江苏省南京市协同体九校2026届高三上学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市协同体九校2026届高三上学期期中联考数学试题一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】复数满足，则，所以的虚部为.故选：C.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】集合，，则.故答案为：.3.记为等差数列的前项和，若，则（）A.54 B.90 C.84 D.100【答案】D【解析】设等差数列的公差为，则有，解得，则.故选：D.4.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的半径为（）A.2 B. C. D.3【答案】B【解析】记圆锥的底面半径为，母线长为，则，解得.故选：B.5.已知的展开式中第3项与第5项的系数相等，则奇数项的二项式系数之和为（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】C【解析】因为的展开式通项为，所以展开式中各项的系数等于相应的二项式系数.由题可知，，由组合数性质得.所以奇数项的二项式系数之和为.故选：C.6.已知函数（且），若，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】对于函数（且），因,由可知函数在上单调递减，故不等式，解得.故选：A.7.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以，，，故选：D.8.若函数有个零点，则正数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数在上单调递增，则函数在上单调递增，而，则，使得，函数在上有个零点，由函数有个零点，得函数有个零点，由，得，需使，解得，所以正数的取值范围是.故选：A.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.9.下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BD【解析】A：若，此时，错，B：由，不等式同向相加符号不变，则，对，C：若，此时，错，D：由，则，故，对.故选：BD.10.函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.该函数的解析式为C.将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数D.当时，函数的值域为【答案】AC【解析】由函数的图象，可得且，可得，则，所以，又由，即，因为，所以，所以，所以B不正确；又由，所以A正确；将函数的图象向右平移个单位得到，可得，可得为奇函数，即将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数，所以C正确；当时，可得，当时，即时，函数取得最小值，最小值为；当时，即时，函数取得最大值，最大值为，所以当时，函数的值域为，所以D错误.故选：AC.11.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（）A.B.的图象关于对称C.是以2为周期的周期函数D.【答案】ABD【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，且.是定义在上的偶函数，所以.对A：因为，令得，，所以，故A正确；对B：由.所以，所以，所以的图象关于成轴对称，故B正确；对C：因为，所以2不是函数的周期，故C错误；对D：因为可得，所以，所以.又，所以，所以，依次类推，可得，.所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案填写在答题卡相应位置上.12.函数在处的切线方程为，则的值为_______.【答案】【解析】将代入切线方程，得，即切点为，因为切点也在函数的图象上，故，解得.故答案为：2.13.秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有，，的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，则这人患了流感的概率为_______________.【答案】【解析】用表示这个人患了流感，分别用，，表示这个人来自地区，则，，.，，.所以.故答案为：.14.已知关于的不等式的解集为，其中，则的取值范围是________________.【答案】【解析】由题设是的两个根，且，则且，所以，而，当且仅当时取等号，而时不满足，所以，因在上单调递增，所以，即的范围是.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若的面积为，且，求的最小值.解：（1）由正弦定理，，可转化为，在三角形中，恒成立，两边同除，得，即，则，则或，则或（舍去），故.（2）由题可知，为的中点，为的三等分点，且.又，.由，可得.，当且仅当时，即时，等号成立.故的最小值为.16.已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点.（1）求椭圆的方程；（2）已知，过椭圆的左焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，求的面积.解：（1）由题意有：，所以椭圆的方程为：；（2）由题意有：左焦点，所以过且倾斜角为的直线的方程为：，所以，设，所以，所以，又点到直线的距离为：，所以.17.如图，在四棱锥中，四边形为菱形，.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：设，则是和的中点，连接，四边形是菱形，，，是等边三角形，，，，在中，，即，，即，又四边形是菱形，，平面，平面，平面.（2）解：，，由（1）得两两互相垂直，故以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，可得，设平面的一个法向量，则，得，故，同理，平面的一个法向量，则，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数的最小值为0，求的值.解：（1）当时，，则，当时，，当时，，所以，在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，有极小值，无极大值.（2）若，则时单调递减，时单调递增；若，则时单调递增，时单调递减，时单调递增；若，则时单调递增；若，则时单调递增，时单调递减，时单调递增（3）令，当时，，函数在上单调递增，故无最小值所以，由得，所以时，单调递减，时，单调递增，所以，所以.19.已知数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）令①证明：；②表示不超过的最大整数，如，设