专题57 二项分布、超几何分布、正态分布（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题57二项分布、超几何分布、正态分布

一．选择题（共10小题）1．（2025春•泰安期末）已知随机变量，若，则A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.72．（2025春•安徽期末）随机变量，若，则A．0.1 B．0.5 C．0.2 D．0.33．（2025春•咸宁期末）已知随机变量服从正态分布，且，则的值为A．1 B．6 C．7 D．94．（2025春•攀枝花期末）已知随机变量服从正态分布，若，则A． B． C． D．5．（2025春•梅州期末）某次高二数学调研测试中，考生成绩服从正态分布，若，则从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为A． B． C． D．6．（2025春•沈阳期末）某班有60名同学，一次数学考试（满分150分）的成绩服从正态分布，若，则本班在100分以上的人数约为A．6 B．12 C．18 D．247．（2025春•锦州期末）若X～N（0，1），则P（﹣1≤X≤1）≈0.6827，P（﹣2≤X≤2）≈0.9545，P（﹣3≤X≤3）≈0.9973．今有一批数量庞大的零件，假设这批零件的某项质量指标为Y（单位：毫米），且Y～N（5.40，0.052），现从中随机抽取10000个，其中恰有K个零件的该项质量指标位于区间（5.35，5.55），则K的估计值为（）A．6895 B．8400 C．9545 D．99738．（2025春•保定期末）已知随机变量，且，则A．0.25 B．0.45 C．0.15 D．0.359．（2025春•鼓楼区期末）已知随机变量服从正态分布，若，则A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.110．（2025春•乐平市期末）若随机变量服从正态分布，，，则的最小值为A．8 B．9 C． D．二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025春•资阳期末）已知袋装食盐标准质量为．设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量，，且，，，，则A． B． C． D．（多选）12．（2025•山海关区模拟）在一次问答竞赛中，已知组的成绩与组的成绩均服从正态分布，且，，则A． B． C． D．（多选）13．（2025春•咸阳期末）在一次问答竞赛中，已知组的成绩与组的成绩均服从正态分布，且，，则A． B． C． D．（多选）14．（2025春•崇左期末）若随机变量，，则A． B． C． D．三．填空题（共4小题）15．（2025春•百色期末）已知随机变量服从正态分布，且，则．16．（2025春•信阳期末）随机变量，若，则．17．（2025春•农安县期末）设随机变量服从正态分布，若，则．18．（2025•苏州校级模拟）2025年春节，电影《哪吒之魔童闹海》大卖，使得哪吒成为网络最新顶流．某公司以哪吒为原型设计了小型钥匙扣，其质量服从正态分布N（100，0.01）（单位：g），现抽取500个钥匙扣样本，其中质量在100g～100.2g范围内的个数约为．（结果四舍五入保留整数）参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）＝0.9973．四．解答题（共6小题）19．（2025春•辽宁月考）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据X，如表：性能指标X6677808896产品件数102048193（1）求该项性能指标的样本平均数x的值，若这批零件的该项指标X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x的值，σ2＝36，试求P（74≤X≤92）的值；（2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件．（i）求这件零件是次品的概率；（ii）若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣a≤ξ≤μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.954，P（μ﹣3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.997．20．（2025春•河南月考）在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为X（单位：cm，以下同），且X∼N（20，0.0001）．（1）分别写出E（X），D（X）的值；（2）若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在[19.97，20.03]内的铜棒根数；（3）若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在[19.98，20.03]内的概率．参考数据：若X∼N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．21．（2025春•武威期中）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上的学生有12人．（1）试问此次参赛学生的总数约为多少人？（2）若成绩在80分以上（含80分）为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？附正态分布3σ概率表：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.997322．（2025春•商丘期中）天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利地完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经调研，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标X服从正态分布N（113，144）），航天员在此项指标中的要求为X≥137．为了宣传我国航天事业取得的巨大成就，某校特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动，共有307名学生参加了这次模拟选拔活动．这些学生首先要进行身体指标X的筛查，筛查合格的学生再进行另外4个环节选拔．假设学生通过另外4个环节的概率依次为12，12，13（1）估计这307名学生中符合“X≥137”这个指标的学生人数（四舍五入到个位）；（2）如果符合“X≥137”这个指标的学生，继续进行另外4个环节的选拔，求最终通过学校航天员选拔活动的人数Y的方差．参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973．23．（2025•浦东新区校级三模）某项科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第5次xx1＝2x2＝5x3＝8x4＝9x5＝11yy1＝12y2＝10y3＝8y4＝8y5＝7（1）求成对数据（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5）的相关系数；（2）求特征量y关于x的回归方程，并据此估算特征量x＝10时，y的值；（3）设特征量x作为随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ为5次试验中x的平均数，σ2为5次试验中x的方差．求P（3.84＜X＜13.32）．（本题所有答数精确到0.01．）24．（2025春•龙岗区校级期中）假设某地区高二学生的身高服从μ＝170、σ2＝100的正态分布，即均值为170（单位：cm，下同）．在该地区任意抽取一名高二学生，求：（1）这名学生的身高不高于170的概率；（2）这名学生的身高在区间[160，180]内的概率；（结果精确到0.1%）（3）这名学生的身高不高于180的概率．（结果精确到0.1%）参考数据：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ACCABBBDBB二．多选题（共4小题）题号11121314答案ACDACDADAC一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】由正态分布的对称性求解即可．【解答】解：因为，所以，因为，所以，所以．故选：．2．【答案】【分析】根据正态分布的对称性求解．【解答】解：根据题意可知，，所以．故选：．3．【答案】【分析】由正态分布的对称性计算即可．【解答】解：根据题意可知，正态分布的图象关于对称，又，，解得．故选：．4．【答案】【分析】根据正态分布的对称性即可求解．【解答】解：随机变量服从正态分布，其中均值，根据正态分布的对称性，，即，故．故选：．5．【答案】【分析】根据正态分布的对称性即可求解．【解答】解：根据题意可知，，正态曲线的对称轴为，故．故选：．6．【答案】【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．【解答】解：成绩服从正态分布，，，所以本班在100分以上的人数约为．故选：．7．【答案】B【分析】先由题设求出P（5.35＜Y＜5.55）＝0.84，从而得到K～B（10000，0.84），再求出E（K）即可得解．【解答】解：因为Y～N（5.40，0.052），由正态分布的对称性可得，则K～B（10000，0.84），所以E（K）＝10000×0.84＝8400．所以K的估计值为8400．故选：B．8．【答案】【分析】根据正态分布的对称性计算即可．【解答】解：．故选：．9．【答案】【分析】根据正态分布曲线的性质即可求解．【解答】解：正态分布的对称轴为，因此：，已知，故，整个样本空间的概率和为1，因此：，由于关于对称，故和相等，则，综上，．故选：．10．【答案】【分析】根据正态分布的性质得，，，再应用基本不等式“1”的代换求最小值．【解答】解：若随机变量服从正态分布，，，由正态分布的性质得，则，，，所以，当且仅当时取等号．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】由正态曲线的性质，逐一判断，即可得到结果．【解答】解：选项，作出随机变量，的正态分布密度曲线草图，根据对称性，所以，故正确；选项，由，故错误；选项，由，故正确；选项，对于正态分布，给定，是一个只与有关的定值，所以，故正确．故选：．12．【答案】【分析】根据正态分布的期望及方差判断，，再应用正态分布的对称性计算判断，．【解答】解：已知组的成绩与组的成绩均服从正态分布，且，，对于，因为，，，，所以，，故正确，错误；对于，因为，故正确；对于，，故正确．故选：．13．【答案】【分析】根据题意，由正态分布的定义和性质依次分析选项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，，则，正确；对于，，则，错误；对于，，而，则，，错误；对于，，则，，则，故，正确．故选：．14．【答案】【分析】根据正态分布三段区间的概率性质及对称性判断各项的正误．【解答】解：根据题意可知，，则，，由，则，，：由，即，对；由，即，错，对；：由，即，错．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】0.25．【分析】由对称性可得，利用求出答案．【解答】解：根据题意可知，随机变量服从正态分布，根据正态曲线的对称性可知，所以．故答案为：0.25．16．【答案】．【分析】根据正态分布的性质计算．【解答】解：根据题意可知，随机变量，若，则，．故答案为：．17．【答案】2．【分析】根据正态分布曲线的对称性质即可求解．【解答】解：随机变量服从正态分布，则均值，方差，标准差，若，则和关于对称，即满足，题目中给出，对比上述关系可知：，，且，根据对称性公式，代入，和，得：，故．故答案为：2．18．【答案】239．【分析】根据正态分布曲线的对称性可解．【解答】解：已知质量服从正态分布，则正态分布曲线的对称轴为，，又，则，则抽取500个钥匙扣样本，其中质量在范围内的个数约为．故答案为：239．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）80，0.8185；（2），．【分析】（1）计算出平均数后可得，结合正态分布的性质计算即可得解；（2）借助全概率公式计算即可得；由贝叶斯公式计算即可．【解答】解：（1）根据题意，由表中的数据，，因为，，则，则，（2）设“抽取的零件是甲机床生产”记为事件；“抽取的零件是乙机床生产”记为事件；“抽取的零件是次品”记为事件，则，，，，则，．20．【答案】（1），；（2）9973；（3）0.9759．【分析】（1）由正态分布概念可确定，；（2）注意到，，，由题利用可得答案；（3）由，结合题意可得答案．【解答】解：（1）根据题意可知，，，，则，；（2），，，因，则直径在，内概率约为0.9973，则直径在，内的铜棒根数为；（3），，，因，，则，，则．21．【答案】（1）527人；（2）84人．【分析】（1）利用正态分布的性质得到成绩在90分以上（含90分）的概率，进而求得总人数；（2）利用正态分布的性质得到成绩在80分以上（含80分）的概率，进而结合（1）中所得总人数求得．【解答】解：（1）设参赛学生的成绩为，由题可得，所以，，则，（人，因此，此次参赛学生的总数约为527人．（2）由，（人．因此，此次竞赛成绩为优的学生约为84人．22．【答案】（1）7；（2）．【分析】（1）利用正态分布密度曲线的性质先求，再求人数．（2）利用二项分布的方差公式求方差．【解答】解：（1）已知在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为．．因为，所以估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数为7．（2）已知设学生通过另外4个环节的概率依次为，，，，且每个环节的选拔相互独立，学生符合“”这个指标，进行另外4个环节的选拔且能通过的概率为：，由题意，，所以．23．【答案】（1）0.99；（2）7