辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若是空间的一个基底，则下列各组向量中，与不能构成空间的一个基底的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】假设，则，，矛盾，故与，不共面，可以构成空间的一个基底，故A错误；，与共面，不能构成空间的一个基底，故B正确；假设，则，与矛盾，故与，不共面，可以构成空间的一个基底，故C错误；假设，则，，矛盾，故与，不共面，可以构成空间的一个基底，故D错误．故选：B．2.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，，则与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直三棱柱中，平面.又，所以两两垂直...所以，..所以与所成角的余弦值是.故选：B.3.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，则的欧拉线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以的重心，即，又因为，，所以，所以，所以的外心为的中点，即，所以直线的方程为，即，又三角形外心、垂心和重心都在同一条直线上，所以的欧拉线方程为.故选：B.4.设集合，集合（），当时，则r的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由得，所以集合表示以点为圆心，以2为半径的左半圆，与轴的交点为，，集合表示以点为圆心，以为半径的圆及其内部，当圆过点时，此时，所以，所以当时，则的取值范围是．故选：B.5.已知双曲线的左右两个焦点分别为、，过右焦点作直线，交右支于、两点，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，即，且，所以，解得，所以在△中，由余弦定理可得，即，即，解得.故选：C.6.已知定义在上的函数的导数为，且有，若，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设，所以，因为，所以，所以在上单调递增，因为，，，且，所以，所以，故选：A.7.点是曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】因为，令，所以，易得函数在上单调递增，为零点，此时M的坐标为，由点到直线的距离公式可得此时M到直线的距离为，故点到直线的距离的最小值为.故选:C.8.已知P为曲线M：上的动点，，，，，则下列说法错误的是（）A.B.面积的最大值为C.直线与的斜率之积为定值D.当，时，【答案】D【解析】因为，.所以点的轨迹为椭圆位于轴下方的部分，包含与x轴的交点，且，，.所以，为椭圆的焦点，，为椭圆的左右顶点.如图：根据椭圆的定义，，故A正确；当点位于椭圆下顶点时，的面积最大，为，故B正确；设，则，，则为定值，故C正确；当，时，，因为，故D错误.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（）.A.异面直线与所成角为B.平面C.三棱锥的体积不变D.直线与平面所成角正切值的取值范围为【答案】ACD【解析】对于A，因为正方体中，且为等边三角形，故异面直线与夹角为，故A正确；对于C，因为平面，平面，所以平面所以为定值，故C正确；对于D，建立如图所示的直角坐标系，设正方体的棱长为1，设，，，，，则，所以，由正方体的性质知：平面，平面，平面，故平面的法向量为，对于B，不平行，所以平面不成立，B错误；直线与平面所成角正弦值为，因为，，所以当时取得最大值，因，则，，若或时，取得为，同法可得，所以，则得，故D正确.故选：ACD.10.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线当就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（）A.曲线围成的图形有3条对称轴B.曲线围成的图形的周长是C.曲线上的任意两点间的距离最大值是D.若是曲线上任意一点，的最小值是【答案】BC【解析】当，时，曲线的方程可化为；当，时，曲线的方程可化为；当，时，曲线的方程可化为；当，时，曲线的方程可化为，所以曲线的图象如图所示：由图可知曲线围成的图形有4条对称轴：，，，，故选项A错误；对于B，曲线由4段圆弧组成，在中，，，由余弦定理可得，所以，故曲线围成的图形的周长为，故B正确；对于C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故选项C正确；对于D，由图可知：点到直线的距离，由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为，故的最小值是，故选项D错误.故选：BC.11.已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，，，且，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】方法一：选项正误原因A×由题意可知为上的奇函数，即，令或0（舍去）．B√令．C√由条件可知，则有，所以，则．D√由C选项得，即的一个周期为，所以．方法二：由题意可设，则，显然符合条件．对于A，，错误．对于B，，正确．对于C，，正确．对于D，，所以，正确．故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知正方体的棱长为1，点在正方体内部且，则到直线的距离为_____________.【答案】或【解析】如图，以A为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，又，即，，则，，所以点到直线的距离为．故答案为：．13.设圆位于抛物线与直线所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆的半径能取到的最大值为_______________.【答案】【解析】依题意，当圆的半径取最大值时，圆与抛物线、直线都相切，由对称性设，则半径，圆的方程为，由，得，，因此，，所以圆的半径能取到的最大值为.故答案为：.14.设，若函数在区间上单调，则的取值范围是__________.【答案】【解析】因为，所以，设，则，所以时，，故在上单调递减，即在上单调递减，又，所以时；时，所以区间上单调递增，在区间上单调递减，故，所以的取值范围是.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.已知向量，．（1）求与的夹角；（2）若与互相垂直，求实数t的值．解：（1）由，得，则，，，因此，而，则，所以与的夹角为.（2）依题意，，，由与互相垂直，得，即，所以.16.直线过点，且与直线平行．（1）求直线的方程；（2）已知圆的圆心在直线上，且经过点和点，求圆的标准方程．解：（1）因为与直线平行，所以的斜率为2，又直线过点，所以直线方程为，即.（2）直线的斜率为，则线段的中垂线的斜率为，又线段的中点为，则线段的中垂线方程为，即联立，解得，即圆心的坐标为，又半径，则圆的标准方程为．17.已知函数（1）求出函数单调区间；（2）若方程在有解，求实数的取值范围.解：（1）定义域为R，，令得或，令得，故单调递增区间为，，单调递减区间为；（2）等价于在有解，由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减，其中，，，，故，在有解，故.18.如图，在三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，为的中点，，，且平面.（1）求证：底面；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）求平面与底面所成夹角的余弦值.（1）证明：因为是的中点，，所以.在中，，，，所以，所以，即，因为平面,平面,所以，，底面，底面所以底面；（2）解：以为原点，为轴，平行于的方向为轴，垂直于平面的方向为轴，建立空间直角坐标系，得：，，，由（1）知底面且，故，，故，，易知平面的法向量，设与平面所成角为；，（3）解：底面的法向量，设平面的法向量.，令，解得，故；设平面与底面所成夹角为，.19.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且，O为坐标原点．（1）求C的方程；（2）若直线与C的准线交于点P，过点P作直线交C于M，N两点，且直线与的倾斜角互补．（i）求直线所过定点的坐标；（ii）证明：A，B，M，N四点共圆．（1）解：由题知，设两点的坐标分别为，显然直线的斜率为0时不合题意，则设直线的方程为，联立方程消去整理得，则，，，所以，所以，解得，所以的方程为．（2）