初一数学七下相交线与平行线所有知识点总结和常考题型练习题

同学们，进入初中阶段，数学的世界变得更加丰富和立体。“相交线与平行线”这一单元，是我们从具体图形走向抽象几何推理的重要一步。它不仅是后续学习三角形、四边形等平面图形的基础，更能培养我们的空间想象能力和逻辑思维能力。下面，我们就一起来系统地梳理一下这部分的知识要点，并通过一些典型例题和练习题来巩固提升。一、知识要点回顾（一）相交线当两条直线在同一平面内，有且只有一个公共点时，我们称它们为相交线。这个公共点叫做交点。1.对顶角与邻补角：*邻补角：两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个角，互为邻补角。邻补角的和是180°（互补）。*例如：若∠1与∠2有一条公共边，另一边互为反向延长线，则∠1与∠2互为邻补角，即∠1+∠2=180°。*对顶角：两条直线相交后，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角。对顶角是相等的。*例如：直线AB与CD相交于点O，则∠AOC与∠BOD互为对顶角，∠AOD与∠BOC互为对顶角，且∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠BOC。2.垂线及其性质：*垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°）时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。通常用符号“⊥”表示垂直。*例如：若直线AB与CD垂直，可记作AB⊥CD，垂足为O。*垂线的性质：*性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（“有且只有”体现了唯一性和存在性）*性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。*点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。（二）平行线1.平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。通常用符号“∥”表示平行。*例如：直线AB与CD平行，可记作AB∥CD。*重要前提：“在同一平面内”是定义的重要组成部分。因为在空间中，存在既不相交也不平行的直线（异面直线），但这是我们高中阶段才会学习的内容。2.平行线的画法：利用直尺和三角板“一落、二靠、三推、四画”。3.平行线的性质与判定：*平行线的性质（由平行得到角的关系）：1.两直线平行，同位角相等。2.两直线平行，内错角相等。3.两直线平行，同旁内角互补。*平行线的判定（由角的关系得到平行）：1.同位角相等，两直线平行。2.内错角相等，两直线平行。3.同旁内角互补，两直线平行。*理解与区分：性质与判定是互逆的关系。性质是说“如果平行了，那么角会怎么样”；判定是说“如果角满足了什么关系，那么直线会平行”。4.平行公理及其推论：*平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。（体现了平行线的存在性和唯一性）*推论（平行的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。*即：如果a∥b，b∥c，那么a∥c。（三）“三线八角”——同位角、内错角、同旁内角当两条直线（被截线）被第三条直线（截线）所截时，会形成八个角，我们称之为“三线八角”。其中具有特殊位置关系的角有：*同位角：在截线的同侧，在被截两直线的同一方。（形如“F”型）*内错角：在截线的两侧，在被截两直线之间。（形如“Z”型或“N”型）*同旁内角：在截线的同侧，在被截两直线之间。（形如“U”型或“C”型）*识别关键：要能准确辨认出哪两条直线被哪一条直线所截，从而确定角的位置关系。二、常考题型与典型例题解析题型一：基本概念辨析与角度计算例1：判断下列说法是否正确，并说明理由。(1)相等的角是对顶角。(2)邻补角一定互补。(3)不相交的两条直线叫做平行线。(4)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。解析：(1)错误。对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。例如，两个直角都相等，但它们不一定是对顶角。(2)正确。邻补角的定义就是两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，它们的和为180°，所以一定互补。(3)错误。缺少前提条件“在同一平面内”。(4)错误。应是“过直线外一点”，如果这个点在已知直线上，则无法作出与该直线平行的直线，因为过直线上一点与已知直线平行的直线是不存在的（它们会重合）。例2：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数。（请自行根据描述画图：直线AB与CD相交于O，∠AOC为∠1=40°，则∠BOD=∠1=40°。∠FOC是直角，F点在AB上，靠近B一侧。OE平分∠AOD。）解析：∵直线AB与CD相交于点O，∠1=40°（已知）∴∠AOC=∠1=40°（对顶角相等）∠BOD=∠AOC=40°（对顶角相等）∠AOD=180°-∠AOC=180°-40°=140°（邻补角互补）∵OE平分∠AOD（已知）∴∠2=∠AOD/2=140°/2=70°（角平分线定义）∵∠FOC=90°（已知），∠1=40°∴∠3=180°-∠FOC-∠1=180°-90°-40°=50°（平角的定义）（或：∠AOF=∠AOC+∠COF=40°+90°=130°，则∠3=180°-∠AOF=50°）题型二：平行线的性质与判定的应用例3：如图，已知∠1=∠2，∠A=∠F，试说明∠C=∠D。（请自行根据描述画图：直线AC与DF被直线AG所截，∠A与∠F是内错角。直线AG与BH被直线AB所截，∠1与∠2是同位角，其中∠1在AB上方，AG左侧；∠2在AB上方，BH右侧。）解析：∵∠A=∠F（已知）∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）∴∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）(这里假设CE是BC的延长线交DF于E，或者直接看∠C和∠D是直线BC和DE被AC所截的内错角，需要图形更明确，此处按AC∥DF，BC∥DE来推)又∵∠1=∠2（已知）∴AB∥BH？不，应该是AB∥CD之类的（根据图形，∠1和∠2是同位角，所以应该是AB平行于另一条直线，比如BD或CE）。假设∠1和∠2是AB和DE被BH所截的同位角，则：∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）∴∠D=∠CEF（两直线平行，同位角相等）∴∠C=∠D（等量代换）（注：由于文字描述图形可能存在偏差，核心思路是利用已知角的关系判定线平行，再由线平行得到新的角关系，最终证得结论。同学们在解题时，一定要结合准确的图形进行分析。）例4：如图，已知AB∥CD，∠B=120°，∠D=130°，求∠BED的度数。（这是一个经典的“拐角”问题，AB平行CD，点E在AB和CD之间，形成一个“∠”型的拐角BED。）解析：方法一（过拐点作平行线）：过点E作EF∥AB。∵AB∥CD（已知），EF∥AB（所作）∴EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）∵EF∥AB∴∠B+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠B=120°∴∠BEF=180°-120°=60°∵EF∥CD∴∠D+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠D=130°∴∠DEF=180°-130°=50°∴∠BED=∠BEF+∠DEF=60°+50°=110°方法二（连接BD）：（过程略，提示：利用三角形内角和180°及平行线同旁内角互补）过“拐点”作已知直线的平行线，是解决这类“拐角”问题的常用辅助线方法，它可以将复杂的图形转化为我们熟悉的平行线间角的关系问题。三、练习题基础巩固一、选择题1.下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（）（A）（B）（C）（D）(此处应有四个简单角的图形选项)2.如图，直线a、b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是（）（A）∠2=∠4（B）∠1+∠4=180°（C）∠5=∠4（D）∠1=∠3(图形应显示∠1（左上，a上c左），∠2（右上，a上c右），∠3（左下，b上c左），∠4（右下，b上c右），∠5（∠3的对顶角，在b下c左))二、填空题3.若一个角的对顶角是50°，则这个角的度数是______。4.如图，直线AB⊥CD于点O，OE是射线，若∠AOE=35°，则∠COE=______度。5.命题“两直线平行，同位角相等”的题设是______，结论是______。三、解答题6.如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC=50°，OE平分∠AOD，求∠BOE的度数。7.如图，已知∠1=∠2，∠3=70°，求∠4的度数。（提示：先判断哪两条直线平行）能力提升8.如图，已知AD∥BC，∠A=∠C，试说明AB∥CD。9.如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD。求证：EG∥FH。10.如图，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，求∠BCD的度数。（提示：过点C作平行线或延长ED交BC于点F）四、参考答案与提示（此处仅提供部分提示和答案，详细过程需同学们自行完成）基础巩固1.（根据图形选择，对顶角需两边互为反向延长线）2.D（∠1和∠3是对顶角，对顶角相等不能判定平行）3.50°4.55°（∠COE=∠AOC-∠AOE=90°-35°=55°或∠COE=∠COD+∠DOE，需看OE位置）5.题设：两直线平行；结论：同位角相等。6.∠BOE=115°（∠AOD=130°，OE平分得∠AOE=65°，∠BOE=180°-65°=115°）7.∠4=70°（由∠1=∠2可判定a∥b，所以∠3=∠4=70°）能力提升8.提示：由AD∥BC得∠A+∠B=180°，再结合∠A=∠C，可得∠C+∠B=180