辽宁省丹东市2026届高三上学期期末教学质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省丹东市2026届高三上学期期末教学质量监测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，函数的最小正周期是.故选：B.2.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，，则ABD错误，C正确，故选：C.3.（）A.4i B. C.4 D.【答案】D【解析】.故选：D.4.已知向量，，若，则（）A. B.4 C. D.5【答案】C【解析】因为，所以，即，所以.故选：C.5.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，又故正确.故选：.6.甲乙丙丁戊5名同学站成一排拍照，若甲不站在两端，且乙和丙相邻，则不同的排列方式共有（）A.12种 B.24种 C.36种 D.48种【答案】B【解析】第一步：捆绑乙、丙（处理相邻条件）由于乙和丙需要相邻，将乙、丙看作一个整体，这两人的内部顺序有种排列方式；第二步：捆绑乙、丙后，原本的5名同学等价于4个“元素”（乙丙整体、甲、剩余2名同学）．需满足“甲不站两端”：4个位置中，两端位置不能选，因此甲有中间2个位置可选，选法为种；第三步：排列剩余元素确定甲的位置后，剩余3个元素（乙丙整体、剩余2名同学）在剩下的3个位置上全排列，排列方式为种；根据分步乘法计数原理，不同的排列方式共有种．故选：B.7.已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若线段的中点为，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设，，则，因此直线的方程可表示为，已知双曲线的渐近线方程为，因此点满足，将两式作差，整理得，所以，因此直线的方程可表示为，即为.故选：D.8.设函数是奇函数，若，，则（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】由，令得，即．又令得，即，因为是奇函数，所以，所以，因此．故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.在正四棱柱中，点分别是棱的中点，则下列命题正确的是（）A. B.C.平面 D.平面【答案】BCD【解析】对于A，因为点分别是棱的中点，所以,即为平行四边形，所以,所以即为异面直线所成的角，在正四棱柱中，由点分别是棱的中点，可得,则,即三角形为等腰三角形，不可能为直角，即A错误；对于B，由平面,平面,所以，又,且,平面,所以平面，又平面，所以，B正确，对于C，因为，所以为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，C正确，对于D，由点分别是棱的中点，可得，又平面，平面，所以平面，又,又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面，平面，所以平面，D正确，故选：BCD.10.已知直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，与的准线交于点，则下列结论正确的是（）A. B.C.以为直径的圆与相交 D.【答案】AB【解析】对于A：由过的焦点，得，A正确；对于B：由得，设，，则所以，故，B正确；对于C：因为中点到准线距离等于，所以以为直径的圆与相切，C错误；对于D：由，，得．，同理，所以，，D错误．故选：AB.11.已知的三条中线，，交于点，，，当的面积取最大值时，下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由，，得，A对，由，，易得，当且仅当时等号成立，故取得最大值时，则，B错，由B项可得，，所以，故，C对．因，由B项可得，，故，D对.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.底面直径与母线长均为2的圆锥，其侧面积为________．【答案】【解析】由题意可知底面半径，母线长，所以其侧面积为，故答案为：.13.若指数函数满足，则不等式的解集为________．【答案】【解析】设，则，即，可得，由指对互化及对数运算性质可得，即，解得．所以.不等式即，解得，即不等式解集为，故答案为：.14.已知有两个极值点，，则__________．【答案】【解析】，由题意是方程的两个根，所以，是关于的方程的两个根，所以故因此．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.记为等差数列的前n项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）证明：．（1）解：设首项为，公差为，由题意，解得，所以；（2）证明：由（1）得，故，所以，而，于是.16.在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图．（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者年龄位于区间的概率；（3）已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间的人口数占该地区总人口数的16%，从该地区选出1人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率）．解：（1）根据频率分布直方图，该地区这种疾病患者年龄的样本平均数为，故该地区这种疾病患者平均年龄的估计值为；（2）根据频率分布直方图，该地区这种疾病患者的年龄位于区间的频率为，故该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率估计值为；（3）从该地区中任选一人，设表示“选到的人年龄位于区间”，表示“选到的人患这种疾病”，则，，根据频率分布直方图得，故所求概率为.17.已知函数．（1）当时，求在处的切线方程；（2）当时，求在上的最大值；（3）若在上单调递增，求实数的取值范围．解：（1）当时，，，所以，，则在处的切线方程为；（2）当时，．若，则；若，则，故在单调递增，在单调递减，所以时，取最大值；（3）由题意，，即，当时，不等式成立，当时，不等式等价于，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，综上，实数的取值范围为.18.在等腰梯形中，，（如图1），将沿翻折至（如图2），其中为动点．（1）若，证明：平面平面；（2）若二面角的大小为时．求三棱锥的体积；（3）当二面角的正弦值取得最大值时，求的长．（1）证明：由题意且，设且为锐角，则，所以，即，所以，则，故，所以，故，所以，因为，，平面，所以平面，由平面，所以平面平面；（2）解：法一：以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系，所以，取的中点，连接，则，设，其中，且，，设平面法向量为，则，取，则，由平面法向量为，则，所以，故，而，所以三棱锥的体积；法二：分别取的中点，，连接，，，由，，得，因为，故是二面角的平面角，即，由、，，平面，所以平面，平面，则平面平面，平面内过作于，平面平面，所以平面，由，得，因此三棱锥的体积；（3）解：法一：，设平面的法向量为，所以，取，则，因为，所以时取最大值，因此二面角正弦值的最大值为，此时，所以；法二：因为，平面平面，平面，所以二面角等于直线与平面所成角，平面内，过点作面于，则，设点到平面的距离为，由（1）知，当且仅当平面平面时取等号，而，平面，平面平面，所以平面，平面，则，故直线与面所成角的正弦值，因此二面角正弦值的最大值为，此时.19.记椭圆的焦距为，且过点，点为下顶点．（1）求的方程；（2）已知点不在轴上，点在射线上，．（ⅰ）设，用，表示点的坐标；（ⅱ）设为坐标原点，直线的斜率为直线的斜率的2倍，，是上的点，求面积的最大值．解：（1）法一：由题意，的焦点坐标分别为，，根据椭圆的定义，得，又，代入，得，故椭圆的方程为；法二：由题意，解得，故椭圆的方程为；（2）（i）法一：由（1）得，因为与同向，所以，因为，，所以，解得，因此；法二：由（1）得，故，，由题意与