辽宁省大连市2026年高三上学期双基模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省大连市2026年高三上学期双基模拟考试数学试题一､单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，则，故选：A.2.已知，则（）A.1 B. C.2 D.4【答案】B【解析】，，，.故选：B.3.双曲线的离心率为（）A. B.2 C. D.4【答案】A【解析】假设双曲线实轴长，虚轴长，焦距为，由双曲线，可知，故双曲线离心率，故选：A.4.函数图象的一个对称中心是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知，余弦函数的对称中心为，令，解得，则函数的对称中心为，排除AC选项，时，，对应选项，对于选项，当时，，故点不在函数图象上，不是对称中心，错误.故选：D.5.已知是定义在上的奇函数，且对任意都有.当时，，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由可知，是一个周期为4的周期函数，所以，将代入，得，又因为是定义在上的奇函数，故，所以，所以，所以.故选：B.6.记为数列的前项和，已知.当最大时，（）A.9 B.10 C.9或10 D.10或11【答案】C【解析】由可得数列为等差数列，又可得，因此；所以公差满足，因此；即，又因为，所以当或时，取得最大为45.故选：C.7.已知点是圆上一点，直线与圆相交于，两点，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，直线可化为，所以直线过定点；圆的圆心为，半径为，所以，所以定点在圆的内部；如上图（左），作的中点，则，所以；如上图（中），在中，，当与重合时取等号，此时；如上图（右），在中，，当与共线时取等号；所以.当与重合，且，共线时取等号.故选：D.8.已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意得，令，由对勾函数可知，函数在上单调递增，则，而，，令，因为，所以，因为在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，因为，所以，所以，令，可得,所以函数在上单调递增，故，即，所以，所以存在实数，使得，当时，，当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因为，，，，所以在区间上恒成立，故，综上，故A正确.故选：A.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.设是空间中四个不同的点，下列命题正确的是（）A.若与是异面直线，则与是异面直线B.若，则C.若，则D.若，则【答案】AC【解析】对于A，假设与是共面直线，则在同一个平面内，所以与是共面直线，与题设与是异面直线矛盾，故A正确；对于B，因为，所以点都在的垂直平分面上，但与的长度无法确定，故B错误；对于C，由B知，点都在的垂直平分面上，所以，故C正确；对于D，因为，所以与的位置有平行、相交或异面，故D错误.故选：AC.10.若抛物线的焦点为，过的直线与相交于两点，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由题意可得抛物线的焦点为，准线，设过的直线为，，则，，，由韦达定理可得，，，，对于A，，因为，所以，即，故A正确；对于B，，当，即时，有最小值为，即，故B错误；对于C，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线定义可知，，所以，当且仅当三点共线时，等号成立，此时，因为直线与相交于两点，若，则直线与轴平行，不满足题意，所以，故C正确；对于D，因为，，所以，因为，所以，故D正确；故选：ACD.11.已知集合，其中.定义向量集，若对任意，存在，使，称集合具有性质，则（）A.集合具有性质B.当时，具有性质的集合有无数个C.若集合具有性质，且，则D.已知集合具有性质，且，若，则有穷数列的通项公式为【答案】ABD【解析】因为，所以，因为，所以对任意，存在，使，即集合具有性质，故A正确；当时，令，，则，因为，所以对任意，存在，使，即集合具有性质，因为正数有无数个，所以具有性质的集合有无数个，故B正确；若集合具有性质，则取，则只可能是根据，依次解得：，因为，且要满足集合中元素互异性，所以,检验：当时，，因为，所以对任意，存在，使，即集合具有性质，当时，，因为，所以对任意，存在，使，即集合具有性质，故C错误；由C选项可知：满足，此时假设满足题意，则取，要使其存在正交向量，即，因为，所以必须为负数，即，此时，由，逐一检验可知，只有时，，符合，以此类推可得：有穷数列的通项公式为，下证明充分性：对于任意且不妨假设，总存在满足，有穷数列的通项公式为,故D正确；故选：ABD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为________．【答案】【解析】因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，所以圆锥的底面半径，母线长，所以圆锥的侧面积.故答案为：.13.已知曲线在点处的切线与轴平行，则点的坐标为__________.【答案】【解析】易知，设，所以曲线在点处的切线斜率为，由题意可知，解之得或，当时，，此时切点在x轴上，不合题意；当时，；所以.故答案为：.14.连续抛掷一枚质地均匀的硬币（正面向上和反面向上的概率均为），当向上的结果出现“正面-反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷50次，向上的结果没有出现“正面-反面”或“反面-正面”，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为，若（为正整数），则的最小值为__________.【答案】3【解析】抛掷总次数，其中，.所以相减得.所以，所以正整数的最小值为3．故答案为：3.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计月用电量样本数据的中位数；（3）在该小区所有居民用户中随机抽取一用户，已知的月用电量落在区间中，估计的月用电量恰好落在区间中的概率.解：（1）频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1，每组的组距为50，根据上述性质可得：,解得；（2）首先计算前几组的频率：区间的频率：，区间的频率：，区间的频率：，前两组频率之和为，前三组频率之和为，所以中位数在内，设中位数为m，则，解得；（3）先计算区间的频率：区间的频率：，区间的频率：，区间的频率：，所以区间的频率为，区间的频率为0.18，M的月用电量落在区间中时，恰好落在区间中的概率为.16.如图，已知四棱锥的底面为正方形，底面，设平面与平面的交线为直线.（1）证明：；（2），点在直线上.（i）若，且点均在球的球面上，证明：点在球的球面上；（ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.（1）证明：在正方形中，，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以；（2）以点为原点，为轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，（i）证明：因为点在直线上，设，因为，则，即，设点所在球的球心，则，即，解得，即球心，半径为，又，所以点在球的球面上；（ii）解：设，且，设平面的法向量为，则，可取，记直线与平面所成的角为，则，解得或，所以的长为或.17.已知与，点C与点在直线的同侧，且边与边相交于点，为中点，，，.（1）若平分，求；（2）若，求.解：（1）因为平分，所以，又因为为中点，且边与边相交于点，所以在中，是的平分线且过对边的中点，故是等腰三角形，即，在中，由余弦定理得：，，所以，，则在中，，，，由余弦定理得：，解得，又因为，则，所以，同理，在中，，，，由余弦定理得：，所以.（2）以为原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示：由图可知坐标为，因为，，得坐标为，又因为为中点，由中点坐标公式得出点坐标为，设点坐标为，由和，得出点坐标为,所以，，则，所以，所以.18.已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线（斜率存在且不为0）与椭圆相交于两点，的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）过两点分别作椭圆的切线，设与交点为.（i）求点的轨迹方程；（ii）记直线的斜率分别为，证明：为定值.（1）解：由题意可设，则，根据椭圆的定义可知的周长为，所以，即椭圆方程为；（2）设点在椭圆上，易知，所以，即，当且仅当时取得等号，即椭圆上有且仅有一点在直线上，所以过椭圆上一点的切线方程为：；（i）解：由上知，可设l方程为，，而直线斜率存在且不为0及椭圆的对称性可知，则分别为，联立可得是定值，又作差可得，整理得，即，所以M点在定直线上；（ii）证明：易知，联立得，所以，则，是定值，证毕.19.已知函数.（1）求的单调区间；（2）设，函数有四个零点，且.（i）当时，证明：；（ii）证明：.（1）解：函数定义域为，(当且仅当时取等号)，所以的单调递减区间为,无单调递增区间.（2）证明：