高一数学期末复习专题讲义 第一讲 集合与逻辑用语（学生版）

第一讲集合与逻辑用语【知识梳理】一、集合的基本概念1．元素与集合的关系：若属于集合，则记作；若不属于集合，则记作；2．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性3．空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作.4．常用数集及其记法：集合非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集复数集符号或5．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.二、集合间的基本关系文字语言符号语言图示基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B的元素真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集空集空集是任何集合的子集空集是任何非空集合的真子集且必记结论：（1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即.注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.三、集合的基本运算运算文字语言符号表示Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合三、充分条件与必要条件1．充分条件与必要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；p⇒q且qpp是q的充分不必要条件pq且q⇒pp是q的必要不充分条件p⇔qp是q的充要条件pq且qpp是q的既不充分也不必要条件2．必记结论集合判断法判断充分条件、必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即，p是q的充分条件p是q的必要条件p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件且p是q的既不充分也不必要条件四、全称量词命题与存在量词命题1．全称量词和存在量词量词名称符号表示常见量词全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等2．含有一个量词的命题的否定全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，如下所示：命题命题的否定考点01元素与集合的关系【解题思路】1.构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．2.利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．【例1】已知集合，则（

）A． B． C． D．【例2】已知集合，若，则实数.【变式1-1】（多选）已知集合，则下列对象是集合A的元素的是（

）A． B． C．4 D．6【变式1-2】已知集合，，则（

）A． B．或1 C．3 D．【变式1-3】已知集合，且，则（

）A． B．或 C． D．考点02集合之间的关系【解题思路】1.一般利用数轴或图判断两集合间的关系；2.由集合间的关系求参数的方法：（1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点；（2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．【例3】已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．8【例4】集合或，，若，则实数的范围是（

）A． B．C． D．【变式2-1】已知集合，.写出集合的所有子集，并指出其中的真子集.【变式2-2】已知，，若集合，则的值为．【变式2-3】已知集合，集合，且.(1)求m的值；(2)若，求的值.考点03交、并、补混合运算【解题思路】1.求集合交、并、补集可用定义法和数轴法；2.求集合运算中参数的值或取值范围：若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系。【例5】已知全集，集合，集合，则（

）A． B． C． D．【例6】设为实数，，集合，．(1)若，求，；(2)若，求实数的取值范围．【变式3-1】设全集，集合，，则.【变式3-2】已知，求：(1)；(2)．【变式3-3】已知集合,,，其中．(1)若；(2)若，求的取值集合．考点04集合的交、并运算性质【解题思路】1.转化为转化为；2.借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．3.注意点：当题目条件中出现时，若集合不确定，解答时要注意讨论的情况．【例7】设集合，.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.【例8】已知，，其中.(1)当时，求和；(2)若，求实数的取值范围.【变式4-1】已知集合,(1)分别求；(2)若集合,求实数的取值范围．【变式4-2】设集合，．(1)若时，求；(2)若，求m的取值范围．【变式4-3】已知全集，集合，(1)求；(2)若集合，且，求实数a的取值范围.考点05Venn图【例9】（多选）已知，是全集的两个非空真子集，下列说法中一定正确的是（

）A．B．C．D．【例10】如图所示，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，，，则为（

）A． B．C．或 D．或【变式5-1】已知全集为实数集R，集合，的关系的韦恩图如图所示，则阴影部分表示的集合的元数个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式5-2】如图表示图形阴影部分的是（

）A． B．C． D．【变式5-3】已知全集，下图阴影部分表示的集合为，则集合A，B可以是（

）A．，B．，C．，D．，考点06充分、必要条件的判定【解题思路】一般利用集合法：（小集合可以推出大集合）若对应的集合为，对应的集合为，若，则是的充分条件；若，则是的必要条件．【例11】已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例12】已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式6-1】已知命题，且，命题，且，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式6-2】（多选）下列说法正确的是（

）A．“”是“”的必要条件B．“，”是“”成立的充分条件C．“”是“”的必要条件D．“”是“关于x的方程有一正根一负根”的充要条件【变式6-3】若，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点07求充分（必要）条件【解题思路】在解答问题时务必看清设问方式,明确哪个是条件,哪个是结论,然后根据充分、必要、充要条件的概念作出准确的判断。【例13】使得不等式“成立的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【例14】“不等式在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【变式7-1】“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（）A． B．C． D．【变式7-2】已知函数，则“在区间上单调递增”的一个充分不必要条件为（

）A． B．C． D．【变式7-3】不等式成立的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．考点08根据充分（必要）条件求参数【解题思路】将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．若对应的集合为，对应的集合为，则①是的充分条件，则；②是的必要条件，则；【例15】设，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或【例16】（多选）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数m的值可能是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式8-1】已知集合.(1)若，求；(2)若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围.【变式8-2】已知集合或，.(1)若，求，；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.【变式8-3】设全集，集合，.(1)当时，求，；(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.考点09全称、存在量词命题的否定及真假判断【例17】命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【例18】下列结论中正确的个数是（

）①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题；②命题“，”是全称量词命题；③命题“，”的否定为“，”；④命题“是的必要条件”是真命题；A．0 B．1 C．2 D．3【变式9-1】下列命题中的假命题是(

)A．R B．RC．R D．R【变式9-2】（多选）有下列四个命题，其中为真命题的是（

）①；

②；③；

④．A．① B．② C．③ D．④【变式9-3】（多选）下列选项中，能说明“，都有”为假命题的x取值有（

）.A． B． C．0 D．3考点10根据含量词命题的真假求参数【解题思路】(1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．(3)利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：①，；②，；③，；④，.【例19】若命题“”是真命题，则的取值范围为.【例20】若“”为假命题，则的取值可以是（

）A．5 B．3 C．1 D．-1【变式10-1】（多选）若，使得成立是假命题，则实数可能的取值是（

）A． B． C． D．【变式10-2】若命题“”的否定是假命题，则实数的取值范围是．【变式10-3】已知命题“，”，命题“，”．若命题和命题都是真命题，则实数a的取值范围是．课后作业一、单选题1．已知集合，则集合A的真子集个数为（

）．A．4 B．3 C．16 D．152．设全集，集合M满足，则（

）A． B． C． D．3．已知集合，则集合的真子集个数为（

）A． B． C． D．4．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．5．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．6．集合A，B，C是全集U的子集，且满足，则（

）A． B．C． D．二、多选题7．若是的充分不必要条件，则实数的值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．48．下列命题是真命题的有（

）A．“，”的否定为“，”.B．“且”是“”的充分不必要条件.C．“”是“”的必要不充分条件.D．“”的充要条件是“”.9．设集合，，如果，则可能的取值是（

）A． B． C．0 D．三、填空题10．命题：“，”的否定是．11．已知全集，，，则．12．设命题：实数满足，其中；命题：实数x满足，若是的充分不必要条件，则实数a的取值范围为．四、解答题13．已知命题：“”是真命题(1)求实数m的取值集合B；(