高一数学期末复习专题讲义 第四讲 对称性奇偶性及周期性（解析版）

第四讲对称性，奇偶性及周期性【知识梳理】一、函数的周期性1．周期函数对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．2．函数周期性的常用结论设函数，.①若，则函数的周期为；②若，则函数的周期为；③若，则函数的周期为二、函数自身的对称性（1）函数的图像关于点对称的充要条件是：，即；（2）函数的图像关于直线对称的充要条件是：，即。题型01函数周期性的简单应用【解题思路】（1）周期的常用结论：①若，则函数的周期为；②若，则函数的周期为；③若，则函数的周期为；（2）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上【例1】已知函数的定义域为，满足，且当时，，则（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由题意可得函数的周期为4，再利用周期可求得答案.【详解】因为，所以4是函数的一个周期，所以，故选：A．【例2】已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，求出函数的周期，再结合函数的奇偶性求值即得.【详解】定义在上的奇函数，由，得，则函数是以4为周期的周期函数，又当时，，所以.故选：D【变式1-1】定义在上的奇函数满足，且，则．【答案】3【分析】根据函数的周期性以及奇偶性即可求解.【详解】由可得为周期函数，且周期为4，又为上的奇函数，所以，，故答案为：3【变式1-2】定义在R上的函数满足，且当，则＝．【答案】/0.25【分析】根据函数的周期性即可代入求解.【详解】由可得，所以，故为周期函数，且周期为8，，故答案为：【变式1-3】（多选）已知函数为上的奇函数，且，当时，，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由求得，即可判断A、B选项；由已知得出周期，结合函数的奇偶性，即可判断C、D选项.【详解】已知函数为上的奇函数，则，即，解得，A正确；B错误；又因为，即，从而周期为8，，，.因为当时，，所以，从而，，，所以，C正确；D错误.故选：AC.题型02对称轴的应用【解题思路】（1）函数的图像关于直线对称的充要条件是：，即。（2）关于对称可得关于对称【例3】若存在非零的实数，使得对定义域上任意的恒成立，则函数可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依题意可知关于对称，再结合各选项函数解析式一一判断即可.【详解】若存在非零的实数，使得对定义域上任意的恒成立，则关于对称，对于A，函数在定义域上单调递增，显然不存在对称轴，故A错误；对于B，函数的定义域为，且在定义域上单调递增，也不存在对称轴，故B错误；对于C，函数在定义域上单调递增，显然不存在对称轴，故C错误；对于D，对称轴为，所以存在，使得对定义域上任意的恒成立，故D正确；故选：D【例4】已知函数，满足，若与图象的交点为，则（

）A． B．0 C．4 D．8【答案】C【分析】判断出与均关于轴对称，从而得到与图象的交点关于轴对称，从而得到.【详解】因为，所以关于轴对称，又关于轴对称，故与图象的交点关于轴对称，不妨设关于轴对称，关于轴对称，则.故选：C【变式2-1】已知函数，若，则.【答案】【分析】由题设易得函数的对称轴，再结合二次函数图像对称轴对比即得.【详解】因，函数的对称轴为直线，而由可知其对称轴为直线，故，解得.故答案为：.【变式2-2】（多选）设的定义域为R，给出下列四个命题其中正确的是（

）A．若，则的图像关于点对称B．若为偶函数，则的图象关于直线对称；C．若，则的图象关于直线对称；D．若，则的图象关于直线对称.【答案】ABD【分析】根据偶函数的对称性，结合函数图象变换性质、函数图象关于直线对称的性质进行逐一判断即可.【详解】A：根据函数关于点对称的结论知其关于点对称，即关于点对称，故A正确；B：因为为偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，因此的图象关于直线对称，所以B正确；C：因为，而不一定成立，即不一定成立，所以的图象不一定关于直线对称，因此C错误；D：由，则，所以关于直线对称，因此D正确，故选：ABD.【变式2-3】（多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由题意可得函数关于对称，再结合时的函数解析式，即可得出答案.【详解】解：因为定义在上的函数满足，所以函数关于对称，所以，故C正确，D错误；，所以，故A错误，B正确.故选：BC.题型03对称中心的应用【解题思路】（1）函数的图像关于点对称的充要条件是：，即；（2）关于对称可得关于对称【例5】已知函数为奇函数，则函数的图象（

）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于点对称 D．关于点对称【答案】A【分析】根据为奇函数，得到关于对称，进而得到答案.【详解】函数为奇函数，图像关于对称，则函数关于对称，所以函数的图象关于对称．故选：A.【例6】（多选）已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（

）A．的图像关于对称 B．必成立C．必成立 D．的图像关于原点对称【答案】ABD【分析】根据抽象函数的奇偶性与对称性一一判定即可.【详解】因为为奇函数，所以的图象关于原点对称，即D正确；且，即B正确，C错误；由可知函数图象关于对称，即A正确.故选：ABD.【变式3-1】若函数对于都有，则.【答案】【分析】根据给定条件，求出函数图象的对称中心，再求出函数的所有零点，求出解析式即可得解.【详解】由对于都有，得函数图象的对称中心为，显然，则，于是，因此，所以.故答案为：【变式3-2】已知函数满足，函数．且与的图象交点为，，…，，则．【答案】48【分析】求函数图像的对称中心，由函数的对称性求值.【详解】函数满足，则函数的图像关于点对称，函数，函数的图像关于原点对称，则函数的图像关于点对称，与的图象的8个交点，也两两关于点对称，则.故答案为：48【变式3-3】我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数的图像的对称中心为．【答案】【分析】先计算出，根据，得到方程组，求出，得到答案.【详解】由于为奇函数，故，即，故，即，解得，故函数的图像的对称中心为.故答案为：题型04比较大小【例7】函数关于直线对称，且在区间上单调递增，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出函数的对称轴，再利用单调性，结合指数函数、对数函数的单调性比较大小即可.【详解】函数的图象可由函数的图象向左平移1个单位而得，因此函数的图象关于y轴对称，则，显然，又在区间上单调递增，于是，所以.故选：D【例8】已知定义域为R的函数满足，且在区间上是增函数，若，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函数的对称性、单调性以及诱导公式、正弦函数的图像与性质进行求解判断.【详解】∵满足，∴的图像关于直线对称，又∵在上单调递增，∴在上单调递减．，，，在上单调递增，∴，∴．故B，C，D错误.故选：A．【变式4-1】已知定义在上的函数满足：（1）；（2）；（3）时，．则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据已知可得函数的图象关于直线对称，周期为4，且在上为增函数，得出，，，根据单调性即可比较的大小．【详解】解：∵函数满足：，故函数的图象关于直线对称；，则，故函数的周期为4；时，，故函数在上为增函数；故，，，而，所以.故选：B.【点睛】本题考查函数的基本性质的应用，考查函数的对称性、周期性和利用函数的单调性比较大小，考查化简能力和转化思想．【变式4-2】（多选）已知函数对，都有，且任取，，以下结论中正确的是（

）A． B．C． D．若，则【答案】AB【分析】先根据题设条件得出函数的对称性和单调性，再利用这两个函数性质进行函数值比较以及解抽象不等式.【详解】根据题意，函数对，都有，则函数的图象关于直线对称，又任取，则在区间上为减函数，在上为增函数．对于A，，则有，A正确；对于B，在区间上为减函数，在上为增函数，故在时取得最大值，即对，B正确；对于C，在区间上为减函数，又，则，C错误；对于D，若，因函数的图象关于直线对称，且在上为增函数，在区间上为减函数，则有或，解得或，D错误．故选：AB.【变式4-3】（多选）已知定义域为的函数在上单调递增，，且图像关于对称，则（

）A． B．周期C．在单调递减 D．满足【答案】ACD【分析】根据已知条件由对称抽和对称中心得出周期为4判断A,B选项，周期再结合已知单调性判断C选项,应用周期性和单调性求函数值的大小判断D.【详解】由知的对称轴为，所以故A正确;由知：，又图像关于对称，即，故，所以，即，所以的周期为4，故B错误;因为在上单调递增，且，所以在上单调递增，又图像关于对称，所以在上单调递增，因为关于对称，所以在上单调递减，故C正确；根据周期性，，因为关于对称，所以，因为周期，所以；结合在上单调递减，且上单调递增，故，即，故D正确.故选:ACD.题型05求函数值之和【例9】已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（

）A．3 B．0 C． D．【答案】C【分析】根据题意分析可知的图象关于直线对称，是以8为周期的周期函数，根据题意结合函数性质分析求解.【详解】因为，可知的图象关于直线对称，且是定义在上的奇函数，则，且，即，可知是以8为周期的周期函数，因为当时，，可得，则.故选：C.【例10】若的定义域为R，且满足为奇函数，的图象关于直线对称，则下列说法正确的个数是（

）①的一个周期为4

②③图象的一条对称轴为

④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据给定条件，结合奇函数、对称轴的定义，可得，，由此推理计算即可判断各命题作答.【详解】对于①：的定义域为，的图象关于直线对称，得，即，由为奇函数，得，于是，可得，因此函数是周期为4的周期函数，①正确；对于②：由为定义在上的奇函数，可知，由，令可得，所以，故②错误；对于③：因为，可得，即，可知函数的图象关于点对称，没有足够条件说明图象关于直线对称，结合周期性可知：图象不一定关于直线对称，故③错误；对于④：由，可得，令可得；令可得；即，因此，故④正确；所以正确说法的个数是2，B正确.故选：B【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.【变式5-1】已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（

）A． B．2 C．0 D．2023【答案】C【分析】函数既关于原点对称又关于轴对称，则是周期为4的周期函数.将代入已知得到一个周期内的四个值，利用周期性求和.【详解】因为是定义域为的奇函数，所以且.因为，所以所以所以是周期为4的周期函数.因为，所以在中令可得，在令可得，在令可得所以.故选：C【变式5-2】已知定义在上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则.【答案】1【分析】由可得的周期，进而可得、，结合的图象关于点对称与可得关于对称，进而可求得，从而运用周期性求值即可.【详解】因为，所以，所以，即是以3为周期的函数.所以，，又的图象关于点对称，所以，又已知，所以，所以关于对称，即为偶函数，则，所以，所以.故答案为：1.【变式5-3】已知函数是R上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为.【答案】1【分析】利用对称性和奇偶性可推导得到是周期为4的周期函数，并求得，，，的值，将所有的式子利用周期进行转化即可求解.【详解】因为图像关于点对称，所以.又因为函数是R上的偶函数，所以，所以，则.故函数的周期为4.所以，又，所以.故答案为：1题型06解不等式【例11】已知定义域为的函数在单调递减，且，则使得不等式成立的实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数关于点对称公式可得关于对称，从而判断得在上单调递减，再将不等式变形为，由此利用的单调性及解二次不等式即可得解.【详解】因为，所以关于对称，因为在单调递减，所以在上单调递减，又，则，所以由可得，即，所以，即，解得或，所以的取值范围为，故选：.【点睛】结论点睛：若满足，则关于中心对称.【例12】定义在上的函数的图象关于对称，且满足：对任意的，，且（）都有，且，则关于的不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知可得函数在上为减函数，且，又由函数的图象关于对称，可得函数在上为增函数，且，分类讨论可得答案.【详解】因为对任意的，，且都有，所以函数在上为减函数，又由函数的图象关于对称，且，所以函数在上为增函数，，对于，显然，当时，，满足；当时，，满足；当时，，满足；当时，，不满足；综上，.故选：D.【点睛】关键点睛：本题解决的关键利用函数的对称性得出函数的单调性.【变式6-1】已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为．【答案】【分析】分析函数的单调性与对称性，由已知可得出，然后分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集.【详解】因为函数的定义域为，且函数为偶函数，则，所以，函数的图象关于直线对称，因为，则，因为函数在上单调递增，则函数在上单调递减，当时，由可得；当时，由可得.综上所述，不等式的解集为.故答案为：.【变式6-2】已知函数定义域为区间，且图像关于点中心对称.当时，，则满足的的取值范围是.【答案】【分析】根据一次函数和反比例函数的单调性得到当时，单调递增，再结合关于中心对称得到，且在上单调递增，然后将原不等式整理为，最后利用单调性和定义域列不等式求解即可.【详解】因为函数，在上单调递增，所以当时，单调递增，因为关于中心对称，所以，且在上单调递增，不等式可整理为，即，则，解得.故答案为：.【变式6-3】已知函数的定义域为恒成立.当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先得到关于对称，结合得到，结合条件得到的单调性，结合，得到，由单调性求出解集.【详解】因为，所以关于对称，所以，因为，所以，因为，，故在上单调递增，所以在上单调递减，因为，，所以，当时，，结合单调性可知，当时，，结合单调性可知，故的解集为.故选：A课后作业一、单选题1．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（

）A．在区间上是增函数，且有最小值为B．在区间上是减函数，且有最大值为C．在区间上是增函数，且有最大值为D．在区间上是减函数，且有最小值为【答案】A【分析】利用抽象函数的奇偶性推出函数的周期性与对称性，再根据赋值法结合单调性一一判定选项即可.【详解】因为为偶函数，所以①，且函数关于轴对称，又为奇函数，所以②，且函数关于中心对称，所以有，即的一个周期为，令代入②得，即，令代入①得，所以，解之得，所以，

如图所示，根据函数的对称性与周期性可知：关于轴对称，关于中心对称，可得在区间的图象，易知在区间上是增函数，且有最小值为，故A正确，B错误；在区间上是减函数，且有最大值为，最小值为，故C，D都不正确．故选：A2．已知定义域为的函数满足，且函数在区间上单调递增，若，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函数的中心对称性与单调性进行配凑化简即可.【详解】由题意定义域为，且满足，所以函数关于点中心对称，令，则.函数在区间上单调递增，由对称性知，函数在上递增.所以时，时若，当，则，此时.当，则，此时.所以A，B都错误；由，因为所以则所以故选：C3．已知定义在R上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，函数关于对称，作出函数的图象，数形结合可求解.【详解】由函数为偶函数，知函数关于对称，又函数在上单调递增，知函数在上单调递减，由，知，作出函数的图象，如下：由图可知，当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；所以不等式的解集为：或，故选：C4．设定义在的函数，其图象关于直线对称，且当时，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的对称性，函数的单调性进行求解即可.【详解】当时，，此时函数单调递减，而函数图象关于直线对称，因此函数在上单调递增，而，又因为，所以，所以，故选：B5．已知定义在上的函数，满足，，若，则（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根据抽象函数的对称性可知函数的周期为4，且、，利用和计算求出即可.【详解】由，知函数关于点对称，由，知函数关于直线对称，所以函数的周期为.又，所以，，所以，又，所以，所以.故选：D6．已知函数．若为偶函数，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数对称轴可得，进而可知在上为增函数，令，利用导数可得，以及，进而分析得解.【详解】因为为偶函数，则，可知的对称轴为，又因为均只有一条对称轴，可知只有一条对称轴，则，可得，所以，当时，，因为在上为增函数，则在上为增函数，令，则，当时，，则在上单调递增，可得，即，则；由，可得，则；即，可得，所以．故选：A．【点睛】关键点睛：构造恰当的函数，过程中用到了函数，对应的不等式为，以及变形的．此类不等式常用的有，，，，加强记忆，方便碰到此类问题后直接使用．二、多选题7．若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（

）A．函数的图象关于点成中心对称B．函数的图象关于直线成轴对称C．在区间上，为减函数D．【答案】ABC【分析】根据条件先判断函数的对称轴和周期，然后结合函数的单调性进行转化比较即可.【详解】因为，所以函数的图象关于对称，故选项B正确；因为函数是定义在R上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称；结合函数的图象关于对称，所以函数的图象关于点中心对称，故选项A正确；又在区间上，有，所以在上单调递增，结合函数的图象关于对称及关于点成中心对称，所以在上单调递减，故选项C正确；由奇函数性质知，所以，即，所以，所以函数是周期函数，且，又在上单调递增，所以，故选项D错误.故选：ABC8．已知定义在上的函数满足为奇函数，的图象关于点对称，则下列说法正确的是（

）A．函数的图象关于对称B．函数的图象关于点对称C．函数的一个周期为4D．【答案】AC