右准线

口上，且二I轴，则直线AC经过线段EF的中点.

M.过及曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15,过双曲线焦半径的端点作双曲线的切发交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16.双由线焦三角形中，外点到一焦点的距禹与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.

（注：在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）.

17、双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.

18双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

抛物线的常用结论：

.3I行卜,^QC-b~b

①ay+c=x顶点（------------）.

4a2a

2

②)7=2PMpw0)则焦点半径俨内=X+L；x=2py(p*0)则焦点半径为［p「］=y+—

22

③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.

___[x=2nrfx=2pt

④）户=2/»（或/=2p『）的参数方程为｛1（或<,）（/为参数）.

>'=2pt[y=2pt~

y2=2Pxy2=-2pxx~=2pyx2=-2py

4w.

LV-U

图形一十

TKzn

焦点哼0）尸（一小0）F10,-9

准线Ty=

2-2T

范围x^0,yeRxw/?,)，N0

对称轴x轴y轴

顶点(0,0)

高心率e=\

焦点网旧+A'll冏=勺为lPFl=f+l>fi|

圆锥曲线的性质对比

圆锥曲线椭圆双曲线抛物线

标准方程(x-2/a"2)+(y"2/b"2)=la>b>0(x2/a*2)-(y"2/b2)=1a>0,b>0y〃2=2pxp>0

范围x£[-a,a]y€[-b,b]XG(-oo,-a]U[a,+0°)y£RX£[0,+8)yGR

对称性关于x轴,y轴，原点对称关于x轴,y轴,原点对称关于x轴对称

顶点(a,0),(-a,0),(O,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)

焦点(c,0),(-c,0)(c,0),(-c,0)(p/2,0)

【其中c"2=a'2-12】【其中c'2=a,2+b“2】

准线x=±(a*2)/cx=±(a*2)/cx=-p/2

渐近线—y=±(b/a)x—

离心率e=c/a,eE(0,1)e=c/a,(1.+8)e=l

焦半径IPF1|=a+ex|PF2|=a-exIPF1|=Iex+a||PF2|=Iex-aIFF|=x+p/2

1

焦准距p=(b*2)/cp=(b'2)/cP

通径(2b"2)/a(2b，2)/a2p

参数方程x=a,cos0y=b•sin0,0为参x=a•sec0x=2pt"2y=2pt,t

数为参数

y=b•tan0,0为参数

过圆锥曲(x0,x/a*2)+(y0•y/b_2)=l(x0x/a*2)-(y0,y/b_2)=lyO,y=p(x+xO)

线上一点

(x0,yO)的切线方程

斜率为ky=kx土J[(a"2),(k-2)+b*2]y=kx±V[(a"2),(k'2)-b'2]y=kx+p/2k

的切线方

程

椭圆

1.已知椭圆的离心率，则的值为

（A）3（B）亚叵或厉

（C）也

(I))—或3

33

2.已知直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为，离心率为

3.椭圆的焦点为，过F2垂直于x轴的直线交椭圆于一点P,那么|PF1|的值是

4.设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为，若^为等腰

直角三角形，则椭圆的离心率是

儿友一1B.却C.2五*

22

5.椭圆的两焦点及短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的离心率为_____.

6.椭圆两焦点为，，P在椭圆上，若△的面积的最大值为12,则该椭圆的标准方程为

A.B.C.D.

7.椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则；的大小为

8.已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于两点，那么的值为.

9.已知三角形ABC的周长是8,B、C两点的坐标分别为（-1,0）、（1,0）,则顶点A的轨迹方程为

10.若椭圆的离心率为，则它的长半轴长为.

11.椭圆的焦距是2,则m的值为（）

A.5B.3

C.5或3D.20

12.如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（）

A.B.C.I).

13.是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且N,则△的面积为（）

A.B.C.D.

14.椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则4的面积为（）

A.B.C.D.

15.过椭圆的中心作直线与椭圆交于A.B两点，F1为椭圆的焦点，则三角形F1AB面积的最大值为（）

A.6B.12C.24D.48

16.P为椭圆上任一点，则P到直线x+y-5=0的最短距离是.

17.圆P经过点B（0,3）且与圆A:x2+（y+3）2=100内切，求圆心P的轨迹方程.

双曲线

1.已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，一个焦点在直线x+y=6上，且焦距是实轴长的2倍，则此双曲线

的标准方程为.

2.以双曲线的右焦点为圆心，且与渐近线相切的圆的方程是.

3.动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（）

A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线

4.已知方程表示双曲线，则k的取值范围是（）

A.-l<k<lB.k>0

B.kBOD.k>l或kV—l

5.双曲线的一个焦点为，则的值为o

6.双曲线的一条渐近线与直线垂直，则这双曲线的离心率为7.若双曲线的两条渐近线相交所成

的锐角为60°,则它的离心率为（）

A.B.2

C.或2D.或2

8.过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若N,则双曲线的离心率等于（）

A.B.C.D.

9.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么的取值范围是（）

A.（）B.（）C.（）D.（）

10.若直线与双曲线始终有公共点，则取值范围是。

11.若一直线1平行于双曲线的一条渐近线，则1与双曲线的公共点个数为（）

12.A.0或1B.IC.0或2D.1或2

双曲线上的一点P到左焦点的距离为6,则这样的点P有个.

抛物线

1.若抛物线上一点M到该抛物线的焦点F的距离，则点M到x轴的距离为

A.lB.2C.D.4

2.已知抛物线上一点P（3,y）,则点P到抛物线焦点的距离为.

3.设斜率为的直线B.C.D.

过抛物线的焦点F,

且和轴交于点A,若

△OAF（O为坐标原

点）的面积为4,则实

数的值为

（）.

A.

A.±2

4.动点P（x,y）（xNO）到定点F（2.0）的距离比它到y轴的距离大2,则动点P的轨迹方程是（）

A.y2=16xB.y2=8x

5.C.y2=2xD.y2=4x

在抛物线y2=8x上有一点P,它到焦点的距离是20,则P点坐标是.

6.焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程为.

7.经过点P（4,一2）的抛物线的标准方程是（）

A.y2=16x或x2=16yB.y2=16x或x2=-16y

C.x2=.8y或y2=xD.x2=8y或y2=.x

8.抛物线的顶点在原点，焦点在直线x-2y-4=0上，则抛物线的标准方程为,

9.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是（）

A.或B.C.或D.或

10.设为过抛物线的焦点的弦，则的最小值为（）

A.B.C.D.无法确定

11.若直线与抛物线交于、两点，则线段的中点坐标是

12.对于抛物线上任意一点，点都满足，则的取值范围是13.抛物线上两点、关于直线对称，且

，则等于（）

A.B.C.D.

14.若直线与抛物线交于、两点，若线段的中点的横坐标是，则_____o

15.若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为（）

A.B.C,D.

16.已知，抛物线上的点到直线的最短距离为o

1.双曲线与椭圆有共同的焦点，点是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。

2.代表实数，讨论方程所表示的曲线

3.当变化时，曲线怎样变化？

(4)主要题型：

(5)弦长、中点、面积

3.在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(7,1)关于原点0对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于

(I)求动点P的轨迹方程；

(II)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问：是否存在点P使得APAB与△PMN的面积相等？若存在，求

出点P的坐标；若不存在，说明理由。

(4)4.已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。

(5)求椭圆的方程；

设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为()，点在线段的垂直平分线上，且，求的

值

二.范围、最值

(1)1.已知双曲线C:3x2-y2=l,过点M(0,-1)的直线1与双曲线C交于A,B两点.

⑵若|AB|=,求直线1的方程：

(2)若点A.B在y轴的同一侧，求直线1的斜率的取值范围.

2.已知m>l,直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.

(I)当直线过右焦点时，求直线的方程；

(U)设直线与椭圆交于两点：，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值

范围.

三.证明、求定点、定值

⑴1.设点M在x轴上，若对过椭圆左焦点F的任一条与两坐标轴都不垂直的弦A