高一数学期末复习专题讲义 第一讲 集合与逻辑用语（解析版）

第一讲集合与逻辑用语【知识梳理】一、集合的基本概念1．元素与集合的关系：若属于集合，则记作；若不属于集合，则记作；2．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性3．空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作.4．常用数集及其记法：集合非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集复数集符号或5．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.二、集合间的基本关系文字语言符号语言图示基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B的元素真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集空集空集是任何集合的子集空集是任何非空集合的真子集且必记结论：（1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即.注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.三、集合的基本运算运算文字语言符号表示Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合三、充分条件与必要条件1．充分条件与必要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；p⇒q且qpp是q的充分不必要条件pq且q⇒pp是q的必要不充分条件p⇔qp是q的充要条件pq且qpp是q的既不充分也不必要条件2．必记结论集合判断法判断充分条件、必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即，p是q的充分条件p是q的必要条件p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件且p是q的既不充分也不必要条件四、全称量词命题与存在量词命题1．全称量词和存在量词量词名称符号表示常见量词全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等2．含有一个量词的命题的否定全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，如下所示：命题命题的否定题型01元素与集合的关系【解题思路】1.构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．2.利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．【例1】已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断．【详解】由已知，因此AB错，C表达方式错，D正确．故选：D．【例2】已知集合，若，则实数.【答案】0【分析】讨论、求参数，结合集合的性质确定参数值.【详解】若，则，而，不满足集合元素的互异性；若，则，故，满足题设，所以.故答案为：0【变式1-1】（多选）已知集合，则下列对象是集合A的元素的是（

）A． B． C．4 D．6【答案】BCD【分析】根据题意，将集合化简，即可得到结果.【详解】因为方程的两根分别为，即故选：BCD【变式1-2】已知集合，，则（

）A． B．或1 C．3 D．【答案】D【分析】根据元素与集合的关系求出值，然后代入检验即得.【详解】因，，故有：或，由解得：或，由解得：，又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意.故选：D.【变式1-3】已知集合，且，则（

）A． B．或 C． D．【答案】D【分析】根据元素与集合的关系可得出关于的等式，结合集合元素满足互异性可求得实数的值.【详解】因为集合，且，所以，或，解得或，当时，，集合中的元素不满足互异性；当时，，符合题意．综上，．故选：D．题型02集合之间的关系【解题思路】1.一般利用数轴或图判断两集合间的关系；2.由集合间的关系求参数的方法：（1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点；（2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．【例3】已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】B【分析】先化简集合A、B，再利用子集的定义分析计算即可得解.【详解】解，得或，则，解，得，则，因为，所以根据子集的定义，集合必须含有元素1，2，且可能含有元素0，3，则原题即求集合的子集个数，即有个.故选：B.【例4】集合或，，若，则实数的范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】考虑，，，确定集合，再根据集合的包含关系计算得到答案.【详解】①当时，，，故，解得，故；②当时，，满足；③当时，，，故，解得，故；综上所述：.故选：A【变式2-1】已知集合，.写出集合的所有子集，并指出其中的真子集.【答案】见解析【分析】由集合求出集合，再根据子集定义写出集合的所有子集及真子集.【详解】解：因为集合，，所以集合，子集：；真子集：.【变式2-2】已知，，若集合，则的值为．【答案】【分析】利用集合中元素的互异性，以已知的0，1为突破口，分类讨论求出，的值.【详解】∵，显然，所以，∴.根据集合中元素的互异性得，∴.∴故答案为：【变式2-3】已知集合，集合，且.(1)求m的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)1或4【分析】（1）根据题意分析可知2为方程的根，代入运算求解即可；（2）根据题意求集合，结合子集关系分析求解.【详解】（1）因为，可知2为方程的根，则，解得.（2）由（1）可得：，且，若，则或，所以或4.题型03交、并、补混合运算【解题思路】1.求集合交、并、补集可用定义法和数轴法；2.求集合运算中参数的值或取值范围：若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系。【例5】已知全集，集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由，即，解得或，所以，则，又，所以.故选：C【例6】设为实数，，集合，．(1)若，求，；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)，或(2)【分析】（1）先求出集合，由交集、并集和补集的定义求解即可；（2）由交集的定义求解即可.【详解】（1）由可得：，则，所以，当时，，

所以，或.（2）易知恒成立，即或

解得或所以.【变式3-1】设全集，集合，，则.【答案】【分析】求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合.【详解】因为，全集，集合，则.故答案为：.【变式3-2】已知，求：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）分别解不等式得集合A，B，求交集即可；（2）先求补集，再求交集.【详解】（1）因为，所以（2）易得，所以【变式3-3】已知集合,,，其中．(1)若；(2)若，求的取值集合．【答案】(1)(2)【分析】（1）分别计算出集合、，再求出集合的补集，结合交集的运算即可得；（2）结合并集的运算即可得.【详解】（1）由，即，解得或，即或，则，由，则，解得，即，则；（2）由或，，若，则，即的取值集合为.题型04集合的交、并运算性质【解题思路】1.转化为转化为；2.借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．3.注意点：当题目条件中出现时，若集合不确定，解答时要注意讨论的情况．【例7】设集合，.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）计算出后运用交集的性质运算即可得；（2）分类讨论集合为空集及非空集时，结合集合、的关系进行运算即可得.【详解】（1）当时，，∴；（2）∵，∴.当时，；当时，若，即，则，显然，不符合题意，若，即，则，∵，∴，解得，∴；综上，实数的取值范围为.【例8】已知，，其中.(1)当时，求和；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由集合的交集和并集即可得解.（2）利用交集的结果转化为集合间关系即可求参数范围.【详解】（1）当时，，所以，.（2）若，则，则，解得.故实数的取值范围是.【变式4-1】已知集合,(1)分别求；(2)若集合,求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据一元二次不等式以及分式不等式的求解即可化简，（2）根据集合间的包含关系即可分两类情况求解.【详解】（1）集合·（2）,当为空集时,当为非空集合时,可得综上所述:的取值范围是【变式4-2】设集合，．(1)若时，求；(2)若，求m的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据求出集合即可求出；（2）根据得到，列出不等式组即可.【详解】（1），，；（2），，①当是空集时，，解得，②当不是空集时，则，，综上所述：或.【变式4-3】已知全集，集合，(1)求；(2)若集合，且，求实数a的取值范围.【答案】(1)或(2)【分析】（1）解以及，即可得出，然后根据补集以及交集的运算，即可得出答案；（2）由已知可推得.分，以及两种情况，列出不等式（组），求解即可得出答案.【详解】（1）解可得，，所以.由可得，，等价于，解得，所以，.所以，或，所以，或.（2）由已知，可得.当时，有，即，满足；当时，有.又，所以有，该不等式组无解.综上所述，.题型05Venn图【例9】（多选）已知，是全集的两个非空真子集，下列说法中一定正确的是（

）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】结合韦恩图判断集合间的运算结果.【详解】如图所示，，A选项错误；，，，BCD选项正确；故选：BCD.【例10】如图所示，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，，，则为（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】先求出集合,,确定，，再根据韦恩图分析，由此求结果.【详解】根据题意有，，所以，，则或.故选：D【变式5-1】已知全集为实数集R，集合，的关系的韦恩图如图所示，则阴影部分表示的集合的元数个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】求出韦恩图阴影部分的集合表示，再利用补集、交集的定义求解即得.【详解】由，得或，韦恩图中阴影部分表示的集合为，而，所以，阴影部分表示的集合的元数个数为3.故选：B【变式5-2】如图表示图形阴影部分的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是B的元素且C的元素，或是A的元素”，由韦恩图与集合之间的关系可得答案．【详解】图中阴影部分表示元素满足：是A中的元素，或者是B与C的公共元素故可以表示为，也可以表示为：.故选：B．【变式5-3】已知全集，下图阴影部分表示的集合为，则集合A，B可以是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】D【分析】题干中阴影部分的集合为，阴影部分的含义为依据选项求解即可.【详解】有题目可知阴影部分的集合为，则选项判断如下对选项A：，，与阴影范围不符，故A错误；对选项B：因为，所以，与阴影范围不符，故B错误；对选项C：因为，所以，与阴影范围不符，故C错误；对选项D：因为，，所以与阴影范围相同，故D正确；故选：D题型06充分、必要条件的判定【解题思路】一般利用集合法：（小集合可以推出大集合）若对应的集合为，对应的集合为，若，则是的充分条件；若，则是的必要条件．【例11】已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据由能不能推出及由能不能推出即可得答案.【详解】解：由，可得或；由可得且，所以由不能推出，但由能推出，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.【例12】已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据指数函数和幂函数的单调性结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】当时，，故充分性不成立，因为函数在上单调递增，而，所以，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.【变式6-1】已知命题，且，命题，且，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用充分必要条件的定义，结合不等式的性质即可得解.【详解】当，且时，由得同号，再由得，且，即充分性成立；当，且时，，且，即必要性成立；所以是的充要条件.故选：C.【变式6-2】（多选）下列说法正确的是（

）A．“”是“”的必要条件B．“，”是“”成立的充分条件C．“”是“”的必要条件D．“”是“关于x的方程有一正根一负根”的充要条件【答案】ABD【分析】由充分条件和必要条件的定义，结合不等式的性质和方程根的分布，判断选项的正误.【详解】时一定满足，所以“”是“”的必要条件，A选项正确；由不等式的性质可知，当且时，有，所以“，”是“”成立的充分条件，B选项正确；由绝对值的几何意义可知，时不能得到，“”不是“”的必要条件，C选项错误；时，关于x的方程，，方程有两个不相等实根，两根之积，所以方程有一正根一负根；关于x的方程有一正根一负根，设为，则有，解得，所以“”是“关于x的方程有一正根一负根”的充要条件，D选项正确.故选：ABD【变式6-3】若，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【详解】当，，且时，，当且仅当时等号成立，所以，充分性成立；，，满足，且，此时，必要性不成立.则“”是“”的充分不必要条件.故选：A题型07求充分（必要）条件【解题思路】在解答问题时务必看清设问方式,明确哪个是条件,哪个是结论,然后根据充分、必要、充要条件的概念作出准确的判断。【例13】使得不等式“成立的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求解出不等式解集，根据题意可知所选取的条件为不等式解集的真子集，由此作出选择即可.【详解】由题意可得，又因为，所以的一个充分不必要条件可以是D选项，故选：D.【例14】“不等式在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出不等式恒成立的充要条件，然后逐项判断即可.【详解】解：∵“不等式在R上恒成立”，显然不满足题意，∴，解得，对于A，是充要条件，故A错误；对于B，因为推不出，故B错误；对于C，因为，反之不能推出，故C正确；对于D，因为推不出，故D错误．故选：C．【变式7-1】“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】当时，恒成立，当时，则，解得，综上所述，不等式恒成立时，，所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是.故选：D.【变式7-2】已知函数，则“在区间上单调递增”的一个充分不必要条件为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】借助导数研究函数的单调性并运用充分不必要条件的定义即可得到.【详解】在区间上单调递增等价于在区间上大于等于恒成立，即在上恒成立，即，故是的充分不必要条件，故D正确.故选：D.【变式7-3】不等式成立的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求得不等式的解集，结合选项和必要不充分条件的定义，即可求解.【详解】由不等式，解得，结合选项，根据必要不充分条件的概念，可得为不等式的必要不充分条件.故选：B.题型08根据充分（必要）条件求参数【解题思路】将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．若对应的集合为，对应的集合为，则①是的充分条件，则；②是的必要条件，则；【例15】设，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】解不等式求得命题对应的集合，根据是的充分不必要条件，可列出不等式，即可求得答案.【详解】由，得，由，得，因为是的充分不必要条件，即为的真子集，所以，且，解得即a的范围为故选：B.【例16】（多选）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数m的值可能是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】CD【分析】根据题意可得：，且是的真子集，根据真子集关系分析可得，对比选项判断即可.【详解】对于，因为，则，解得，即：，若是的必要不充分条件，则是的真子集，则，结合选项可知AB错误，CD正确.故选：CD.【变式8-1】已知集合.(1)若，求；(2)若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）用集合交集，补集的运算可得；（2）由条件可得是Q的真子集，再分集合是否为空集讨论求出结果即可【详解】（1）当时，集合，可得或，因为，所以（2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是Q的真子集，当时，即时，此时，满足是的真子集，当时，则满足且不能同时取等号，解得，综上，实数的取值范围为.【变式8-2】已知集合或，.(1)若，求，；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.【答案】(1)或，(2)或【分析】（1）根据交集，并集，补集的概念进行求解；（2）根据题目条件得到是的真子集，分与两种情况，得到不等式，求出答案.【详解】（1）时，，故或，，或，故；（2）由题意得是的真子集，若，则，解得，若，则或，解得，故的取值范围是或【变式8-3】设全集，集合，.(1)当时，求，；(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根据交集、并集、补集的定义进行求解；（2）根据题意得到，列不等式组求解即可.【详解】（1）时，，或，所以，（2）因为“”是“”的必要条件，所以.因为，所以，故，解得.所以的取值范围为.十、题型09全称、存在量词命题的否定及真假判断【例17】命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据全称命题的否定从而可求解.【详解】由题意可得“”的否定为“”，故C项正确.故选:C.【例18】下列结论中正确的个数是（

）①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题；②命题“，”是全称量词命题；③命题“，”的否定为“，”；④命题“是的必要条件”是真命题；A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】用相关逻辑知识逐个分析，排除即可.【详解】对于①，命题中包含所有，是全称量词命题，故正确对于②，包含任意一词，是全称量词命题，故正确对于③，原命题否定应为，，故错误对于④，若，则，故有，可推出命题“是的必要条件，故正确故选：D【变式9-1】下列命题中的假命题是(

)A．R B．RC．R D．R【答案】C【分析】命题的真假判断，举例说明是A、B真命题，C是假命题，根据指数函数的性质，判断D是真命题；【详解】因为，所以选项A、B均为真命题，选项C为假命题；因为在R上的值域可知，所以D为真命题；故选：C【变式9-2】（多选）有下列四个命题，其中为真命题的是（

）①；

②；③；

④．A．① B．② C．③ D．④【答案】ACD【分析】根据可判断①；取可判断②；取可判断③④.【详解】对于①，，故①为真命题；对于②，,但不成立，故②为假命题；对于③，存在，使得，故③为真命题；对于④，当时，，故④是真命题.故选:ACD.【变式9-3】（多选）下列选项中，能说明“，都有”为假命题的x取值有（

）.A． B． C．0 D．3【答案】AB【分析】将选项中的取值逐一代入计算可得AB为假命题，符合题意.【详解】易知，但，此时为假命题，即A正确；同理，但，此时为假命题，即B正确；而，但，此时为真命题，即C错误；显然，可得D错误；故选：AB题型10根据含量词命题的真假求参数【解题思路】(1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．(3)利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：①，；②，；③，；④，.【例19】若命题“”是真命题，则的取值范围为.【答案】【分析】考虑与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案.【详解】，当时，恒成立，当时，，解得，综上，的取值范围是.故答案为：【例20】若“”为假命题，则的取值可以是（

）A．5 B．3 C．1 D．-1【答案】A【分析】利用假命题的否定为真命题，分离参数即可求得.【详解】因为“”为假命题，所以其否定恒成立，所以在上恒成立，所以即，所以的取值可以是5.故选：A【变式10-1】（多选）若，使得成立是假命题，则实数可能的取值是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】由题意，转化为在上恒成立求解.【详解】解：由题意得：，成立是真命题，故在上恒成立，由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，所以，故选：AB【变式10-2】若命题“”的否定是假命题，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据题意，得到原命题为真命题，转化为不等式对恒成立，结合函数在上为增函数，求得函数的最大值，即可求解.【详解】因为命题“”的否定是假命题，可得原命题为真命题，即不等式对恒成立，又因为在上为增函数，所以，即，所以实数的取值范围是．故答案为：．【变式10-3】已知命题“，”，命题“，”．若命题和命题都是真命题，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】根据题意，分别求得命题和命题都是真命题时，实数的取值范围，列出不等式组，即可求解.【详解】由命题“，”，可得，因为命题为真命题，所以；又由命题“，”，可得，解得或，因为命题和命题都是真命题，所以，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.课后作业一、单选题1．已知集合，则集合A的真子集个数为（

）．A．4 B．3 C．16 D．15【答案】D【分析】解出集合，根据集合中的元素个数即可求解.【详解】因为，有4个元素，则集合A的真子集个数为，故选：D.2．设全集，集合M满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意求集合，进而逐项分析判断.【详解】由题意可得：，因为，则，所以，，，，故B正确，ACD错误.故选：B.3．已知集合，则集合的真子集个数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数与对数函数的性质，求得集合，得到，进而求得集合的真子集的个数，得到答案.【详解】由集合，，可得，所以集合的真子集的个数为.故选：A.4．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据命题“”为真命题求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】，只要即可，，所以，解得，所以命题“”为真命题的一个充分不必要条件是D选项.故选：D.5．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可.【详解】解：因为命题“，”为假命题，所以，命题“，”为真命题，因为集合，集合所以，当时，，此时成立，当时，由“，”得，解得，综上，实数的取值范围为故选：A.6．集合A，B，C是全集U的子集，且满足，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】令，结合韦恩图及排除法判断不合要求的选项，即可得正确答案.【详解】若，如下图示，由图知：、、不成立，A、B、D排除；故选：C二、多选题7．若是的充分不必要条件，则实数的值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】CD【分析】先解一元二次不等式，然后根据充分不必要条件求得正确答案.【详解】，解得，由于是的充分不必要条件，所以，所以AB选项错误，CD选项正确.故选：CD8．下列命题是真命题的有（

）A．“，”的否定为“，”.B．“且”是“”的充分不必要条件.C．“”是“”的必要不充分条件.D．“”的充要条件是“”.【答案】BC【分析】根据特称命题的否定得到A错误，根据充分不必要条件条件和必要不充分条件的判断得到BC正确，举反例得到D错误，得到答案.【详解】对选项A：“，”的否定为“，”，错误；对选项B：若且，则；若，取，不满足且.故“且”是“”的充分不必要条件，正确；对选项C：若，当时，；若，则且，故“”是“”的必要不充分条件，正确；对选项D：当时，，但是不成立，错误；故选：BC9．设集合，，如果，则可能的取值是（

）A． B． C．0 D．【答案】AB【分析】根据题意，由条件可得，然后分类讨论，代入计算，即可得到结果.【详解】∵，∴，∵，∴，①当，即时，得，，无解.②当，即，③当，即，，无解，④当，即，.所以的取值范围为.故选：AB三、填空题10．命题：“，”的否定是．【答案】，【分析】根据题意，由特称命题的否定为全称命题，即可得到结果.【详解】因为命题：“，”，则其否定为，.故答案为：，.11．已知全集，，，则