湖南省湘潭市部分学校2026届高三上学期12月学情检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省湘潭市部分学校2026届高三上学期12月学情检测数学试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，可得，解得：，所以，由，可得，解得：，所以，则.故选：D.2.若复数在复平面中对应的点都在一个过原点的圆上，则的对应点均在（）A.一条直线上 B.一个圆上C.一条抛物线上 D.一支双曲线上【答案】A【解析】设，复数在复平面中的对应点都在一个过原点的圆上，设此圆方程为，其中不同时为0，将代入，得，所以，故对应的点坐标为，将两边同时除以得，故对应的点在直线上．故选：A．3.若非零向量、满足，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴①，又∵，∴，∴②，②式代入①式，得，即，∴，∴，设与的夹角为，且，则，又∵，∴，即与的夹角为.故选：A.4.已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（）A.5 B. C. D.20【答案】D【解析】圆的圆心坐标为，圆C上存在两点关于直线l对称，则直线l过圆心，即，有，，当时，有最小值20.故选：D.5.已知直线与圆相交于A,B两点，则的周长为（）A.26 B.18 C.14 D.13【答案】B【解析】由，得，所以圆心为,半径，圆心C到直线l的距离，所以，所以的周长为．故选：B．6.已知函数，将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为函数，将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，则，因为函数在区间上单调递增，结合各选项，只需即可，所以，即，又因为，所以.故选：C.7.已知等差数列的前n项和，若，数列的前n项和为，且，则正整数的值为（）A.4 B.6 C.5 D.8【答案】C【解析】当时，，当时，，符合上式，故，所以，故，由，得，整理得，化简得，得（舍去负值）．故选：C.8.已知函数，若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知，当时，恒成立，即恒成立，即有在上恒成立，令，则，故当时，，当，，即在上单调递减，在上单调递增，即，即有；当时，，由题意可得，当，，当，，则有当，，当，，分别解得，，即；综上所述：.故选：D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知实数a，b满足，则下列说法正确的是（）A.的最大值为 B.的最大值为6C.的最大值为4 D.的最大值为4【答案】BCD【解析】因为，当且仅当，即，或，时等号成立，故A错误；因为，所以，，所以，当且仅当时等号成立，故B正确；因为，当且仅当或时等号成立，故C正确；因为，当且仅当，或，时等号成立，故D正确．故选：BCD．10.已知函数的图象的一条对称轴方程为，下列说法正确的是（）A.函数的对称中心为B.不等式的解集为C.函数的单调递增区间为D.函数在区间上的值域为【答案】BD【解析】因为的图象的一条对称轴方程为，所以，解得，因为，所以，所以，A选项，令，解得，所以函数的对称中心为，故A错误;B选项，令，即，所以，解得，故B正确;C选项，令，解得，故C错误;D选项，当时，，所以，所以，故D正确;故选：BD.11.如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（）A.B.三棱锥的体积为C.若在底面内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹的长度为D.由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为【答案】ABD【解析】对于A选项，连接，在正方体中，平面，又平面，所以，又为正方形对角线，所以，又为平面内的两条相交直线，所以平面，又平面，所以，故A正确；对于B选项，在正方体中，平面，即平面，所以三棱锥的体积，又，，所以，故B正确；对于C选项，点在底面内（包含边界）运动，且满足，所以动点的轨迹为以为圆心，以为半径的四分之一圆，所以其轨迹的长度为，故C错误；对于D，取的中点，连接，，并延长与的延长线交于点，则过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为平面，因为正方体的棱长为1，分别为的中点，所以可得，，，所以四边形的周长为，故D正确.故选：ABD.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.在三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的体积为________．【答案】【解析】如下图：过作于，连接，因为，所以，，在中，由余弦定理得：，则，于是，故，又平面，所以平面，故此三棱锥的体积为.故答案为：.13.已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，且满足，则直线的斜率为______．【答案】【解析】因为，则在椭圆内，可知直线与椭圆总有两个交点，因为，即点为线段的中点，设，，显然，则，，，可得，则，即，所以，即直线的斜率，故答案为：.14.已知常数，在的二项展开式中的常数项为15，设，则________．【答案】-31【解析】的展开式为：，令，得，则，因为，所以，则的展开式为：，得，，则，故答案为：-31.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，内角所对的边分别为.（1）若，解三角形；（2）若角且的外接圆半径为．①求的面积；②求边上的高．解：（1）因为，所以，因为，所以．所以，所以．（2）①在中，，根据余弦定理得，，.②，．16.已知数列前n项积为，且．（1）求证：数列为等差数列；（2）设，求证：．证明：（1）因为，所以，所以，两式相除，得，整理为，再整理得，．所以数列为以2为首项，公差为1的等差数列．（2）因为，所以，由（1）知，，故，所以．所以．又因为，所以．17.如图，在四棱台中，平面，底面为菱形，，点为的中点．（1）求证：平面；（2）若，，二面角的大小为45°，求该四棱台的体积．（1）证明：由于，底面为菱形，且为四棱台，故四边形也为菱形，故且，由于点为的中点,故,故四边形为平行四边形，则，平面，平面，故平面.（2）解：因为平面，且平面，故,,则,,故,由于也为菱形，故,故为等边三角形，,,且也为等边三角形，由于点为的中点,故,因为平面，故平面，故,平面，故平面，过作于,连接,平面，平面,故,平面,故平面,平面,故,故为二面角的平面角，所以，,故,又，故,故，因此，,则,故四棱台的体积为.18.已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于，两点，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．①求证：点在定直线上；②求面积的最大值．（1）解：设椭圆的方程为，代入已知点的坐标，得：，解得，所以椭圆的标准方程为．（2）如图：①证明：设直线的方程为，并记点，，，由消去，得，易知则，．由条件，，，直线的方程为，直线的方程为，联立解得，所以点在定直线上．②解：，而，所以，则，令，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为．19.已知函数.（1）求的单调区间；（2）证明：；（3）若，且，求证：.（1