哈尔滨工程大学《量子力学》课件-第6章散射

Chapter.6

散射哈尔滨工程大学《量子力学》散射过程：Zθds靶粒子的处在位置称为散射中心。

方向准直的均匀单能粒子由远处沿z轴方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射开去，此过程称为散射过程。散射后的粒子可用探测器测量。

6.1碰撞过程散射截面Chapter.6.Scattering一、散射截面散射角：入射粒子受靶粒子势场的作用，其运动方向偏离入射方向的角度。弹性散射：若在散射过程中，入射粒子和靶粒子的内部状态都不发生变化，则称弹性散射，否则称为非弹性散射。入射粒子流密度N：单位时间内通过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入射粒子数，用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称为入射粒子流强度。

6.1散射截面(续1)Chapter.6.Scattering设单位时间内散射到（

，

）方向面积元ds上（立体角d

内）的粒子数为dn，显然散射截面：综合，则有：或

（1）比例系数q(

，

)的性质：q(

，

)与入射粒子和靶粒子（散射场）的性质、它们之间的相互作用、以及入射粒子的动能有关，是

，

的函数

6.1散射截面(续2)Chapter.6.Scatteringq(

，

)具有面积的量纲故称q(

，

)为微分散射截面，简称为截面或角分布总散射截面：

量子力学的任务是从理论上计算出，以便于同实验比较，从而反过来研究粒子间的相互作用以及其它问题。

6.1散射截面(续3)Chapter.6.Scattering由于N、可通过实验测定，故而微分散射截面可通过实验数据直接求得，通常说微分散射截面为实验结果。[注]（2）令方程（2）改写为Chapter.6.Scattering

现在考虑量子力学对散射体系的描述。设靶粒子的质量远大于散射粒子的质量，在碰撞过程中，靶粒子可视为静止。取散射中心A为坐标原点，散射粒子体系的定态Schrödinger方程（3）

6.1散射截面(续4)Chapter.6.Scattering二、散射振幅由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从微观角度看，可以认为，因此，在计算时，仅需考虑处的散射粒子的行为，即仅需考虑处的散射体系的波函数。

设时，，方程（3）变为（4）令（5）将（4）式写成（6）

6.1散射截面(续5)Chapter.6.Scattering由（7）

6.1散射截面(续6)Chapter.6.Scattering在的情形下，此方程简化为

方程（7）有两个特解对应

代表由散射中心向外传播的球面散射波，代表向散射中心会聚的球面波，不是散射波，应略去。类比一维势垒或势阱的散射情况式中为入射波或透射波（散射波），为反射波（散射波）。

对于三维情形，波可沿各方向散射。三维散射时，在处的粒子的波函数应为入射平面波和散射球面波之和。

6.1散射截面(续6)Chapter.6.Scattering（8）为方便起见，取入射平面波的系数，这表明入射粒子束单位体积中的粒子数为1。散射波的几率流密度（9）（10）入射波几率流密度（即入射粒子流密度）

6.1散射截面(续8)Chapter.6.Scattering（11）单位时间内，在沿方向d

立体角内出现的粒子数为

（12）比较（1）式与（11），得到可知，知道了，即可求得，称为散射振幅。所以，对于能量给定的入射粒子，速率给定，于是，入射粒子流密度给定，只要知道了散射振幅，也就能求出微分散射截面。的具体形式通过求Schrödinger方程（2）的解并要求在时具有渐近形式（8）而得出。

6.1散射截面(续9)Chapter.6.Scattering取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴z，整个体系具有轴对称性，显然

与

无关。中心力场下，方程（1）的特解为讨论粒子在中心力场中的散射。（1）粒子在中心力场中的势能为，定态方程

6.2分波法（Partialwaveanalysis)Chapter.6.Scattering分波法是准确的求散射理论问题的方法，即准确的散射理论。Zθds方程（1）的通解为所有特解的线性迭加

（2）

为待定的径向波函数，每个特解称为一个分波，

称为第

个分波，通常称的分波分别为s,p,d,f…分波

6.2分波法（续1)Chapter.6.Scattering由于现在

与

无关(故磁量子数：m=0)，所以，方程（1）的特解可写成（2）代入（1），得径向方程（3）

6.2分波法（续1)Chapter.6.Scattering令代入上方程（4）考虑方程（4）在情况下的极限解令方程（4）的极限形式为了后面的方便起见，这里引入了两个新的常数

6.2分波法（续2)Chapter.6.Scattering由此求得：

（5）将（5）代入（2），得到方程（1）在情形下通解的渐近形式（6）

另一方面，按上节的讨论，在远离散射中心处，粒子的波函数（7）将平面波按球面波展开

（8）

6.2分波法（续3)Chapter.6.Scattering（9）式中是球贝塞尔函数利用（8）、（9），可将（7）写成（10）（6）和（10）两式右边应相等，即

6.2分波法（续4)Chapter.6.Scattering（12）（11）分别比较等式两边和前边的系数，得

可以得到用乘以（12）式，再对

从积分，并利用Legradrer多项式的正交性

6.2分波法（续5)Chapter.6.Scattering即（13）将此结果代入（11）式（14）可见，求散射振幅f(

)的问题归结为求，求

具体值的关键是解径向波函数

的方程（3）

6.2分波法（续6)Chapter.6.Scattering最后得到散射振幅

6.2分波法（续7)Chapter.6.Scattering

的物理意义：

由（8），（9）知，是入射平面波的第个分波的位相；由（6）知，是散射波第

个分波的位相。所以，

是入射波经散射后第

个分波的位相移动（相移）。微分散射截面总散射截面（15）

6.2分波法（续7)Chapter.6.Scattering式中 （17）是第

个分波的散射截面。

6.2分波法（续8)Chapter.6.Scattering即 （16）由上看出：求散射振幅

的问题归结为求相移，而

的获得，需要根据的具体情况解径向方程（3）求，然后取其渐近解，并写为即可得到第个分波的相移，由于每个分波都将产生相移，所以，必须寻找各个分波的相移来计算散射截面，这种方法称为分波法。光学定理（证明见教材P160-P61）

6.2分波法（续9)Chapter.6.Scattering

分波法求散射截面是一个无穷级数的问题。从原则上讲，分波法是散射问题的普遍方法。但实际上，依次计算级数中的各项是相当复杂的，有时也是不可能的，所以只能在一定的条件下计算级数中的前几项，达到一定精确度即可。分波法的适用范围

散射主要发生在势场的作用范围内，若以散射中心为心，以

为半径的球表示这个范围，则时，散射效果就可以忽略不计了。由于入射波的第

个分波的径向函数的第一个极大值位于附近，当

较大时，愈大，愈快，如果的第一个极大值位于，即使在内，的值很小。亦即第

个分波受势场的影响很小，散射影响可以忽略，只有第

个分波之前的各分波必须考虑。所以，我们把分波法适用的条件写成

而的分波不必考虑，愈小，则需计算的项数愈小，当时，，这时仅需计算一个相移即足够了，

6.2分波法（续11)Chapter.6.Scattering

足够小，意味着入射粒子的动能较低，所以分波法适用于低能散射，的分波散射截面可以略去。说明

已知时，可用分波法求出低能散射的相移和散射截面，在原子核及基本粒子问题中，作用力不清楚，也即不知道的具体形式，这时，我们可先由实验测定散射截面和相移，然后确定势场和力的形式和性质，这是研究原子核及基本粒子常用的一种方法。

6.2分波法（续12)Chapter.6.Scattering思考题：什么是分波法？分波法是说入射平面波eikz按球面波展开展开式中的每一项称为一个分波，每个分波在中心力场的影响下，各自产生一个相移。而

的获得需根据的具体形式解径向方程求出，然后取其渐近解，并写成即可得到第个分波的相移，由于每个分波都将产生相移

，所以，计算散射截面时须寻找各个分波的相移，这种方法称为分波法。

6.2分波法（续13)Chapter.6.Scattering

6.5质心系与实验室坐标系Chapter.6.Scattering质心系中两粒子碰撞的问题可归结为一个粒子在力场中散射的问题，使计算比较简单。但是实验结果的测量是在实验室坐标系中进行的。为了比较二者，需要进行坐标系的转换。a：实验室坐标系b：质心系c：不同坐标系散射角的关系

3.5质心系与实验室坐标系（续1)Chapter.6.Scattering实验室坐标系下的质心速度：质心系下的粒子1的碰撞前速度：质心系下的粒子2的