辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】由截距的概念，令，可得，即，故直线在轴上的截距为，故选：A.2.在空间直角坐标系中，已知点，若点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得，则.故选：A.3.双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（）A.2 B.6 C.2或6 D.4【答案】B【解析】对于双曲线，，，，设双曲线的两个焦点为，，不妨设点到的距离为，已知，由双曲线定义，即，解得或，在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为，，这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为，所以舍去，因此，即点到另一个焦点的距离等于.故选：B.4.某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（）A.110种 B.100种 C.90种 D.80种【答案】B【解析】若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有种；若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有种；所以满足条件的不同的派遣方案有种．故选：B．5.如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点.底面，，，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以点为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，则.又，故点到平面的距离为.故选：B.6.有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的，，，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（）A.0.036 B.0.040 C.0.042 D.0.048【答案】C【解析】依题意，定义事件“零件为第台车床加工”，事件“零件为次品”；所以即任取一个零件是次品的概率为，故选：C.7.已知为满足能被9整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最小的项为（）A.第6项 B.第7项 C.第11项 D.第6项和第7项【答案】A【解析】，，，则，显然为正整数，能被9整除，又且能被9整除，能被9整除，，则，因为是满足条件的正整数的最小值，而满足条件的，故取时，有最小值，所以，所以，的展开式中，二项式系数最大的项为第6项和第7项，又的展开式的通项公式为：，展开式系数为，要使系数最小，则系数须为负值（即为奇数），且其绝对值最大.当为奇数时，在时取得最大值，故系数最小的项为第项.故选：A.8.在正中，为中点，为平面内一动点，且满足，则的最大值为（）A B. C. D.1【答案】A【解析】依题意，以为坐标原点，以为轴，以为轴建立直角坐标系如图1，不妨设正三角形的边长为2，则，设，则，，即，即，点轨迹为：，则，所以，当时，，即；当时，令，则表示与连线的斜率，如图2，且，设直线与圆相切，直线化为，则圆心到直线距离，解得或，故，则当时，取得最大值为的最大值为；综上：的最大值为．故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下一面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”；事件为“第一次记录的数字为奇数”；事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（）A.事件与事件是相互独立事件 B.事件与事件是互斥事件C. D.【答案】AC【解析】对于A，对于事件A与事件B，可得，且，即事件A与事件B是相互独立事件，故A正确；对于B，事件与事件不是互斥事件，因为它们有可能同时发生，如第一次记录的数字为1，第二次记录的数字为4，故选项B错误；对于C，与相互独立，所以，故C正确.对于D，因为，，，所以，而事件等价于事件，即第一次记录的数字为奇数且第二次记录的数字为偶数，可得，故D错误.故选：AC.10.已知抛物线的焦点为F，点在C的内侧，点B是抛物线C上的一个动点，且的周长的最小值为，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，P为线段MN的中点，则下列结论正确的是（）A.B.若，则B点的坐标为或C.若，则点P到y轴的距离为3D.【答案】ACD【解析】如图，过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为.由抛物线，得准线的方程为，则由抛物线的定义可知，所以的周长为，当且仅当三点共线，即点与点重合时取等号，因为，，所以，解得，故A正确设点的坐标为，且，，解得，，解得，点的坐标是或，故B错误.设点，则，解得，又为线段的中点，则，所以点P到y轴的距离为，故C正确.依题意，过点F的直线的斜率不为0，设过点F的直线方程为，由消去x，得，显然，，则，，故D正确故选：ACD.11.如图，若是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列结论正确的是（）A.当在平面内运动时，四棱锥的体积不变B.当在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是C.若是棱的中点，当在底面ABCD内运动，且满足平面时，PF长度的最小值是D.使直线AP与平面ABCD所成的角为的点的轨迹长度为【答案】AC【解析】对于A，当在平面内运动时，P到平面的距离不变，平面的面积不变，所以四棱锥的体积不变，故A正确；对于B，以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示，则，设，则，设与所成角为，，则，因，所以，则，所以，因为在上单调递减，所以，故B错误；对于C，，设，则，设平面法向量，则，即，令，则，所以，因为平面，所以，则，所以，即当时，PF长度的最小值是，故C正确；对于D，已知直线AP与平面ABCD所成的角为，若点P在平面和平面内，因为，且为最大角，所以点P仅在点，处；若点P在平面内，则点P的轨迹为；若点P在平面内，则点P的轨迹为；若点P在平面内，作平面ABCD，如图所示，因为，所以，因为，所以，所以，所以点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆的四分之一，所以点P的轨迹长度为；综上，点P的轨迹总长度为，故D错误．故选：AC．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数是偶数记为事件A，掷出点数为4记为事件B，则______.【答案】【解析】掷出点数是偶数记为事件，有3种情况：2，4，6，所以，由于掷出点数为4记为事件，所以掷出点数是偶数且掷出点数为4的事件为，所以，所以.故答案为：.13.设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4.．又X的均值，则＝.【答案】【解析】因为，所以，又因为，所以，解得，，所以，故答案为：.14.已知椭圆为坐标原点，直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，且，若直线与椭圆交于点，且，则椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】设，则，所以，由得，所以.所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.将代入椭圆方程中，得到，化简得，又满足，即，根据韦达定理可得，所以①.由得，所以直线的斜率为.而，解得②.①②联立得，化简得.所以离心率为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32．（1）求；（2）求展开式中含项的系数；（3）求展开式的第四项．解：（1）已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为，即，解得：.（2）二项式展开式的通项为，令，解得：，所以当时，，故展开式中的系数为.（3）根据（2）可得：二项式展开式的通项为，令，可得：，所以展开式的第四项为.16.某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：使用年限（单位：年）24568失效费（单位：万元）34567（1）根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱．（已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001）（2）求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．附：样本的相关系数，经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．解：（1）由表知，，，，，，，故，认为与线性相关性很强；（2）由（1）知，，又，，故关于的线性回归方程为，当时，，即估算10年的失效费为8.5万元．17.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，离心率为.P为椭圆C上异于A，B的任意一点，面积的最大值为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于G，H两点，设点，证明：的平分线在x轴上.（1）解：当点是椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，为，由题意得．因为离心率，所以，所以．因为，所以．解得，所以，所以椭圆的标准方程是．（2）证明：当直线的斜率不存在时，由椭圆与直线的轴对称性知，点，关于轴对称，又点在轴上，所以的平分线在轴上．当直线的斜率存在时，设为，由题意知，．由（1）知，点，则直线的方程为．由消去，整理得．恒成立，设，则．设直线的斜率分别为．因为点，所以，所以.将代入，得，所以直线关于轴对称，即的平分线在轴上．综上，的平分线在轴上．18.如图甲所示，已知在长方形中，，且为BC的中点，将图甲中沿折起，使得，如图乙.（1）求证：平面平面AECD；（2）若点为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值；（3）若点是线段上的动点，且满足，若平面与平面AECD的夹角为，求的值.（1）证明：在矩形中，因为，且为的中点，可得，所以，所以，所以，因为，，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，过点作直线垂直于平面，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得，则.，设平面的一个法向量，则，取，可得，所以，又由平面的一个法向量，设平面与平面所成夹角为，则，所以平面与平面AEF所成夹角的余弦值为.（3）解：由，可得，其中，则，设平面的一个法向量，则，取，可得，所以，又由平面的一个法向量，设平面与平面所成夹角为，则，解得，19.某种器件由若干个相同的模块构成，每个模块由3个元件和2盏指示灯按如图方式联接.已知元件正常工作的概率为，元件，正常工作的概率均为，若指示灯亮表示该指示灯所在线路能正常工作.线路是否正常工作仅由元件决定.指示灯是否正常对电路不影响.（1）记事件表示“指示灯亮”，事件表示“指示灯亮”，若时，①求；②求一个模块中恰好有一个指示灯亮的概率；（2）该器件由上述2个相互独立的模块构成，只有在器件中至少有一个模块的指示灯亮的情况下，器件才能正常工作.若该器件中再添加2个模块，构成新的器件（共4个模块），新器件至少有2个模块的指示灯亮的情况下，器件才能正常工作，试比较新器件与原器件正常工作的概率，并说明理由.解：（1）记事件表示