湖南省沅澧共同体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省沅澧共同体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意，，，根据交集的运算可知，.故选：A.2.若直线的倾斜角为，则（）A.等于 B.等于 C.等于 D.不存在【答案】C【解析】因为是一条垂直于轴的直线，所以直线的倾斜角为，故C正确．故选：C.3.已知复数满足，则是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为复数满足，所以，故选：C.4.抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在抛物线中，，可得，，所以抛物线焦点坐标为.故选：C.5.各项均为正数的等比数列中，若，则（）A.9 B.10 C.11 D.【答案】B【解析】在各项均为正数的等比数列中，，因为，所以所以，故选：B.6.设P为椭圆上一动点，分别为左､右焦点，延长至点Q，使得，则动点Q的轨迹方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由椭圆可得，，即点，依题意，，所以动点Q的轨迹是以为圆心，为半径的圆，方程为.故选：C.7.如图，正三棱柱中，点E为正方形的中心，点F为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】在正三棱柱中，取中点，连接，由点E为正方形的中心，得，而，于是，由为棱的中点，得，则四边形是平行四边形，有，即或其补角就是异面直线与所成的角，显然正三棱柱所有棱长都相等，令棱长2，则，等腰底边上的高，，所以异面直线与所成角的正切值为.故选：D.8.已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题得由题得，所以，所以，所以.故选A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知平面与平面平行，若平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】因为平面与平面平行，所以平面的法向量与平面的法向量平行，对于选项A:若，则此时，满足平面的法向量与平面的法向量平行，故选项A正确；对于选项B:若，则此时无解，不满足平面的法向量与平面的法向量平行，故选项B错误；对于选项C:若，则此时，满足平面的法向量与平面的法向量平行，故选项C正确；对于选项D:若，则此时无解，不满足平面的法向量与平面的法向量平行，故选项D错误.故选：AC.10.若实数，满足，以下选项中正确的有（）A.的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为15 D.的最小值为【答案】AD【解析】对于选项A:因为实数，满足，所以，即，当且仅当时，即时，取得最大值，故A正确；对于选项B:因为实数，满足，所以，当且仅当时，即时，取得最小值，故B错误；对于选项C:因为实数，满足，所以，当且仅当时，即时，又，所以，故C错误；对于选项D:因为实数，满足，所以，则，当且仅当时，即时，取得最小值为，故D正确；故选：AD.11.已知圆C：，P是直线l：上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆C相切于点A，B，则（）A.圆C上恰有两个点到l的距离为B.的最小值是C.直线AB恒过点D.四边形ACBP面积的最小值为【答案】ACD【解析】对于A，由圆，则圆心，半径，由直线，则圆心到直线的距离，由，则，作图如下：可知圆上恰有两点符合题意，故A正确；对于B，作图如下：由点在直线上，则设，，由与圆相切于，则，以为圆心，以为半径的圆的方程为，圆与圆的方程作差可得直线，圆心到直线的距离为，，当时，取得最小值，故B错误；对于C，由B可知直线，整理可得，令，解得，则直线过定点，故C正确；对于D，取得最小值，此时，，由A可知圆心到直线的距离为，则的最小值为，四边形的面积最小值为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.等差数列中，为其前项的和．若，，则_______．【答案】【解析】由等差数列的性质可知，数列成等差数列，且公差，∴，即，则，则.故答案为：72.13.若过点作圆的切线，则切线方程为___________.【答案】或【解析】由题意可知，，故在圆外，则过点做圆的切线有两条，且切线斜率必存在，设切线为，即，则圆心到直线的距离，解得或，故切线方程为或．故答案为：或．14.已知直线与抛物线交于两点，且交于点（为原点），点的坐标为，则______.【答案】【解析】设，因为点的坐标为，所以，由于，所以，则直线，联立，消去，得，故，由于，则，因此，故，因此，解得.故答案为：2四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.顶点是，，．（1）求边上的高所在直线的方程；（2）求过点A，B，C的圆方程．解：（1）直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为，故边上的高所在直线的方程为，即.（2）设圆的方程为，将，，代入得，解得，故圆的方程为.16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.（1）求A；（2）若a=2，的面积为，求b，c的值.解：（1）由及正弦定理得因为，所以.由于，所以.又，故.（2）由题得的面积，故①.而，且，故②，由①②得.17.如图，在多面体中，平面，，，，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．（1）证明：取的中点，连接，因为为的中点，所以且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则有，令，得，所以，所以点到平面的距离为.18.已知等比数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数组成一个公差为等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由.解：（1）设等比数列的公比为，，时，，两式相减得，即，所以，令得，即，解得，所以.（2）不存在，理由如下：由（1）得，，在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，则，即，则，假设在数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列，则，，即，因为成等差数列，所以，所以，即，即，联立解得，与题设矛盾，故在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列.19.已知椭圆C：的左焦点为F，若C的焦距为且经过点，过点F的直线交椭圆于P，Q两点.（1）求椭圆方程；（2）若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.解：（1）